函数的单调性

1、第一页，共23页。 观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了观察下图中的函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？相应函数的哪些变化规律吗？ 随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？函数图象是否具有某种对称性？第二页，共23页。 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f(x)=x; 从左至右图象上升还从左至右图象上升还是下降是下降? ? _ 在区间在区间 _ 上，上，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 上升上升(-

2、，+)增大增大第三页，共23页。 画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： （2）f(x)=x2 在区间在区间 _ 上，上，随着随着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 在区间在区间 _ 上，随上，随着着x的增大，的增大，f(x)的值随着的值随着 _ 减小减小(-，0)增大增大0 ，+)第四页，共23页。从上面的观察分析，能得出什么结论？从上面的观察分析，能得出什么结论？ 从上面的观察分析可以看出：不同的函数，从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数

3、图象的这种变化规律就是函数化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重性质的反映，这就是我们所要研究的函数的一个重要性质要性质第五页，共23页。 以二次函数以二次函数f（x）x2 2为例，列出为例，列出x，y的对应值的对应值表表x 4 3 2 101234f(x)x216941014916第六页，共23页。 对比函数对比函数f（x）x2 2的的图象和列出的图象和列出的x，y的对应值表的对应值表格，你能发现什么？格，你能发现什么？x 4 3 2 101234f(x)x216941014916第七页，共23页。 图象在图象在y轴左侧轴左侧“下降下降”，也

4、就是，在区间也就是，在区间(，0上，随上，随着着x的增大，相应的的增大，相应的f( (x) )反而减小；反而减小；x 4 3 2 101234f(x)x216941014916 图象在图象在y轴右侧轴右侧“上升上升”，也就，也就是，在区间是，在区间(0，+)上，随着上，随着x的增大，的增大，相应的相应的f( (x) )也随着增大；也随着增大；第八页，共23页。 如何利用函数解析式如何利用函数解析式 描述描述“随着随着x的增的增大，相应的大，相应的f(x)随着减小随着减小”“”“随着随着x的增大，相应的增大，相应的的f(x)也随着增大也随着增大”?2)(xxf第九页，共23页。 对于二次函数对于

5、二次函数 ，我们可以这样来描述，我们可以这样来描述“在区间（在区间（0，+）上，随着）上，随着x 的增大，相应的的增大，相应的 f(x)也随着增大也随着增大”：2)(xxf 在区间（在区间（0 0，+）上，任取两个）上，任取两个 ， ，得到，得到 ， ，当，当 时时, ,有有 ，这时，就说函数这时，就说函数 在区间（在区间（0 0，+）上是）上是1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf2)(xxf你能仿照这样的描述，说明函数你能仿照这样的描述，说明函数 在区间在区间 (，0上是减函数吗？上是减函数吗？2)(xxf第十页，共23页。 对于二次函数对于二次函数 ，我们可

6、以这样来描述，我们可以这样来描述“在区间在区间（，0上，随着上，随着x 的增大，相应的的增大，相应的 f(x)反而减小反而减小”：2)(xxf 在区间在区间（，0上，任取两个上，任取两个 ， ，得到，得到 ， ，当，当 时时, ,有有 ，这时，就说函数这时，就说函数 在区间在区间（，0上是上是1x2x211)(xxf222)(xxf1x2x)()(21xfxf2)(xxf第十一页，共23页。一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说

7、函，那么就说函数数 在区间在区间D D上是上是21xx )()(21xfxf)(xf21,xx第十二页，共23页。一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I: 如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函，那么就说函数数 在区间在区间D D上是上是21xx )()(21xfxf)(xf21,xx第十三页，共23页。 如果函数如果函数yf（x），在区间），在区间D上是增函数或减上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上函数，那么就说函数在这个区间上具有（严格）单具有（严格）单调

8、性调性，区间，区间D叫做叫做yf（x）的）的单调区间单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的图象是下降的第十四页，共23页。第十五页，共23页。 例例2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大试用函数的单调性证明之将增大试用函数的单调性证明之Vkp 第十六页，共23页。 分析：分析：按题意，只要证明函数按题意，只要证明函数 在区间（在区间（0 0，+）上是减函数即可）上是减函数即可Vkp 例例

9、2 2：物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 （k为正常数）告为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强减小时，压强p将将增大试用函数的单调性证明之增大试用函数的单调性证明之Vkp 第十七页，共23页。 证明：证明：根据单调性的定义，设根据单调性的定义，设V1 1, ,V2 2是定义域（是定义域（0 0，+）上的任意两个实数，且）上的任意两个实数，且V1 1 00； 由由V1 1 00 021VpVp 又又k00，于是，于是 21VpVp 即即 所以，函数所以，函数 是减函数也就是是减函数也就是说，当体积说，当体积V减小时，压强减小时，压

10、强p将增大将增大, 0,VVkp取值取值作差作差定号定号下结论下结论第十八页，共23页。 证明函数单调性的证明函数单调性的一般步骤一般步骤： 取值取值：设：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意值，是给定区间内的两个任意值，且且x1x 2）；）； 作差作差：作差：作差f(x1)f(x2)，并将此差式变形（要，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；注意变形到能判断整个差式符号为止）； 定号定号：判断：判断f(x1)f(x2)的正负（要注意说理的正负（要注意说理的充分性）的充分性）,必要时要讨论；必要时要讨论； 下结论下结论：根据定义得出其单调性：根据定义得出其单调性.第十九页，共23页。 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象 （1 1）这个函数的定义域）这个函数的定义域I是什么？是什么？ （2 2）它在定义域）它在定义域I上的单调性是怎样的？证上的单调性是怎样的？证明你的结论明你的结论xy1第二十页，共23页。 1 1请根据下图描述某装配线的生产效率请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数