动力气象学-大气波动学

1、天气图上可见：天气图上可见：1、气压场、高度场根本呈波状分布。、气压场、高度场根本呈波状分布。2、一个纬圈上有、一个纬圈上有36个波个波 ，波在几十个经，波在几十个经度。尺度在度。尺度在106m，大尺度波动。，大尺度波动。 称大气长波称大气长波Rossby波波3、准地转，准涡旋运动的特点。、准地转，准涡旋运动的特点。4、振幅，大约是、振幅，大约是101hPa，大振幅的波动；，大振幅的波动；5、这种波动控制日常天气、这种波动控制日常天气重要波动。重要波动。 波动学的优点：1、成熟的波动学理论对天气系统形成机理、 它的发生开展和移动进行研究。2、槽脊的移动，即等位相线的运动， 即波的移动。 槽的移

2、速相速波速3、波动学把气旋低压、反气旋高压 系统联系起来。 波动学与涡旋动力学、大气能量学讨论的对象、内容、目的相同；角度和理论不同，可以互相补充。学习中应该将它们联系起来思考。 目前波动学是主流理论。 e.g.1 气旋增强 涡度增加涡旋动力学； 槽加深波动学 K增加能量学。e.g.2 槽脊东移波动学；。气旋东移涡旋动力学即气旋后：即气旋前：, 0, 0tt本章目的：本章目的： 用波动学理论讨论天气系统的形成、发生用波动学理论讨论天气系统的形成、发生开展及移动的机理。开展及移动的机理。通过大气运动方程进行理论探讨。通过大气运动方程进行理论探讨。存在问题：存在问题：除了大尺度的天气波动外、大气中

3、根本方程除了大尺度的天气波动外、大气中根本方程中还存在其他波动。中还存在其他波动。四类根本波动：大气长波，声波，重力波，惯性波没有电磁学方程，不能不包含电磁波、光波滤波噪音：要去掉的。次要：如声波等谐音：要保留的；重要：大气长波 滤波的目的：滤波的目的： 去除次要波动的干扰，讨论主要波动； 特别在数值预报中： )0()()()()(ttttfuutftutftuttt代替无限元即用有限元差分不能取太小由于计算机资源限制，误差时时间步长tttutu00例如：例如： 如果取时间步长为如果取时间步长为10分钟，对于时分钟，对于时间尺度为间尺度为105s的天气尺度波动来说，误的天气尺度波动来说，误差较

4、小。而对于像声波等快波来说，误差差较小。而对于像声波等快波来说，误差就很大就很大(随机的，且是累积的。随机的，且是累积的。如何在方程中就进行滤波？如何在方程中就进行滤波？例如：声波是由于大气可压缩性引起的。例如：声波是由于大气可压缩性引起的。假设大气是不可压的就可以滤去声波，但假设大气是不可压的就可以滤去声波，但对天气波动影响不大。对天气波动影响不大。研究天气波动的机制、性质研究天气波动的机制、性质理解天气理解天气变化的规律和机理。变化的规律和机理。研究次要波动的机制和性质研究次要波动的机制和性质滤波。滤波。所以，只要是根本方程包含的波动，都必所以，只要是根本方程包含的波动，都必须研究。须研究

5、。大气波动的根本类型:声波惯性波重力波Rossby波弹性振动大气的可压缩性惯性振荡旋转性浮力振荡层结性效应小扰动法线性方程组标准波型解频散关系相速、群速等讨论波动的方法:第一节第一节 波动的根本知识波动的根本知识1、波动定义：、波动定义： 振动在弹性媒介中的传播。需要二个条件：需要二个条件：1振动振动2能够传播。能够传播。 质点与质点之间建立联系质点与质点之间建立联系e.g.单个单摆摆动，不能引起其它单摆摆动；单个单摆摆动，不能引起其它单摆摆动；但用一根线把它们的摆球连起来，那么但用一根线把它们的摆球连起来，那么一个摆动可以传播出去。一个摆动可以传播出去。缺一不可传播机制振荡机制波动机制传播的

6、是振荡的状态。振荡引起的机制： 回复力机械学中的观点。一般回复机制方向相同。不稳定：净浮力与位移；向相反，可以产生振荡稳定：净浮力与位移方如大气层结传播机制：质点与质点之间的联系 波动的最大特点：周期性时间上周期变化；空间上周期分布 有规律、重复发生有规律、重复发生可预测可预测)cos(tkxAy)cos(cossin)/( 0212222tAtctcyMKydtyd振幅：物体离开平衡位置的最大位移)cos()(costkxATtkxAiii上式成立的条件： 2 2TT 简谐振动稳定的传播所形成的波动称为简谐波周期：空间固定位置上的点完成一次全振动所需时间圆频率： 时间内质点完成全振动的次数。

7、时间内质点完成全振动的次数。 22T 初始位相初始位相xzoLiii波长L：相邻两个同位相点之间的距离kLtkxAtLxkA2)cos()(cosiv波数k：2距离内包含了多少个波长Lk2位相: 波在x轴上各点各时刻的位置，为初位相；cos)cos(AtkxAy.const的点构成的面称为等位相面。TLkdtdxCtkxtkxdtdxCtkx常量常量常量的移速。波速：等位相线（面）0)()(一个周期，正好移动一个全波形一个周期，正好移动一个全波形)(cos)cos()22cos(),(ctxkAtkxAtTxLAtxS例、空气例、空气 c1=340ms-1 水水 c2=1450ms-1求频率为

8、求频率为200Hz的声波在空气和水中的波长。的声波在空气和水中的波长。解：由解：由 cL 空气中空气中 m7 . 120034011cL 水中水中 m25. 7200145022cL 结论：同一频率的声波，在水中的波长比在空气中的波长结论：同一频率的声波，在水中的波长比在空气中的波长要长。要长。 波长、相速、周期三者关系：频率TcLTLc1, , 3、波动的数学表示、波动的数学表示数学上，任一周期函数都可以用傅立叶级数展开来表达。( , )cos()sin()cos()mmmmmmmmmmmmmS x tSSBkxc tDkxc tAkxc t实际大气扰动不是单纯的简谐波，可以看成是各种实际大

9、气扰动不是单纯的简谐波，可以看成是各种不同波长、不同振幅强度的简谐波的叠加不同波长、不同振幅强度的简谐波的叠加mmmADBtxs或者、可以得到各已知);,(实际扰动虽然是许多谐波组成，但往往只有几个谐波分量是主要的，其频率、振幅虽然不同，但动力学性质往往一样。因此如果想得到定性的结果，分析一个典型的谐波分量就足够了0),(mmmSStxS22mmDB m=0,1,2,3lmmlLkm2/22波长波长L=l/mm纬向波数目整数纬向波数目整数纬向波数纬向波数如果是线性波动，那么波动方程为：如果是线性波动，那么波动方程为：0000),(mmmmmLSLSSLLtxLS为线性算子，则有：这里取波动形式

10、解为简谐波解 1某个简谐波最具有代表性 2每个简谐波都满足原方程，都具有相同性质解)()sin()cos(tkxiAeStkxAStkxAS或或可见振幅A常量，不随时空变化，故没有方法讨论波的强度变化，同样无法讨论频率、波数的时空变化。 主要用于讨论线性波动的传播问题 非线性波动波波相互作用sincosiei)(ctxktkx一维波动只随x变化，波动在x方向上传播。 一维波动 一维运动一维运动: 0, 0, 0zywvu一维波动:0/, 0可以不等于wvzy二维波动： j li kKtlykx波矢涡旋运动大气长波的斜槽结构用二维波动表达。 塔发射的球面波三维波动：声波、电视二维波动：湖里水面波

11、一维波动：渠道波典型波动：一维波动二维波动三维波动）：单个简谐波解（单波解tkxtlykxtnzlykxAeAASi;sin;cos的方向波速方向等位相线（面）的法线波矢：CKtrKkzj yi xrknj li kKtnzlykx22222)(nlkKKKKKKC,; ;pxpypzpxpypzcccklnk l nKcccC而因为均所以均pxpypzCc icjc kpxc第二节第二节 波群和波速度波群和波速度 振幅表示了波动强度能量振幅表示了波动强度能量 。2AE 振幅是时空的函数达实际的波动多个简谐波叠加可以表是常量。单个简谐波，振幅mmmSSASS0考虑考虑“线性波动传播时，使用单个

12、简谐波解线性波动传播时，使用单个简谐波解考虑波动强度变化时，应该用多个简谐波叠加称群波或波群或波列或波包。群波或波群或波列或波包。多个简谐波迭加多个简谐波迭加至少是至少是2个。个。考察二个振幅相同，考察二个振幅相同，频率与波数相近的简频率与波数相近的简谐波迭加的结果。谐波迭加的结果。频率相近波数相近21122112)(2)(1&2211kkkkAeSAeStxkitxkicos2sincossincos)22()22()22()()(211212212121212211iieeeeAeAeAeSSSiitxkkitxkkitxkkitxkitxki12122121,;2,2kkkkkk

13、且令：)()22cos(2tkxietxkAS则：)22cos(2),(txkAtxA令：)(),(tkxietxAS则：波数为波数为k,圆频率为圆频率为，振幅为，振幅为 的波动的波动),(txAdkdkdtdxctxkAtxAAg速称为群速度。波振幅（波能量）的传且传播的。随时空也是周期变化，这里常量*)22cos(2),(慢变波包相的变化缓慢，所以振幅的变化要比位由于, kk相速度与群速度：相速度与群速度：相速度是位相的传播速度，如槽脊的移速相速度是位相的传播速度，如槽脊的移速群速度是振幅群速度是振幅/能量的移动速度。能量的移动速度。knjlikCKKCKnlkdkdckckgg群速度为则

14、：相速度为已知三维波动频散关系群速度为则：相速度为已知：一维波动若频散关系式2)(),(;)(两个频率相近的简谐波迭加后的波形波形传播的速度即为群速度？ dkdckcdkdckcg1、c与k无关该波动的波速与波长无关非频散波播而传播波动的能量随波动的传 ; ccg2、c与k有关该波动的波速与波长有关;gcc波动的能量不随波动的传播而传播频散波ccgccg叶笃正,1949,能量频散理论能量频散理论:槽在传播过程中,会通过能量频散作用,在下游激发或加强一个波动上游效应气候遥相关现象气候遥相关现象直接环流遥相关直接环流遥相关:(2)定常波列遥相关定常波列遥相关(Hoskins,1979):PNA型遥

15、相关型遥相关东亚北美型遥相关东亚北美型遥相关Nitta，黄荣辉，黄荣辉1987第三节第三节 微扰动线性化方微扰动线性化方法法求解波动：从根本方程入手fvxPzuwyuvxuutu1未知量的二次及二次以上乘积项非线性项；含有非线性项的方程非线性方程。所以大气运动根本方程组非线性方程组运动方程连续方程热量方程非线性非线性方程，如何求解？近似解线性化小扰动法xfvzuwyuvxuutuLUULUtuOxuuO/)(/ )(2对于波动运动而言，L是波长，是周期；空气微团以U的速度振动，大约经过时间，走了A的距离LALUtuOxuuO)(/ )( 对于小振幅波小振幅波 ，非线性项可略，小振幅波也称 为线

16、性波1LA 定义：振幅远小于波长的波动称为小振幅波，否那么就称 为有限振幅波在某些条件下把非线性方程线性化。在某些条件下把非线性方程线性化。微扰动线性化方法根本思想：微扰动线性化方法根本思想： 1任一气象要素变量，由根本量叠加上未知扰动量组成，即：sss且 ss微扰动 0),(0 , .0wvzyuuwvconstuwvu静止基流静止基流沿纬圈的平均速度场沿纬圈的平均速度场考虑大气的斜压性2根本量满足原方程。3扰动量的二次及二次以上乘积项非线性项，可作为高阶小量忽略。从而得到线性方程。方程组线性化的根本步骤Step1.将描写大气运动和状态的物理量分解为根本量与扰动量Step2. 将变量分解带入

17、方程及边界条件Step3. 将所得方程减去根本量所满足的方程Step4. 略去所得方程中扰动量的高阶项sssxfvzuwyuvxuutuuuuvv ww step1:0,wvconstuxvfzuuwyuuvxuuuutuu) () () () () () () () () (step2:0 xxuutustep3:根本量满足原方程xfvxuuwxuuvxuuxuuutu) () () () (step4:xfvxuuwxuuvxuuxuuutu) () () () (例1：)()(CB )(C)(Bxppvfzuuwyuuvxuuuutuu) () (1) () () () () () ()

18、 () (xpfvzuwyuvxuutu1uuuvv ww )(pzppxpxuutu1)(zstep1:step2:step3:)()(CB )(A)(Cxppfvxuuwxuuvxuuxuuutu) () (1) () () (根本量满足原方程)(Bxpxpxp11 1111112例2：xx111xpxpfvxuuwxuuvxuuxuuutu1) () () (2step4:略去扰动量及其导数的二次乘积项xpfvxuutu1此时，方程形式上虽然多了几项，但由于根本量是的，故现在的方程是线性方程。讨论：小扰动法适用于什么范围？讨论：小扰动法适用于什么范围？ qq 只适用于天气系统开展的初始阶

19、段，在开展旺盛期和后期锢囚阶段都不能使用小扰动法只适用与小振幅波的讨论，对于有限振幅波此法失效对于有限振幅的扰动，这时不满足AA 扰动量的二次以上乘积项不能作为高阶小量忽扰动量的二次以上乘积项不能作为高阶小量忽略。非线性项重要。略。非线性项重要。有限大振幅扰动为非线性现象。有限大振幅扰动为非线性现象。可以略去 表示 uV 重要。物理上：非线性作用不积项，数值很小；数学上：扰动量二次乘如阻塞形势是大振幅扰动，非线性过程，用线性过程就不能解释阻塞高压形成的用线性过程就不能解释阻塞高压形成的机制和特征。机制和特征。假设变量具有平面波形式解:)(tmzlykxiAe,.)(,.)(,)(,.)(,22

20、2222ilyikxikxikxitititnnnnnn得到如下符号关系式：,.)(,.,)(,)(,.,)(,222222ilyikxikxikxitititnnnnnn0ilPfUVi0ikPfVUifvxptufuyptv)(tlykxiePVUpvu微分方程组化为代数方程组第四节第四节 声波声波 研究声波的目的研究声波的目的滤波滤波物理分析：空气块受压缩 0 V连续方程）绝热过程）压缩膨胀速度很快，（质量守恒(TP状态方程1P产生的朝右产生辐散回复机制“大气可压缩性是声波的产生机制。大气可压缩性是声波的产生机制。声波的振动，与传播方向一致声波的振动，与传播方向一致 典型的纵波。典型的纵

21、波。 与天气系统振荡周期为几天，传播速与天气系统振荡周期为几天，传播速度为度为10m/s与风速相当相比，声波是与风速相当相比，声波是高频波高频波 如果不滤去，会引起不稳定。如果不滤去，会引起不稳定。 声波的物理模型 1物理模型首先要突出研究对象的产生机制声波产生的机制、过程、物理条件要保存、突出。 2去掉次要的波动，即滤波给出的条件要能去掉其它波动，保存声波。 3尽量使问题简化如：声波可以是三维传播的，但为了简单起见，可简化为一维问题，机制没发生变化。 物理模型物理模型假设：假设：1大气是可压缩的。 2大气运动仅仅局限在x轴上 由于声波是纵波，那么声波只在x向传播简化问题，且滤掉的横波如重力波

22、、大气长波等，如：重力波水面波：上下振动，水平方向传播。 )0, 0(wv3不计科氏力f0科氏力不是引起声波的主要作用 滤去了由科氏力产生的波，如惯性波、大气长波等。 4膨胀和压缩是绝热过程dtdRTdtdpdtdpdtddtdppccdtddtdppcRdtddtddtpdcRdtdpRpppRpppTdtdpvppcRcRcRcRpppp1101111lnln1ln1)()( 00100及数学模型：数学模型：三个方程、三个未知量闭合方程组 001dtdPdtdPxuxutxPxuutu方程组包含了声波的机制 xudtduxPxuutuxPdtdPdtdPdtdPdtdxuxutxu改变0)

23、1(010)0(0)0(001032xPxuutuxuPxPutPdtd得：）式消去）、（2微扰动的线性化：1设：设： 且且uuuPPPConstConstuConstP2代入方程，得到： 且注意到：2110102xPxPxuuxuutuxuPxuPxPuxPutP3略去扰动量的二次乘积项即非线性项：)2(01) 1 (0 xPxuutuxuPxPutP4求波动解：即消去)2() 1)(,xPxutu4求波动解： A：消元法形式解为双曲型的波动方程，令0)(222PxPPxut)(ctxikAePikxPikikAexPikctPikcikcAetPctxikctxik)()()()(的条件为

24、：存在非零解即波动存在具有零解；PPPPucPikPPikuikc0)(0)()(2220)(2PucTRuPuc)2(01) 1 (0 xPxuutuxuPxPutP)()(,ctxikctxikBeuAePikxikct,)4(0)()()3(0)()(uuikikcPkiuPikPuikikcTRuPucPucucPuc2)(01)4(0)()1() 3(0)()(uuikikcPikuPikPuikikc5讨论：1声波是线性叠加在根本气流上，一维波动，声波是双向传播的 。 2波速c与k无关，是非频散波 。 3声波的传播速度c，取决于物质常数，声波的传播速度取决于介质。 4 比是快波与大

25、气长波的移速11121010mssmc5滤波的条件：大气不可压 水平无辐散&地转近似 去掉水平向的声波去掉水平向的声波 静力平衡气压取决于气柱重量而不是压缩程度 去掉垂直向的声波去掉垂直向的声波 滤波的方法不是唯一的 重力波是大气在重力作用下产生的一种波动，它的产生和垂直运动联系在一起，要求W不等于零。 分为重力内波、重力外波。第五节第五节 大气重力波大气重力波gravity wave 重力外波重力外波 实际大气：没有自由面。实际大气：没有自由面。在讨论动力过程时，经在讨论动力过程时，经常把大气简化为均质大常把大气简化为均质大气气具有了自由面。具有了自由面。 在大气自由面上会在大气自由

26、面上会产生类似于水面波的波产生类似于水面波的波动动重力波。重力波。自由面自由面密度不同流密度不同流体的交界面。体的交界面。重力内波：重力内波：实际大气是层结流体，实际大气是层结流体，看作是许多密度不同看作是许多密度不同的流体层组成。的流体层组成。 不同密度的流体交界面上，会产生重力波。不同密度的流体交界面上，会产生重力波。如：稳定层结下，气块受净浮力重力和浮力的合力的回复力作用，作振荡；如果振动能够传播，形成波动。两种重力波重力波 层结大气内部重力内波大气自由面上重力外波 重力内波：在大气内部，由于层结作用或在大气内部的不连续面上，空气受到垂直扰动后，偏离平衡位置，在净浮力作用下产生的波动；重

27、力外波: (外表重力波) 处于大气上下界的空气，受到垂直扰动后，偏离平衡位置，在重力作用下产生的波动，它发生在边界面上一、重力外波一、重力外波物理分析：均质流体的自由外表上产生的波动，与水面波相同。以一维渠道波为例：垂直剖面图：没有扰动，没有扰动，水面呈水平水面呈水平的，流体深的，流体深度度H为常量。为常量。如初始时刻，给如初始时刻，给AAAA向上的扰动向上的扰动：AA间的压强气柱高度BA间、AB间A线向左，A线向右的压力梯度力A线向左运动，A线向右运动。产生两种作用：产生两种作用： AA间产生辐散，自由面下降，压力减小。 压力梯度力减小，但继续加速辐散水平，压力梯度力为零由于惯性继续辐散产生

28、向内的压力梯度力辐散减弱至0，这时向内的压力梯度力最大，产生辐合，自由面上升产生振荡。 自由面上升-产生向外的压力梯度力辐散自由面下降回复机制。辐合辐散运动回复机制从运动角度讲，水平的（气柱重量差产生）力梯度力是回复机制。从力的角度讲，水平压AA间辐散BA间、AB间辐合 由面上升扰动向左右两边传播 传播的机制：水平辐合辐散 由上面分析可见，重力外波性质：双向传播 上下振荡、水平传播垂直向横波 形成条件：形成条件：自由外表的存在自由外表的存在 静力平衡静力平衡 水平辐合辐散是产生、传播的重要机制。水平辐合辐散是产生、传播的重要机制。 重力外波的物理模型应包括的机制： 自由面坡度变化相应的压力梯度

29、力水平的辐合辐散运动引起自由面的变化。重力外波的物理模型： 均质不可压，且具有自由外表滤去重力内波、声波 静力平衡滤去垂直向声波 不计科氏力作用滤去惯性波、大气长波 波动是一维的；运动限制在xz平面内v=0)滤去水平向横波 数学模型：数学模型： 0011zwxugzPxPzuwxuutuu，w，P ，是闭合方程组但这里没有表达自由外表的性质由静力平衡 ：xhgxPzhgP1)(水平压力梯度力与自由外表的坡度相联系水平压力梯度力与自由外表的坡度相联系10Pgz同时辐合辐散会导致自由外表高度同时辐合辐散会导致自由外表高度发生变化发生变化由连续方程描述。由连续方程描述。把连续方程对整层流体积分，即：

30、0)(0hdzzwxu得到）注意：不能从正压条件与高度无关，即：由它驱动的水平运动也与高度无关，由于水平压力梯度力( ; 0zuxhg00wwxuhhdtdhwwh同时，底面是水平的，则000dtdhxuh0 xuhxhuth)(uhxth1;)(xxuhxuh)(uhx 单位时间，通过单位水平截面、高为h的空间体的东西侧面的体积净流出量。th单位截面积空间体内的流体体积变化率； 质量守恒均质不可压体积守恒 表达了水平辐合辐散对自由面高度的影响。0 xuhxhuthxhgxuutu自由外表坡度产生压力梯度力，改变自由外表坡度产生压力梯度力，改变大气的水平运动，由此产生的辐合辐大气的水平运动，由

31、此产生的辐合辐散运动又改变自由外表的坡度。散运动又改变自由外表的坡度。令 , HConst hHhConstuuuu,00 xuhxuHxhuxhuthxhgxuuxuutu)2(0) 1 (0 xuHxhuthxhgxuutu消去u： ) 1)()2)(xHxut0)(222xhgHhxut令形式解：形式解： )(ctxikAeh0)()(22hikgHhikuikc要使 0 h0)(2gHucgHuc讨论：讨论：重力外波线性叠加在根本气流上重力外波线性叠加在根本气流上双向传播双向传播如g10m/s2，H=10km时， gH300m/s快波，高频波。 非频散波。滤波的条件：滤波的条件：水平无

32、辐合辐散或准地转近似水平无辐合辐散或准地转近似没有自由外表两种情况：充满整个空没有自由外表两种情况：充满整个空间，刚性上边界间，刚性上边界 假设不考虑重力，也可以滤去重力外波，假设不考虑重力，也可以滤去重力外波，但同时也消去了天气波动。但同时也消去了天气波动。另一种解法：不用消元，行列式法。另一种解法：不用消元，行列式法。)()(ctxikctxikBeuAeh0)(0)(uHikhikuikchgikuikuikc存在非零解： 0cuHgcu0)(2gHucgHuc 一般地，求解由一般地，求解由56个未知量组成的方程组时，可以：先消元，去掉先消元，去掉23个未知量；再再用行列式法求解。用行列

33、式法求解。二、重力内波二、重力内波重力外波发生在自由外表即的不连续面上的波动。重力内波发生在稳定层结的层结大气中。浮力振荡发生在稳定层结的层结大气中，因为只有在稳定层结下，才能形成回复机制，使振荡传播出去形成波动。浮力振荡：在稳定层结中，当气团受到垂直扰动时，它要受到与位移相反的净浮力回复力作用而在平衡位置附近发生振荡，这种振荡称为浮力振荡。类比于弹性振荡物理分析：稳定层结中，垂直向受到扰动，形成浮力振荡，通过水平的辐合辐散传播重力内波。强对流活动或地形都可以激发重力内波强对流活动或地形都可以激发重力内波( )zP( )( )z( )( )zT( )P zzzzT zz：由低层向高层，气柱的长

34、度在减小，：在重力的作用下，粒子集中在下层，：大气吸收地面的长波辐射而增温，P,PVCPConstC准静力内部气压始终与环境气压一致，故气块在上升过程中通过膨胀使干绝热降温,由于热传导很慢，气块在上升膨胀过程中，本身的温度递减率：气块在上升膨胀过程中，本身的温度递减率：TzddTdz大气环境温度递减率：大气环境温度递减率：1d wPgd tz dwggdt gggTTTgTTgTTTRTPgRTPTRPgdtdw) 1(111)()(dwggdt 000000()()ddddTTTzTzdzTTTzTzzTzTzdwggzdtTT 二者的大小关系表达了不同的层结状况： 假设 ，即周围温度下降得

35、快，故气团T周围 ， 重力浮力，净浮力向上，不稳定层结； 假设 ，即周围温度下降得慢，故气团T浮力，净浮力向下，稳定层结； 假设 ，净浮力为零，中性层结。TTddd2,dd zNgwTdt 令 且 222dzNzdt 20dN若稳定层结，cossinNzANtBNt解为：，振荡解，其中： 为振荡频率。0000(),()PPARARCCPPdwTTTTgPPdtT由于，代入得：000000002()()()()()pppARARCCARCPPPPdwTTgggdtTPPdzzgdzzgzNzz 气块上升，干绝热过程，位温不变2lngNgzz其中，20dN若稳定层结，cossinNzANtBNt解

36、为：，振荡解，其中： 为振荡频率。气块上升，是干绝热过程，不变；而环境 在P相同时， 净浮力向下，回复力作用，产生浮力振荡0,0gz0TTTTgT2dwN = 0= 0dtdwN 0dt中性层结下，气块受扰将处于中性平衡状态；不稳定层结下，气块受扰将远离平衡位置。所以只能在稳定层结下才能形成重力内波。 2 解释：上边界为刚壁，消去了重力外波。 对AB间的流体而言： 扰动向上，由大气的连续性知：下层周围流体辐合补充，上层流体 辐散散开； 对周围流体而言： 上层辐合，下层辐散下沉运动，再由同样的方式影响周围流体； 再由回复力作用，一会儿上升，一会儿下沉，即形成波动。3重力内波的物理模型：假设：在连

37、续方程中：包辛内斯克近似上下边界刚性：滤去重力外波 因为水平的辐合辐散必然在自由外表上产生波动。运动是一维的。f0，不计科氏力：滤去惯性波、大气长波。干绝热过程。数学模型：数学模型： ()()()()0uuuPuwtxzxwwwPuwgtxzzuwxz 0,PVCdPP ddtdtC 热力学方程:热力学方程()PPPPuwuwtxztxz注：在热力学方程中的 0t这是因为：干绝热过程中，通过膨胀引起气团内变化，故重力变了；而外界的(z)也在减小。所以哪个降得快，就会影响净浮力的方向，从而产生重力内波在热力学方程中必须考虑 0t对此方程进行线性化为简化起见，是在静止的、层结大气中：,( ),(

38、)uu ww PP zPz设0uuuuuuPuuwwttxxzzxwwwwwwPPuuwwggttxxzzzzuuwwuwwxxxzzzzPPuwtx 22()()PPPPPPwuwwzztxzz 略去扰动项的二次乘积项，并把 0Pgz代入上面方程组，得到： 00()()00()uPtxwPgtzuwuwwxzzxzPPPPwwtztz,uuww设(1)(2)0(3)()uPtxwPgtzuwxzPPPPwtzzt 对上面的第四个方程进行改写：11111211000000Nln,()()pARCPPPgTPR PzPRP由又由两边求ln，得到：0011lnlnlnln(1)lnPRP再对z求导

39、，得：111ln()PPPzPzzzz两边同时 g，并利用声波波速公式 2,LPPcuc222(4)LLN cPwctgt由上下边界固定，知： 0H0,0zzww0H0,0zzww下面求解上面方程组：求解上面方程组：对(1)和(3)消去 222(3)(1):(5)wPutxt zx 对(2)和(4)消去 22222(2):(4)()()(6)LLggNwPtctttc 对(5)和(6)消去 222P: ()(5)(6)Lgttcx22222222220()00Lzz HgwNwtxzczxw 令形式解：形式解： ()( ),ik x ctww z e (0)()0ww H()ikc,ikik

40、x ctdwwetxzdz且，代入方程，得到：222222()0Ldg dNwwkwdzc dzcZ相当相当于于=-=-2ba242bbacra 22222222444,0244LLbacgNgNrkkaCCCC2w 222224()4LgNmrkCCH 2224()4LNcmgkHC N值越大，大气越稳定，重力内波的波速就越快210/m s4 4 性质：性质：机制：浮力振荡水平辐合辐散正负两个方向长波频散波波动的速度c几十m/s 中尺度波动与日常局地性暴雨联系，对应着非常强的上升运动。5青藏高原水平尺度在千公里：青藏高原水平尺度在千公里： 降水发生在背风面；降水发生在背风面； 影响大尺度天气

41、影响大尺度天气引起槽脊天气系统、气旋反气旋。引起槽脊天气系统、气旋反气旋。中尺度地形百公里：与中尺度天气对应。中尺度地形百公里：与中尺度天气对应。 气流爬坡，产生垂直扰动，稳定层结，引起浮力振荡，气流爬坡，产生垂直扰动，稳定层结，引起浮力振荡， 产生得波动形为：产生得波动形为：A随随z的增加而减小。的增加而减小。第六节第六节 重力惯性波重力惯性波一一 惯性波惯性波惯性振荡惯性振荡“惯性：由于地球自转，产生最主要的惯性力是科氏力。惯性：由于地球自转，产生最主要的惯性力是科氏力。质点受扰动后，在科氏力作用下，产生振荡。质点受扰动后，在科氏力作用下，产生振荡。证：只考虑科氏力： (1)(2)dufv

42、dtdvfudt 消去u： 222(2)0dd vf vdtdt或消去v： 222(1)0dd uf udtdt谐振荡，周期解： uAsinftBcosft或vAsinftBcosft其中，f_惯性振荡的圆频率。假设有传播机制，那么振荡会传播出去。 传播机制：水平辐合辐散在科氏力作用下形成的向右北半球旋转的在科氏力作用下形成的向右北半球旋转的惯性振荡，通过水平辐合辐散的变化，在垂直惯性振荡，通过水平辐合辐散的变化，在垂直方向传播，形成惯性波。方向传播，形成惯性波。(1)(2)dufvdtdvfudt 某区域有上升运动某区域有上升运动 ，那么：下层辐合、上层，那么：下层辐合、上层辐散，进而产生水

43、平扰动。辐散，进而产生水平扰动。对于西风扰动对于西风扰动 ， ，削弱原有西风，削弱原有西风，从而改变原来的水平散度分布。从而改变原来的水平散度分布。因此，在科氏力作用下形成的向右北半球旋转因此，在科氏力作用下形成的向右北半球旋转的惯性振荡通过水平辐合、辐散及垂直运动的交替的惯性振荡通过水平辐合、辐散及垂直运动的交替变化，在水平方向和垂直方向传播，形成惯性振荡。变化，在水平方向和垂直方向传播，形成惯性振荡。外部条件：地球旋转；外部条件：地球旋转；内部条件：垂直运动及其加速度非静力平衡，内部条件：垂直运动及其加速度非静力平衡，水平散度的交替变化。水平散度的交替变化。0w 0u 0,0,0dvduv

44、dtdt纯惯性振荡大气中不常见，海洋中可见。纯惯性振荡大气中不常见，海洋中可见。v=-fR f增加，增加，v变化不大，变化不大，R减小减小实际上，大气中纯惯性波并不存在。实际上，大气中纯惯性波并不存在。科氏力、重力是同时起作用的科氏力、重力是同时起作用的.若发生在自由表面上，则称重力惯性外波；若发生在层结大气中，则称重力惯性内波。与重力波一样，也与中尺度天气相联系。惯性波与重力波形成混合波，称为重力惯性波.以作旋转运动的一个水槽内的水受重力和惯性离心力为例：1没有旋转运动，那么：没有惯性力，是纯重力的作用下。单纯重力的作用，产生的垂直方向的振动、水平方向的波动；单纯科氏力的作用，产生的水平面上

45、的振荡、垂直方向的波动。2旋转运动很强，那么：很大，相比来看重力可以不计， 即在纯惯性力作用下。3重力、惯性力共存下：自由外表呈抛物线型时才稳定。二二 重力惯性外波重力惯性外波 假设：假设： 静力平衡，均质不可压：静力平衡，均质不可压：是常量；是常量； 有自由面； 运动发生在旋转地球上，即 00,ffConst ff滤去了声波、内波、大气长波；含有重力外波2个解、由于科氏力引起的惯性波2个解的解。如果为四个解，那么重力外波和惯性波分开；如果为两个解，那么说明重力外波与惯性波混合成为了重力惯性外波。数学模型：数学模型：考虑科氏力作用下的方程考虑科氏力作用下的方程00110vvvPuvuuuPuv

46、f vtxyxuvwf utxyyxzy 11(),PhPhPg hzggxxyy &hhggxy0,0uvzz假设自由面高度hx，y，t：由静力平衡： 趋动大气运动的力气压梯度力与z无关h与z无关，所以由它们趋动的大气运动也与z无关与z无关00uuuhuvgf vtxyxvvvhuvgf utxyy 000()0()00,()0()hhhuvwuvdzhwwxyzxydhwwdthhhuvuvhtxyxyhhVt 连续方程积分:即：由“均质不可压和“质量守恒，推出“体积守恒。对上式的讨论：hV0,0,hV0,0,hhthht净流入， （）净流出， （）原方程组变为：00()0uuuu

47、huvwgf vtxyzxvvvvhuvwgf utxyzyhhhuvuvhtxyxy 线性化：线性化：在静止状况下发生的扰动： ,uu vv hHh HConst那么方程组变为：00()0uhgf vtxvhgf utyhuvHtxy 消元可得： 222200222()0gHfhttxy考虑一维波动，令 ()i kxthAe ,iiktx 代入得：22200()()()0iigHikfh要使 222000()()0hiigHikf 这是三次方程，所以应该有3个解：个解：10定常波 实际大气中不会出现这样的波动。所以，这个解是无意义的，是由于在消元过程中使方程阶数变高了。222000gH kf

48、22200gH kf 相当于两个波动的合成重力外波02ucugHgHckgHk 惯性波0f220cfgHk重力惯性外波的波速公式：气象意义：是重力外波和惯性波的混合解混合解由于实际大气中，重力和科氏力都存在，故重力外波与惯性波混合并存。重力惯性外波：频散波频散波传播机制：水平辐合辐散.故对应中尺度天气过程，是高频波、快波，对应局地、短时、强烈的天气现象。 第七节第七节 大气长波大气长波 大气长波很重要，从任一张天气图上都可以看出大气长波很重要，从任一张天气图上都可以看出长波的性质长波的性质：大尺度波动，涡旋运动，准地转，准水平无辐散，准水平运动。大尺度波动，涡旋运动，准地转，准水平无辐散，准水

49、平运动。慢波：慢波：控制日常天气过程。控制日常天气过程。强度：大振幅。强度：大振幅。水平向横波：振动在南北方向，传播在东西方向。水平向横波：振动在南北方向，传播在东西方向。假设：假设：运动局限在水平面内，运动局限在水平面内， 滤掉了垂直向的横波重力波滤掉了垂直向的横波重力波大气均匀不可压大气均匀不可压不考虑层结，正压大气，密度常数不考虑层结，正压大气，密度常数滤掉了声波，重力内波。滤掉了声波，重力内波。综合此二点，即假设水平无辐散，滤掉了重力惯性波。综合此二点，即假设水平无辐散，滤掉了重力惯性波。数学模型：u，v，P的闭合方程组()(1)()(2)0uuuPuvfvtxyxvvvPuvfutx

50、yyuvxy V,vukxy(2)(1)xyuvvtxy 大气长波主要是涡旋运动；描述涡旋运动的最好的物理量是，而不是水平运动，对应的在垂直方向上：故对上面方程组作些处理：简化的涡度方程,0uvvtxyvuuvxyxy 简化的涡度方程和连续方程：简化的涡度方程和连续方程：线性化：线性化：,uuu vv uConst 即假设大气长波叠加在均匀的西风基流上中高纬大气上空的西风气流并不均匀，存在西风急流00uuvvtxxyuvxy 代入方程，得到：有旋无辐散：可以引入流函数 22222,uyxyvx 略去二阶小量，得到：00uvtxuvxy引入流函数，并略去方程中扰动量的二次乘积项，得到：2()0u

51、txx 一元线性微分方程设波动解：设波动解：()i kx lytAe 代入上面的一元线性微分方程中，得到： 2222()()( ) 00iikuikilikkukkl 2cKK,xyccklgcijkl波速：波速： 群速度：群速度： 三 以一维的情况讨论：讨论： 一维，即l0，ukk1 传播： 波速： 2cukk与重力波的cugH 不同，大气长波单向传播； 22u00,0kku无基流时， ，向西传播且有西风基流时，要比较 与的量级大小2 cos,a其中 k纬圈上的波数，u2200kLckkLck大， 小， 小，东传短波东进；小， 大， 大，西传长波西退。20,2sssucukLku,0 ,0

52、,0 ,sssLLcLLcLLc西 退静 止东 进 是可以确定的，也可以确定；故c取决于k或L：由波静止时的临界波数，临界波长得到：冬季根本气流较大平均三个波。夏季根本气流略小，平均四个波。纬向风越大，纬度越高，临界波长越大7460066121212101210=10 m10 mU=10m/s10 s=10fa=10=10()()()0101010101010()0LLDHUUWURLHuvUvuUxyLxyLuvuvuvvftxypxyxyuvvfxy，D，零级近似：超长波运动准定常超长波运动准定常正压正压Rossby波波速公式应用波波速公式应用2波速大小：短期过程，气旋尺度在千km量级，而

53、Rossby波的传播速度在几百km/天。 天气系统几天过去。 不同于重力波的c 几千km/天，几个小时此天气系统就过去了。 210/m s 传播特点：传播特点：1单向缓慢传播单向缓慢传播2无基流时，纯无基流时，纯Rossby波西退；波西退； 有西风基流时，有西风基流时，Rossby波的传播有三种情况。波的传播有三种情况。2 频散：频散： 2,ukcukk 频散波，波动的能量不随波传播，即槽脊能量传给别人。20gcukkgcc 能量一定在槽的下游，槽在能量的上游。故上游槽会在下游会加强波动原来有波动，或激发波动原来无波动。这就是上游效应。1不管波长多大，群速度总是正值，能量向东传播；不管波长多大

54、，群速度总是正值，能量向东传播；2波长越短，能量东传越慢；波长越短，能量东传越慢；3能量移动速度比波速快。能量移动速度比波速快。2suL上游效应：000,gggcccccc当或者，时，波动的能量先于波动传到下游，会在下游加强原扰动或激发新的波动，称为上游效应。下游效应：000gggcccccc当或者，时，下游波动对上游波动的影响。 而实际天气过程中，Rossby波： 0gcc上游效应。 3 机制：的存在，是的存在，是Rossby波产生的必要条件。()()0ddfdfdffdvvvufdtdydydxtdt 其中，是垂直方向的相对涡度， 2sin2f 0addt绝对涡度守恒。 科氏参数或称牵连涡

55、度随纬度变化会使 发生变化。系统有南北运动由上面方程知：效应：由的存在产生的结果 由于科氏参数f随纬度是变化的不等于0，当系统作南北运动时v不等于0，这时系统的牵连涡度发生变化；为保持绝对涡度守恒，系统的相对涡度也要发生相应的变化。由这种机制产生的结果，称为效应，它是Rossby波的机制。关于关于Rossby波产生机制的不同说法：波产生机制的不同说法：回复机制：回复机制：初始时刻，根本西风气流下，初始时刻，根本西风气流下， 0； 现在：受到向北的扰动，由于 ,0f,u u,0f在 的作用下，作反气旋的圆周运动；直至回到原纬度，f回到原值；但由于惯性，会继续向南，此时作气旋式运动；再回到原纬度，

56、受惯性继续相北； 这种说法：可以解释天气图上的波状气流；这种说法：可以解释天气图上的波状气流；但只是解释了质点的回复机制，没有给出波的传播机制；但只是解释了质点的回复机制，没有给出波的传播机制；而且看到的也是叠加在根本气流上的。而且看到的也是叠加在根本气流上的。所以这里看到的波状，实际上还是质点的振荡类似于前所以这里看到的波状，实际上还是质点的振荡类似于前面讲的单摆在振荡，下面的纸在移动，留在纸上的波形。面讲的单摆在振荡，下面的纸在移动，留在纸上的波形。传播机制：传播机制： dvdt 利用 作如下讨论：Rossby波的机制回复机制；传播机制。 中间质点受扰动，v0 ， ，生成反气旋涡度点涡仅仅

57、在一个地方有涡度，该点涡也会在周围诱导出反气旋流场，使得左边的流点受到向北的扰动，产生反气旋涡度，也诱发出流场，使两边的流点振动起来，也使得右边的流点受到向南的扰动，产生气旋涡度，也诱发出流场，使两边的流点振动起来。同时左边流点诱发的反气旋流场和右边流点诱发的流场，使中间流点产生向南的运动。这相当于给中间流点一个回复机制，产生振荡。 左边流点产生脊，故脊由中间点向左边西传；右边流点产生槽，而中间点受向南的扰动产生槽，故槽也向西传。所以波动向西传播。,0f这种说法：这种说法：1质点发生南北扰动后，受回复力作用发生振荡；质点发生南北扰动后，受回复力作用发生振荡；2质点诱导出的流场，使周围流点发生扰

58、动质点诱导出的流场，使周围流点发生扰动传播；传播；3从位相上看，单向西传。从位相上看，单向西传。都是都是效应的结果。效应的结果。Rossby波产生、传播、振荡所有机制，都是效应。第八节第八节 滤波问题滤波问题一，滤波的目的：一，滤波的目的：根本方程：含有各种波动根本方程：含有各种波动:性质、机制、对天气产生的影响性质、机制、对天气产生的影响不同，分为谐音和噪音。不同，分为谐音和噪音。 1具有必要性。具有必要性。应用根本方程时，应用根本方程时， 理论研究上：影响理解。理论研究上：影响理解。 数值预报：从根本方程出发，会含有快波，引起计算数值预报：从根本方程出发，会含有快波，引起计算不稳定。取同样大小格距，对慢波差分较好，对快波差不稳定。取同样大小格距，对慢波差分较好，对快波差分误差很大。分误差很大。 实际天气图上，已滤掉了快波因为测站间距大。实际天气图上，已滤掉了快波因为测站间距大。 2具有可行性