信号与系统：第7讲 第3章 周期信号的傅里叶级数表示3

1、第第3 3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示 3.6-3.6-3.73.7离散时间周期信号的傅里叶级数表示；离散时间周期信号的傅里叶级数表示； 离散时间傅里叶级数性质离散时间傅里叶级数性质2022-3-15信号与系统第7讲2n周期信号是否一定能用傅里叶级数展开周期信号是否一定能用傅里叶级数展开n判断收敛有两个方法判断收敛有两个方法n周期内能量有限的方法周期内能量有限的方法n狄里赫利条件狄里赫利条件（绝对可积、有限极值、有限不连续点）（绝对可积、有限极值、有限不连续点）n不连续点的吉伯斯现象不连续点的吉伯斯现象n傅里叶级数展开的性质傅里叶级数展开的性质n线性、时移、时域反转、

2、时域尺度变换线性、时移、时域反转、时域尺度变换n相乘、共轭及共轭对称相乘、共轭及共轭对称n微分性质微分性质n帕斯瓦尔能量定理帕斯瓦尔能量定理2022-3-15信号与系统第7讲3n连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示n复指数信号作为基本信号，方便分析复指数信号作为基本信号，方便分析n可以表示连续周期信号，只要满足狄里赫利条件可以表示连续周期信号，只要满足狄里赫利条件n系数的计算和性质也已经了解系数的计算和性质也已经了解n离散时间周期信号是否也能用类似方法分析离散时间周期信号是否也能用类似方法分析n它的基本信号它的基本信号-离散的复指数信号集合（谐波集）？离散的复指数信

3、号集合（谐波集）？n用它表示周期信号有无收敛问题？用它表示周期信号有无收敛问题？n系数的计算？有哪些性质？系数的计算？有哪些性质？n与连续时间信号的分析有哪些异同？与连续时间信号的分析有哪些异同？n离散周期信号的频率与连续周期信号的频率不同离散周期信号的频率与连续周期信号的频率不同n离散时间傅里叶级数是有限项级数，不是无限项离散时间傅里叶级数是有限项级数，不是无限项n没有收敛问题没有收敛问题2022-3-15信号与系统第7讲4n1.成谐波关系的复指数信号的线性组合成谐波关系的复指数信号的线性组合n（1）离散周期信号的基本概念）离散周期信号的基本概念n离散周期信号的特点离散周期信号的特点n（2）

4、信号表示为成谐波关系的复指数信号组合）信号表示为成谐波关系的复指数信号组合n以上为离散傅里叶级数表达，以上为离散傅里叶级数表达，ak为傅里叶级数系数为傅里叶级数系数0 ,2 /x nx nNx nTNN如果：就是周期为 的周期信号，基波周期基波频率(2/)(2/) ,0, 1, 2,2 /jN njkN nkeNnekN 复指数是周期的，周期为信号集：其频率是的倍数，成谐波关系 Nkk rNnn，信号集只有 项00(2/)(2/) jknjkN nkkkkkkkjknjkN nkkkkkNkNkNx nana ea eNx nana ea e考虑只有连续个 项系数是独立的k=0,1,2,N-1

5、k=2,3,4,N+1k=5,6,7,N+42022-3-15信号与系统第7讲5n2.周期信号傅里叶级数系数的确定周期信号傅里叶级数系数的确定n（1）周期为）周期为N的序列，可用的序列，可用N项傅里叶级数表示，系数项傅里叶级数表示，系数可以联立解方程计算可以联立解方程计算n（2）推导更一般的系数计算方法）推导更一般的系数计算方法(2/)(2/)(2/)()(2/) jrN njkN njrN nj k rN nkkkkNex na ex n ea e同乘(2/)()(2/)(2/)()(2/) jrN nj k rN nknNnNkNjrN nj k rN nknNkNnNNx n ea ex

6、 n ea e 在一个周期 上求和:交换右边求和顺序：(2/),0, 20,jkN nnNN kNNeothers考虑复指数序列在一个周期内的求和结果(2/)1, jrN nrrnNkrNaax n eN等式右边只在取值所以：2022-3-15信号与系统第7讲6n（3）离散时间傅里叶级数对：）离散时间傅里叶级数对：n基本函数只有基本函数只有N个，系数也就只有个，系数也就只有N个个n以周期以周期N周期性重复周期性重复00(2/)(2/) 11 jknjkN nkkkNkNjknjkN nknNnNx na ea eax n ex n eNN综合公式：分解公式：0(2/)(2/)00 jN njN

7、N nNNnneeaa，即2022-3-15信号与系统第7讲7n（4）举例（）举例（1）n分析可知分析可知:信号周期为信号周期为N=5，信号可以直接写成复指数谐波形式，信号可以直接写成复指数谐波形式n系数作图表示：系数作图表示： 系数幅度谱作图系数幅度谱作图 系数相位谱作图系数相位谱作图 sin 3(2/5) ,kx nna对于信号计算它的傅里叶级数系数画出系数的幅度和相位频谱图。3(2/5)3(2/5)331111 ,2222jnjnx neeaajjjj 观察可知2022-3-15信号与系统第7讲8n（4）举例（）举例（1续）续）n信号直接写成复指数谐波形式信号直接写成复指数谐波形式n举例

8、：举例：N=5,M=1,3,5的系数的系数 sin(2/) ,kx nMN na对于更一般的情况，信号分析它的傅里叶级数系数。(2/)(2/)1111 ,2222jMN njMN nMMx neeaajjjj 观察可知2022-3-15信号与系统第7讲9n（4）举例（）举例（2）n首先计算周期方波序列的傅里叶级数的系数首先计算周期方波序列的傅里叶级数的系数离散时间周期方波序列的傅里叶级数展开分析。11(2/)111,NjkN nknNNnNaeN为方便计算，求和区间选择包含有：111122(2/)()(2/)(2/)10011NNjkNmNjkNNjkN mkmmmnNaeeeNN令有：111

9、12/(2/)(2/)2/2/(2/2)1(2/2)(2/2)(2/2)111 sin(2/)0, 2 ,sin(/)jkNNjkN NkjkNjkNNjkNNjkNjkNjkNjkNkeaeNeeeekNNkNNNNkNeeea（2+1）（+1/2）（+1/2）1-利用级数求和，有：（）1-（+1）= （）= （）,-直接利用 的最初表达式12,0, 2 ,kNakNNN+1，得到：2022-3-15信号与系统第7讲10n（4）举例（）举例（2）（续）（续）n方波宽度不变，周期变方波宽度不变，周期变化的傅里叶级数系数的化的傅里叶级数系数的图示图示n周期与谱线的关系周期与谱线的关系121510

10、2040NNNN序列周期为序列周期为N第一个过零第一个过零点点N/(2N1+1)周期内极值点个周期内极值点个数数2N1+12022-3-15信号与系统第7讲11n（4）举例（）举例（2）（续）（续）n连续周期方波信号在信连续周期方波信号在信号截断时有吉伯斯现象号截断时有吉伯斯现象，离散周期方波部分系，离散周期方波部分系数恢复时的情况数恢复时的情况n没有收敛问题没有收敛问题（有限项）（有限项）n没有吉伯斯现象没有吉伯斯现象(2 /)1 9,21 51,2,3,4MjkN nkkMx na eNNM 时的波形2022-3-15信号与系统第7讲12关于吉伯斯现象关于吉伯斯现象2022-3-15信号与

11、系统第7讲13关于吉伯斯现象关于吉伯斯现象2022-3-15信号与系统第7讲14关于吉伯斯现象关于吉伯斯现象2022-3-15信号与系统第7讲15关于吉伯斯现象关于吉伯斯现象Butterworth低通滤波比较低通滤波比较2022-3-15信号与系统第7讲16n0.离散时间傅里叶级数性质离散时间傅里叶级数性质n离散与连续傅里叶级数很多都差不多，也能从连续的性质推导出离散与连续傅里叶级数很多都差不多，也能从连续的性质推导出离散的性质离散的性质n线性、时移、频移、时间反转、共轭、尺度变换等线性、时移、频移、时间反转、共轭、尺度变换等n1.相乘相乘n两个同周期系列相乘后的傅里叶级数，是原两个序列的周期

12、卷积两个同周期系列相乘后的傅里叶级数，是原两个序列的周期卷积n周期卷积：在一个周期内的结果周期卷积：在一个周期内的结果n非周期卷积：求和区间为整个变量取值范围非周期卷积：求和区间为整个变量取值范围000 , , kkjknjinjlnkim l mkNiNmNkklk llNSSx n y nx nay nbx n y na ebea bex n y ndSx n y ndab周期为N的信号令的傅里叶级数的系数为则：FFF2022-3-15信号与系统第7讲17关于周期卷积关于周期卷积n有限长序列的卷积和有限长序列的卷积和n周期序列的卷积和周期序列的卷积和n周期周期=6n周期周期=8n周期周期=

13、92022-3-15信号与系统第7讲18n时域周期卷积时域周期卷积000 , , 1 1 kkkrNjknkkNrNjknrNkNjkrkkkrNSSx n y nx nay nbSx r y nrhhx r y nr eNx ry nr eNx r ebNa b 周期为N的信号且FFF2022-3-15信号与系统第7讲19n2.一阶差分一阶差分n差分性质的应用很广泛，有些不好计算的信号，差分后差分性质的应用很广泛，有些不好计算的信号，差分后有比较熟悉的结果有比较熟悉的结果n求和求和(2/) 1 (1)jkNky nx nx nSy neaF(2/) 1 ()1nkkjkNy nx kSy n

14、aeF2022-3-15信号与系统第7讲202022-3-1520n时域尺度变换时域尺度变换( )( )()11 / 01 mkmkx mnmmxn mxnSSxnaxnam对于：，是对原序列按照间隔m的等间隔抽取，抽取后序列的包络在时域压缩了，但是序列已经丢失了原序列很多内容，一般情况离散序列不成立，只在n为m整数倍位置才有意义。，n为m整数倍定义：，其他若：， 则：FF2022-3-15信号与系统第7讲21n3.离散时间周期信号的帕萨瓦尔定理离散时间周期信号的帕萨瓦尔定理222 1 NNNkknNkNkkSx nax naNaa，等式左边是信号在一个周期内的平均功率是第k次谐波的平均功率与

15、连续信号的差别是只有 个不同的谐波分量由于 以 为周期，等式右边的求和可在任何k的 个相继值上进行F2022-3-15信号与系统第7讲22n4.举例举例n例题例题1（Example3.13）n序列为两序列之和，分析它们的系数之间的关系序列为两序列之和，分析它们的系数之间的关系12 kkkx nx nx nabc它们的系数分别为 ， ，11 1,51 sin(3/5)0, 5, 10,5sin(/5)30, 5, 10,5kx nNNkkkbk根据前一例题关于周期方波的结果对于，相当于（）,有：=,20 x nc对于，只有直流分量=10, 5, 10,a80, 5, 10,5kkbkk,所以：=

16、,2022-3-15信号与系统第7讲23n例题例题2（Example3.14）2022-3-15信号与系统第7讲24n例题例题2（Example3.14续）续）2022-3-15信号与系统第7讲25n例题例题3（Example3.15）n利用卷积性质来对序列求解。利用卷积性质来对序列求解。 ,kkrNrNSx r y nrNa by nx r x nr根据系数相乘，序列周期内卷积的性质，可以假设:F22sin (3/7)sin(3/7) sin(3/7)77a a7sin(/7) 7sin(/7)7sin (/7)sin(3/7)a7sin(/7)kkkkkkkkkkkkb =其中：11,7

17、NNy nx n这是的周期方波，的求解转为的周期内卷积22sin (3/7) 7sin (/7)ky nkk有序列yn的傅里叶级数系数b =，求2022-3-15信号与系统第7讲26n例题例题3（Example3.15续）续）n将周期卷积计算转化为一个周期序列和一个只有首周期序列的将周期卷积计算转化为一个周期序列和一个只有首周期序列的非周期卷积非周期卷积2022-3-15信号与系统第7讲27本讲小结本讲小结n离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示n成谐波关系的复指数信号的线性组合成谐波关系的复指数信号的线性组合n与连续情况不同，只有有限个谐波，周期为与连续情况不同，只

18、有有限个谐波，周期为N，N个个n系数的确定系数的确定n离散时间周期信号傅里叶级数的分解和综合表达式离散时间周期信号傅里叶级数的分解和综合表达式n序列的周期性，系数的周期性，序列的周期性，系数的周期性，n任意任意N个顺序序列，顺序系数的意义个顺序序列，顺序系数的意义n系数的多种表达，幅度、相位系数的多种表达，幅度、相位n周期方波的分解周期方波的分解n周期方波分解的表达式周期方波分解的表达式n有限个谐波分量对原序列的近视，没有吉伯斯现象有限个谐波分量对原序列的近视，没有吉伯斯现象n性质性质n与连续情况有差别的性质，相乘、差分、帕斯瓦尔定理与连续情况有差别的性质，相乘、差分、帕斯瓦尔定理n有限长（周期内）求和有限长（周期内）求和2022-3-15信号与系统第7讲28课堂练习课堂练习32311. ( )2. ( )(6),3.0,204. ( )(3)115.( )626.(