信号与系统：第22讲 第10章 Z变换2

1、第第1010章章 Z Z变换变换 10.4-10.4-10.510.5由零极点图对傅里叶变换进行几何求值；由零极点图对傅里叶变换进行几何求值； Z Z变换的性质变换的性质2022-3-15信号与系统第22讲2nZ变换定义变换定义n定义式定义式n与离散序列傅里叶变换的关系与离散序列傅里叶变换的关系n收敛域收敛域n收敛域的性质收敛域的性质n环形收敛域环形收敛域n左边序列、右边序列和双边序列的收敛域左边序列、右边序列和双边序列的收敛域nZ反变换反变换n部分分式展开部分分式展开n留数留数n级数级数2022-3-15信号与系统第22讲3n从了解从了解Z变换到应用变换到应用Z变换进行序列分析变换进行序列分

2、析n基本序列比较简单，但是复杂序列怎么办？基本序列比较简单，但是复杂序列怎么办？nz变换性质分析，利用基本形式的变换性质分析，利用基本形式的Z变换简化复杂变换简化复杂序列的分析序列的分析n零极点分析应用零极点分析应用n拉普拉斯变换完全由零极点决定，拉普拉斯变换完全由零极点决定，z变换也一样变换也一样n零极点用于分析系统的频率特性零极点用于分析系统的频率特性2022-3-15信号与系统第22讲4n0.零极点图几何分析与系统频率响应零极点图几何分析与系统频率响应nZ变换的变换的ROC包含单位圆，变换在单位圆上的结果，就包含单位圆，变换在单位圆上的结果，就是其频率响应是其频率响应n分析离散时间系统的

3、频率响应分析离散时间系统的频率响应H(ej)，就是分析其系统，就是分析其系统函数函数H(z)在单位圆上的表现在单位圆上的表现n通过通过H(z)的零极点图分析，可以得到系统的频率响应的零极点图分析，可以得到系统的频率响应n分析方法和过程与拉普拉斯变换中关于分析方法和过程与拉普拉斯变换中关于H(s)的零极点分的零极点分析基本相同析基本相同2022-3-15信号与系统第22讲5n考虑一般情况，考虑一般情况，H(Z)只有单极点和零点只有单极点和零点n频响特性频响特性01110111)(azazazbzbzbzbzHnnnmmmm)()()()(2121nmmpzpzpzzzzzzzbnrrmiimpz

4、zzb11)()(11()()()mjijimnjrrezH ebep(1)irjjiijjrrezBeepAe11()11()mnirirmijjimnrrBH ebeA令令 则则 2022-3-15信号与系统第22讲6nS平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到Z平面为单位园平面为单位园n在连续时间系统的分析中，考虑频率特性是沿虚轴分析频率的变在连续时间系统的分析中，考虑频率特性是沿虚轴分析频率的变化引起系统特性的变化化引起系统特性的变化nZ平面即由平面即由z=1点沿单位圆逆时针方向移动来分析。点沿单位圆逆时针方向移动来分析。n几何作图方法：几何作图方法：n由（由（1）式用矢量作图法可对每一）式用

5、矢量作图法可对每一 值求出差矢量，然后再代入值求出差矢量，然后再代入（2）式得幅频响应及相频响应的各样点值。）式得幅频响应及相频响应的各样点值。1111()(2)()mijimnrrmnirirBH ebA 幅频特性：相频特性：ImzRezN-1M10QA1B1p1p2112ej2022-3-15信号与系统第22讲7n分析两个极点、一个零点的频响函数的矢量作图分析两个极点、一个零点的频响函数的矢量作图方法：方法：n作图时要把握好零点、谐振点、作图时要把握好零点、谐振点、 点的值，把发点的值，把发展趋势画出来。展趋势画出来。ImzRezN-1M10QA1B1p1p2112ejA2z1112112

6、()( )()()()()jjzejjjHeHzzzzpzpezepep)(211211jeAAB2022-3-15信号与系统第22讲8n由几何法可以看出：由几何法可以看出：nz=0处的零、极点对幅频特性处的零、极点对幅频特性 没有影响，只没有影响，只对相位有影响对相位有影响n当当 旋转到某个极点的旋转到某个极点的 附近时，附近时， 较短，较短，则则 在该点应当出现一个峰值，在该点应当出现一个峰值， 越短，越短， 附近越尖锐。若附近越尖锐。若 落在单位圆上，则落在单位圆上，则 ， 处的峰值趋于无穷大。处的峰值趋于无穷大。n对于零点则其作用与极点的作用正好相反。对于零点则其作用与极点的作用正好相

7、反。)(jeHjez ipiA)(jeHiAipip0iAip2022-3-15信号与系统第22讲9n例题例题 已知系统函数已知系统函数画出系统幅频曲线画出系统幅频曲线n解：先写系统频响函数解：先写系统频响函数n写出幅频函数矢量表达式写出幅频函数矢量表达式n作出矢量图作出矢量图)21)(32()(zzzzH()( )21()()32jjjzejjeH eH zee112()112()jjBHeeA A2022-3-15信号与系统第22讲10ImzRezn-12n10QA1B1P1=2/3P2=-1/2112ejA2Z1=0T()jH e0222 . 174. 0A1A2B1233112 . 1

8、1 . 1135211()jH e0274.02 .12/ 22022-3-15信号与系统第22讲111p低通1p1zje高通()jH e00je()jH e2022-3-15信号与系统第22讲121p2p带通)(jeH01p2p1zjeje)(jeH0带阻2022-3-15信号与系统第22讲131p2prrr1r11z2z全通220靠近单位圆周的靠近单位圆周的极点附近有尖峰极点附近有尖峰0)(jeH)(jeHjeje2022-3-15信号与系统第22讲14课堂练习课堂练习n证明离散时间系统中的全通系统。其零极点分布证明离散时间系统中的全通系统。其零极点分布有下图所示规律有下图所示规律1p2p

9、rrr1r11z2z11( )1zrH zCrz()1jjjerH eCre2*()()()jjjH eH eHe222221()1jjjjjrererH eCCrerer22()11jjjjjererH eCrere2022-3-15信号与系统第22讲15n1.一阶系统一阶系统 nh na u n一阶因果离散时间系统的单位脉冲响应为：( )zzH zzaza它的 变换为：， ( )H z 也称为系统函数1()jjjeaROCH eea如果，包含单位圆，系统的频率响应为：()jH e12作图过程：有零点z=0,极点z=a变量在单位圆上变化，零点和极点指向变量的两个向量分别为v 和v()()jj

10、H eH e 1212v=vvvIIR无限长脉冲响应滤波器如果a0情况如何？2022-3-15信号与系统第22讲16n1.线性线性n2.时移性质时移性质1212( )( )( )ROCX zROCRRX zX zROCRR关于的说明：的至少为 和 的交集，但是这个交集可以是空，此时不存在的可以比 和 的交集大,极点因组合而抵消时，会出现此结果121212 ( )( )( ) x nax nbx naX zbXzX zROCRR，包括Z111222 ( ) ( )x nX zROC Rx nXzROC R，=，=ZZ ( ) x nX zROC R，=Z00( ) nx nnzX zROC R，

11、= ，原点或无限远点可能加上或去掉ZROC关于的说明：由于时移，原序列的因果性可能改变，因此收敛域会有原点和无限远点的异动左移：ROC去掉无穷远，影响因果序列右移：ROC去掉原点，影响反因果序列00000 ( )m nnnmnnmmxn nxn n zxmzzxmzz X z Z2022-3-15信号与系统第22讲17n3.Z域尺度变换域尺度变换 ( ) x nX zROC R，=Z000 ()nzz x nXROCz Rz，=Z00000jzzrer域尺度变换的概念：复指数包含两个变量，模 和相角000zrz在极轴方向以尺度 进行缩放在 域以尺度 变换包括：在相角方向以角度 进行旋转00,j

12、z e特例： =只有角度旋转的尺度变换000ROCz Rr，即变换后的收敛域，极轴方向 缩放，相角方向 旋转00 ()jnjex nX ezZ0( 1)180j nnzzez 时域乘以复指数序列， 域在 平面旋转，则：时域交错， 域转度1111 111 11 1( )nu nzza u nazzazaZZ0000()nnnnnnzx nzx nzzzx nXzz Z2022-3-15信号与系统第22讲18n离散时间的时间变量只在整数定义，时域的扩展也只能在整数倍概念离散时间的时间变量只在整数定义，时域的扩展也只能在整数倍概念才有意义，时域扩展才有意义，时域扩展k倍可定义一个新的序列表示。倍可定

13、义一个新的序列表示。n在此定义下的时间扩展性质为在此定义下的时间扩展性质为 ( ) x nX zROC R，=Z11( )xnXROCzR，=Z001 zx nROCxnROCz如果在的中，那么在的中( ) / 0kx n knkxnnk， 是 的整数倍， 不是 的整数倍 ( ) x nX zROC R，=Z1/( ) ()kkkxnX zROC R，=Z1/00( ) kkzx nROCzxnROC如果在的中，那么在的中-1( )( )( ) () nnmknkknmkknmX zx n zX zx n zxm zxm 性质的验证：由z变换定义式 则：Z1()nnnnxnxnzx nzXz

14、Z2022-3-15信号与系统第22讲19 ( ) x nX zROC R，=Z* ()xnXzROC R，=Z* ( )( )x nX zXz如果是实序列，所以，实序列的零点和极点是共轭成对出现的1212( )( )ROCX zROCRRX zROCRR关于的说明：的至少为和的交集，如果极点因组合而抵消时，的可以比和的交集大121212 * ( )( )( ) x nx nx nX z XzX zROCRR，包括Z111222 ( ) ( )x nX zROC Rx nXzROC R，=，=ZZ 1LTIh nnn一个系统，冲激响应11( )10ROCzH zzzz ，在有极点，在z=1有零

15、点，为不包含z=0的整个z平面 * - -1x ny nh nx nx nx n对于输入，输出得到z变换的一次差分性质： y nx n就是的一次差分，类似于连续时间中的一次微分1 1(1)( )0 x nx nzX zROCRz，包括（）Z*()nnnnxnxnzx nzXz Z2022-3-15信号与系统第22讲20- nky nx k 考虑差分运算的逆运算，一个累加求和系统：1 ( )log(1)x nX zazza求，其z变换为非有理形式。， - * nkky nx nx k u nkx nu n ( )101ROC1zh nu nH zzzzz该系统的单位函数响应：，系统函数：，有一个

16、零点，一个极点，为的圆外区域 ( )1 1nkzy nx nX zROCRzz，包括（）Z ( ) x nX zROC R，=Z( ) dX znx nzROC Rdz，=Z11( ) 1dX zaznx nzzadzaz， Z-111111- () 11()naznau naza z Z () ()1nnnau nx nnau nn 1 nnnnnndzx n zznx n zdznx n znx n Z2022-3-15信号与系统第22讲210lim( )zxX z对于因果序列，其初始值展开z变换的表达式证明本性质，0( )xX z为有限值，根据初值定理，在无限远点没有极点，也就是分子多项

17、式的阶数不会高于分母多项式的阶数( )X z初值定理能用于通过，不进行反变换，也能快速求得初值。1230( ) 0123lim( )0nnnnzX zx n zx n zxxzxzxzX zx 2022-3-15信号与系统第22讲221 lim-1( )zxzX z 对于因果序列，其终值（） ZZx 存在，其 变换的收敛域必须是包括单位圆的。如果 变换的收敛域不包括单位圆，则终值定理无效。(1)( )( )(0)( )(1)( )(0)x nx nzX zzxX zzX zzxZ(1)( )(0)(1)( )zX zzxx nx nZ 111100lim(1) ( )lim (0) lim(1

18、)( )(0) lim(1)( )(0)(1)( )(0)(1)(0)(2)(1)(3)(2)(1)( )( )zzznznnzX zzxx nx nxx nx n zxx nx nxxxxxxxx nx nx ZZ变换的所有极点都在单位圆内，如果单位圆上有极点，也只能是一阶极点。2022-3-15信号与系统第22讲23n解：由移序特性解：由移序特性n解：设解：设n若若 为收敛域为收敛域)3(8)() 1 (kk111(2) ( )( )()(2)f kf kf kNf kN1)(k33(3)( ),0kz F zzz381)3(8)(zkk)()(11zFkf)()(zFkf)()()()(

19、1211zFzzFzzFzFNN1Nz1z 即NzzFzF11)()(11)(1NNzzzF2022-3-15信号与系统第22讲24n解：解：利用利用Z域微分特性，令域微分特性，令x(n)为阶跃序列为阶跃序列n解：解：n应用延迟特性应用延迟特性(3) nu n ( )dnu nzX zdZ )1(zzdZdz2) 1( zz) 1z(4)2na u n 2222( )nna u naau nX z222( )()zaX zazzaz za)az(2022-3-15信号与系统第22讲25( )( )( )kkf ka u kb u k解解 ： 1( )( )kza u kF zza2( )( )

20、kzb u kF zzb)()()()(21zFzFzFkfbzzazzzFkf)()()(2bzazz)(1bzbzazazba)b,amax(z(1( )() ( )kkf kaab b u kab111() ( )kkabu kab2022-3-15信号与系统第22讲26例例3 求卷积求卷积 1(1)( )( )kau ku kf k解解 ： 1111( )(1)kzf kau kzzaza2( )( )1zfku kz11)()(zzazzFkfazaaza1111)1(111azazzza11( ) (1)(1)1kf ku kaau ka1(1)1kau ka)az() 1z()1 ,amax(z(2022-3-15