信号与系统：第18讲 第9章 拉普拉斯变换2

1、第第9 9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 9.4-9.4-9.59.5由零极点图对傅里叶变换进行几何求值；由零极点图对傅里叶变换进行几何求值； 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质n拉普拉斯变换拉普拉斯变换n拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换与傅里叶变换n将将j替换为替换为+ jn增加增加的意义的意义n傅里叶变换应用的拓展傅里叶变换应用的拓展n拉普拉斯变换收敛域拉普拉斯变换收敛域n取值决定变换存在取值决定变换存在n变换存在的变换存在的取值为收敛域取值为收敛域n同一拉普拉斯变换结果对应不同信号（左边、右边、双边）同一拉普拉斯变换结果对应不同信号（左边、右边、双边）n拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换

2、n反变换的定义反变换的定义n反变换的计算反变换的计算n极点与收敛区位置的判断，决定信号的类型（左边、右边、双边）极点与收敛区位置的判断，决定信号的类型（左边、右边、双边）n部分分式计算方法部分分式计算方法n傅里叶变换与拉普拉斯变换互求傅里叶变换与拉普拉斯变换互求n拉普拉斯变换收敛域包含原点，存在傅里叶变换拉普拉斯变换收敛域包含原点，存在傅里叶变换n进行变量替换可以直接互求进行变量替换可以直接互求n拉普拉斯变换工程运算简单拉普拉斯变换工程运算简单n实函数代数运算简单实函数代数运算简单n通过零极点图表示直观通过零极点图表示直观n傅里叶变换概念清晰，直接描述频率响应傅里叶变换概念清晰，直接描述频率响

3、应n借助傅里叶变换求取系统频率响应借助傅里叶变换求取系统频率响应n通过零极点图求取系统频率响应通过零极点图求取系统频率响应2022-3-15信号与系统第18讲4nO.零极点图确定零极点图确定X(s)n有理拉普拉斯变换有理拉普拉斯变换X(s)可以由零点和极点表示可以由零点和极点表示11()( )()RiiPjjsX sMs11( )ssX s要确定的值11111()( )()RiiPjjsX sMs有：11111-( )iijjssssX sM分子中每一因子，是向量 和各零点向量 的差值向量（）之积。分母中每一因子，是向量 和各极点向量的差值向量（）之积。就是上述分子向量积除分母向量积，然后乘常

4、数因子11( )( )X sX s的模是分子向量模之积除分母向量模之积的相角是分子向量相角之和减去分母向量相角之和111111()()RiRPiiiPijjjBX jMX jA，arg11()()()RiiPjjjX jMj，( )()X sX j傅里叶变换1傅里叶变换在处的模和相角R eImS平面j j 1 1s s1 1j js s 2022-3-15信号与系统第18讲5n通过零极点计算傅里叶变换举例通过零极点计算傅里叶变换举例11( )Re ( )1/ 22X sssjX ss ，求时的模和相角1( )()1/ 2sjX sXjj为信号的傅里叶变换，2221()()(1/ 2)XjXj

5、根据零极图，可以求得：，arctan(2)R eImS平面1 1- -2 212j2022-3-15信号与系统第18讲62022-3-156n求求RC电路在正弦电电路在正弦电压作用下的传输系数压作用下的传输系数Ku(j)的频率响应的频率响应特性。特性。 I(s) 1/sc E(s) R UR(s)rsssc1RR) s (E) s (U) s (HRRC1r 式中：式中： ， p= -r，z=0；)()()(jueABABrjjjHjK 2022-3-15信号与系统第18讲7作矢量图作矢量图 列表列表 R eImS平面- -r rjrBA()/H jBA()H j()jH jjr()H j20

6、22-3-15信号与系统第18讲82022-3-158幅频曲线幅频曲线 相频曲线相频曲线在描述过程中，起点、终点、谐振点，这样的特殊点要掌握。在描述过程中，起点、终点、谐振点，这样的特殊点要掌握。/2 0 0 1()H j()H j2022-3-15信号与系统第18讲9n1.一阶系统一阶系统/1( )( )11( ) 1th teu tH sss 考 虑 一 般 的 一 阶 系 统 ， 单 位 冲 击 响 应，其 拉 普 拉 斯 变 换 ：，R eR eImS平面1-221()1H j()arctan()H j 111()11H jjj2022-3-15信号与系统第18讲10n2.全通系统全通

7、系统R eImS平面-ajaBAaja()22arctan(/ )H ja()1H j()jaH jja零极点对称虚轴，频率响应的模与频率无关，是一个常数2022-3-15信号与系统第18讲11n1.线性线性121212( )( )( )( )( )( ) x tax tbx taX sbXsX sROCRR，包括L1212( )( )( )ROCX sROCRRX sX sROCRR关于的说明：的至少为 和 的交集，但是这个交集可以是空，此时不存在的可以比 和 的交集大。 121211( )( )( ), ( )1 ( )1( )1(1)(2)x tx tx tX ssXssX sROCss

8、s ，求和R eR e 1211( )( )( )1(1)(2)2 112(1)(2)2X sX sXsssssssss =，R e12-1( )sX sROCRR由于极点抵消，的扩大，超越了R eImS平面2 1R eImS平面2 1 R eImS平面2 1111222( )( ) ( )( )x tX sROC Rx tXsROC R，=，=LL1( )X s收敛域2( )Xs收敛域( )Xs收敛域2022-3-15信号与系统第18讲12n2.时移性质时移性质n3.s域平移域平移( )( ) x tX sROC R，=L00()( ) stx tteX sROC R，=L( )( ) x

9、tX sROC R，=L 000( )() s te x tX ssROC Rs，=R eL 00()ROCX ssROCROCs关于的说明：的是在原基础上平移R e00( )()X ssaX sssas有个零点或极点在，中相应的零极点在0000jtssjeROCjsaj域频移为，相当于原信号用周期复指数信号调制。平行 轴平移，收敛域未变，但是零极点有平移。R eImS平面1r2rR eImS平面 20rsR e 10rsRe2022-3-15信号与系统第18讲13n线性与时移性质举例线性与时移性质举例2022-3-15信号与系统第18讲14n4.时域尺度变换时域尺度变换n5.共轭共轭n6.卷

10、积性质卷积性质( )( ) x tX sROC R，=L()()xtXsROCR ，=-L( )ROCX sa0,的要反转1()( ) sRx atXROCaaa，=LR eImS平面2r1rR eImS平面2/r a1/r aR eImS平面1r2r( )( ) x tX sROC R，=L*( )() x tXsROC R，=L*( )()( )X sXsx t，当为实函数=( )( )x tX s实函数的，其零极点都是成对共轭出现的121212( )( )*( )( )( )( ) x tx tx tX s XsX sROCRR，包括L12( )ROCX sROCRR关于的说明：若乘积中

11、有零极点相消除，的可以比 和 的交集大。111222( )( ) ( )( )x tX sROC Rx tXsROC R，=，=LL 121( )222( ) 1 1sX ssssXsss，R eR e12( )( )( ) X sX s X sROCs，为全平面1,( )ROC1/1,( )ROC1/ROCaX saaX sa关于的说明：的要压缩倍，0的要扩展倍，1a 情况0a 情况2022-3-15信号与系统第18讲15n7.时域微分时域微分n8.s域微分域微分( )( ) x tX sROC R，=L( )( )dx tsX sROCRdt，包括L1( )1( )( ) ( )22jjs

12、tstjjdx tx tX s e dssX s e dsdt 根据定义：两边求导：( )( )( )( )( )0( )dx tsX ssX sROCX sROCdtX sssX sROC可见：为的拉普拉斯变换，的包含的若含极点，会消除该极点，会扩大( )1/( )u tsROCstROCs的拉普拉斯变换为，为 右半平面为其导数，拉普拉斯变换为1，为整个 平面( )( )( ) ( )ststdX sX sx t edttx t edtds根据定义：两边求导：( )( ) x tX sROC R，=L( )( ) dX stx tROC Rds，=L2022-3-15信号与系统第18讲16n

13、S域微分举例域微分举例21( ) 11( ) atateu tsaasdsteu tsadsasas 因为：，由 域微分性质：，R eR eLL( )( ),atx tteu t求其拉普拉斯变换231 ( ) 2attseu tsaas 再次 域微分：，R eL11 ( ) (1)!natnteu tsanas 一般n次微分：，R eL22255() 1 ( )(1)(2 )ssXssx tss 求R e22213( ) 1 (1)12R O C( )22( )tttXsssssx tteeeu t 部 分 分 式 展 开 ： 从 极 点 和关 系 ， 可 知 都 是 右 边 函 数 ，根 据

14、 上 述 公 式 求 得 ：R e2022-3-15信号与系统第18讲17n9.时域积分时域积分n10.初值与终值定理初值与终值定理( )( ) x tX sROC R，=L1( )( ) 0txdX sROCRss，包括R eL1 ( )( ) ()( )* ( ) ( ) 0txdxu tdx tu tu tss因为：而：， R eL(0 )lim( )sxsX s初值定理：0 lim ( )lim( )tsx tsX s终值定理： 0, ( )0(2) 0, ( )tx ttx t使用条件：(1)； 不包含冲激或高阶奇异函数2222512( )(cos3 ) ( ) 1(2)(210)t

15、tsseu tet u tssss 有：， R eL(0 )2 x直接计算：222512lim2(2)(210)sssssss利用初值定理可以验证：1 ( )( )* ( )( ) 0txdx tu tX sROCRss所以：， 包括R eL2022-3-15信号与系统第18讲18课堂练习课堂练习2-1( )( )( )( )11( )2( )( )3( )( )( )( )tsy teu tH sx tsx tx tx ty tx tx th t是系统函数为的因果全通系统在输入为时候的输出（）求出两种可能得到该输出的？（ ）如果绝对可积，是什么？（ ）如果有一稳定系统（未必因果），为输入，为

16、输出。这个是什么？系统的单位冲激响应是什么？22112/31/3 ( ) Res-2 X( )( )/( ) =+ 2(1)(2)s1s+221-2Re 1 ( )()( )3321Re 1 ( )( )( )33ttttsY ssY sH sssssx te uteu tsx te u teu t 1112 ( ) Re 2 ( ) ( )( )/ ( )12(1)(2)11Re 1 ( )( )2()( )( )-2Re 1tssY ssX sH sX s Y sssssssh tteuty th tx ts 结合和的收敛域，（）的收敛域必须为本讲小结本讲小结n零极点图对傅里叶变换几何求值

17、零极点图对傅里叶变换几何求值n拉普拉斯变换的频域信息拉普拉斯变换的频域信息n采用几何求值得到采用几何求值得到n拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质n线性线性n时移、频移时移、频移n尺度变换尺度变换n共轭、卷积共轭、卷积n时域微分、时域微分、s域微分域微分n时域积分时域积分n初值定理、终值定理初值定理、终值定理9.22(a)(c)(e)(g)9.22(a)(c)(e)(g)、 9.249.242022-3-15信号与系统第18讲212022-3-1521n例：例：求求 f (t) = sin t 的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。n解：解：tttt22221 f(t)= s int=(-) 2 j11

18、, 111s int2 jsc o stjjjjeeeesjsjsjsjss已 知同 理LLLL2022-3-15信号与系统第18讲222022-3-1522n例题：计算右图拉普拉斯变换例题：计算右图拉普拉斯变换n解：解：n三个函数的原始变换三个函数的原始变换n根据时间平移性质根据时间平移性质00 ( )( ) ()( )stf tF sf ttF s e设则LLf (t) fa (t)fb (t)fc (t)0000ETTTTtttt)()()()()()()()(TtTtTETtEttTEtftftftfcba22( ),( ),( )abcEEEf tf tf tTssTsLLL222(

19、 )11s Ts Ts TEEEfteeT ssT sET seT sL2022-3-15信号与系统第18讲232022-3-1523计算半波正弦函数的拉普拉斯变换计算半波正弦函数的拉普拉斯变换n一个半波分解为两个相差半个周期（一个半波分解为两个相差半个周期（T/2）的正弦函数之和）的正弦函数之和n周期半波为上述合成函数的周期周期半波为上述合成函数的周期(T)重复重复n周期周期T，周期内函数，周期内函数fT(t)n如果如果n根据时移性质得到根据时移性质得到n结论结论( )( )()(2 )TTTf tf tf t Tf tT( )( )TTftF sL2( )( )( )( )( ) =1sT

20、sTTTTTsTf tF sF s eF s eF seL1(1)sTe2sss( )()( )(1)2sTTftftFse单 个 半 波 ：L1122ss( )( )(1)(1)( )(1)sTsTsTf tF seeF se周期半波：L 等比级数等比级数是否还是否还有其他有其他解法解法2022-3-15信号与系统第18讲242022-3-1524尺度变换与时间延迟的可交换性尺度变换与时间延迟的可交换性n解解：n（1）先时间延迟再尺度变换）先时间延迟再尺度变换n（2）先尺度变换再时间延迟）先尺度变换再时间延迟(0,0)( )( )() () ? abf tF sf atbatb，LL已已知知

21、求求() ()() ()( )1bssbaf tbtbf atbatbF s esFeaaLL()()()()()()11bsafa ta tfa tba tbfatatsFaabbsFeaaaaLLL尺度变换后，尺度变换后，新坐标下延时新坐标下延时2022-3-15信号与系统第18讲252022-3-1525n对于与指数函数相乘的函数，可以方便的求解对于与指数函数相乘的函数，可以方便的求解222221sin()c o s()1( )()!( )()a ta ta ta tnnetsasaetsaettsanettsaLLLL2022-3-15信号与系统第18讲262022-3-1526f(t

22、)的拉普拉斯变换为：的拉普拉斯变换为：n采用采用0-系统系统n直接时域求导得到：直接时域求导得到：n对求导结果进行拉普拉斯变换对求导结果进行拉普拉斯变换n直接采用微分性质得到结果直接采用微分性质得到结果n两者结果一致两者结果一致n采用采用0+系统系统n直接时域求导得到直接时域求导得到n对求导结果进行拉普拉斯变换对求导结果进行拉普拉斯变换n直接利用微分性质得到结果直接利用微分性质得到结果n两者结果一致两者结果一致n采用采用0+、0-结果不同的原因结果不同的原因n函数函数f(t)求导以后在求导以后在0点有冲激点有冲激( )(t)a tfte1( t)a tesaL(t)( )(t)a ta tde

23、ta ed t ()( 0)ss Fsfsa( )(t)1atastaesasaL(t)(t)a ta tdea ed t (t)ataaesaL( )(0)1sasFsfsasaf(0-)=00+系统不考虑系统不考虑冲激响应冲激响应f( 0+)=12022-3-15信号与系统第18讲272022-3-1527n设函数设函数f(t)及其导数存在，并有拉普拉斯变换，则及其导数存在，并有拉普拉斯变换，则f(t)初值为初值为n证明：通过时域微分性质证明证明：通过时域微分性质证明)(lim)(lim)0(0ssFtffst00000000000()( 0)() |( 0)( 0)s ts ts ts

24、ts ts td fd fd fs Fsfed ted ted td td td td fd fd fd ted tfted td td td td fffed td t1|0tste0)0()(dtedtdffssFst0lim( )(0 )lim(0 )stssdfsF sfedtfdt此处可见此处可见时域微分时域微分性质对性质对0和和0系统系统的关系的关系2022-3-15信号与系统第18讲282022-3-1528n如果函数如果函数f(t)在在0时刻突变时刻突变n此时计算初值没有结果此时计算初值没有结果n因为因为n所以当所以当 f (t) 中包含冲激时，中包含冲激时，可先把可先把 (t

25、) 移去后，再应用移去后，再应用初值定理初值定理( )( )( )afttft)(lim)(limssFsssFass(0 )(0 )(0 )(0 )aafff)(lim)0()0(ssFffasa101p01( )( )( )( )( )( )()( )s()pppppppftatatatftLftFsLftaaasFs 则n同理，若同理，若 f (t) 在在 t=0 处有冲激及其导数，设其形式为处有冲激及其导数，设其形式为n初值定理应表示为初值定理应表示为)(lim)0()0(ssFffpsp2022-3-15信号与系统第18讲292022-3-15291( )( )1(0)lim( )lim1ssstsssss L1)(sssF1lim)(lim1111)(sssssFssssFss111lim)(lim)0()0(ssssFffsasa2022-3-15信号与系统第18讲302022-3-1530n设函数设函数f(t)及其导数存在，并有拉普拉斯变换，且及其导数存在，并有拉普拉斯变换，且F(s)的所有极点的所有极点都在都在S左半平面（包括原点处的单极点），则左半平面（包括原点处的单极点），则f(t)终值为终值为n证明：利用时域微分性