函数的求导法则

1、目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则第一页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题 .可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()() 3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv第二页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证: 设 则vuvu )

2、() 1 (故结论成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(第三页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 (2)vuvuvu )(证证: 设, )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: )() 1uC )()2wvuuC w

3、vuwvuwvu )log() 3xaaxlnlnaxln1( C为常数 )第四页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第五页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 (3)2vvuvuvu推论推论:2vvCvC( C为常数 )第六页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例

4、例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第七页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, 证证: 在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,

5、0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第八页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设,arcsinxy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x0cosy, 则第九页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxl

6、nxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:第十页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxu

7、ufxy第十一页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.第十二页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:. )(sh) 3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxx axxalne)

8、(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax第十三页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的导数?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf这两个记号含义不同)cos(elnx第十四页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(arshx1

9、12x(反双曲正弦)其他反双曲函数的导数看参考书自推. 2eeshxxx的反函数双曲正弦第十五页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tanxx2sec )(cotxx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x第十六页

10、，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(lnxx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数第十七页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例

11、例8.设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化简后求导第十八页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第十九页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln

12、() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第二十页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?2114341xx第二十一页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(li

13、mxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?在求处连续,由于 f (a) = 0，故第二十二页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 3. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln第二十三页，共25页。目录 上页 下页 返回 结束 4. 设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99(