连续型 随机变量及其分布

1、数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计3 3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 一、概率密度的概念一、概率密度的概念 设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为F(x),F(x),如果存如果存在非负函数在非负函数f(x),f(x),使对使对x x均有均有,)()(xdttfxF则称则称X X为为, ,其中函数其中函数f(x)f(x)称为称为X X的的( (函数函数).). 概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机变量的统计规律性变量的统计规律性. .数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐

2、徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 由定义知由定义知, ,概率密度概率密度 f(x)f(x)具有以下性质具有以下性质: :);(0)(xxf; 1)(dxxf);()()(aFbFdxxfbXaPba);()()(xdttfxFx).)()()(的连续点的连续点为为xfxxfxF 求概率求概率 由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度 确定待定参数确定待定参数 二、概率密度的性质二、概率密度的性质数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计性质（性质（1 1）的几何意义是分布密度曲线总是位于）的几何意义是分布密

3、度曲线总是位于x x轴轴 上方；上方；性质（性质（2 2）的几何意义是分布密度曲线与）的几何意义是分布密度曲线与x x轴之间的轴之间的 面积为面积为1 1；性质（性质（3 3）的几何意义是）的几何意义是X X取值于任一区间的概率等取值于任一区间的概率等 于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲 边梯形的面积；边梯形的面积；性质（性质（4 4）中）中X X的分布函数的分布函数F(X)F(X)的几何意义是分布密的几何意义是分布密 度函数度函数 以下，以下，x x轴上方，从轴上方，从 到到x x的一块面积；的一块面积； ( )yf x数学与计算科学学院数学与计算科学学

4、院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计badxxfbXaP)(.)()(xxfdxxfxxx概率密度的几何意义概率密度的几何意义数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计注意注意 对于任意可能值对于任意可能值 a ,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP证明证明aXP . 0 由此可得由此可得xxpxaaxd)(lim 0连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关bXaP bXaP bXaP .bXaP 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与

5、数理统计. 0 aXP 设设X为连续型随机变量为连续型随机变量 ，X=a 是不可能是不可能 事件事件,则有则有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计题型题型1.1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数分布函数和概率密度的判定或确定待定参数题型题型2.2.分布函数与概率密度的求法分布函数与概率密度的求法I.I.求分布函数求分布函数 (1).(1).已知密度函数已知密

6、度函数, ,用积分求分布函数用积分求分布函数; ; (2). (2).未知密度函数未知密度函数, ,用定义求分布函数用定义求分布函数. .II.II.求概率密度求概率密度 一般一般, ,已知连续型随机变量已知连续型随机变量X X的分布函数的分布函数F(x),F(x),则则其概率密度为其概率密度为 ( )( )f xF x数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计.)(;)(;)(.,)(2713210432230 XPXkxxxkxxpX求求的分布函数的分布函数求求确定常数确定常数其它其它具有概率密度具有概率密度随机变量随机变量设设解解,d)()( 11x

7、xp由由例例1数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计的的概概率率密密度度为为知知由由Xk61)2( .,)(其它其它04322306xxxxxp, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解解之之得得数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxpxFd)()(数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 . 4, 1, 43,423, 30,12, 0,

8、 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 例例2 设有连续型随机变量设有连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 (1).确定常数确定常数A,B的值的值; (2).求密度函数求密度函数f(x); (3).计算计算PX0.1. 解：解：(1).由分布函数性质得由分布函数性质得: 则则 A=1, B=-1.)0(. 0, 0; 0,)(xxBeAxFxBABeAFFxx)(lim)0()0(00ABeAFxx)(lim)(1数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率

9、论与数理统计概率论与数理统计(2).因为因为所以求导得所以求导得: (3).PX0.1=1-PX0.1=1-F(0.1) =1-(1-e-0.1)= e-0.1; )0(. 0, 0; 0,1)(xxexFx0, 00,)(xxexfx或或PX0.1=1 . 01 . 01 . 01 . 0|)(eedxedxxfxx 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为, 0, 11,12)(2其它xxxf 求求X的分布函数。的分布函数。 【解】概率密度【解】概率密度f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上为分段函数

10、上为分段函数, ,其分段区间为其分段区间为(-,-1,(-1,1,(1,+);(-,-1,(-1,1,(1,+);而分布函数而分布函数为累积和为累积和, ,故应就故应就x x在上述不同区间上积分求在上述不同区间上积分求F(x).F(x).练习练习 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计xdttfxF)()(. 1, 1, 11,21arcsin11, 1, 02xxxxxx例例9-9-续续1 11,010, 11,10, 1,01111221122xdtdttdtxdttdtxdtxxx数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概

11、率论与数理统计.arcsin2222222Caxaxaxdxxa 上例中用到积分公式：上例中用到积分公式： 请看请看P.40-41:例例9；例；例10.数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计三、几种重要的连续型随机变量三、几种重要的连续型随机变量, 0,1)(其它bxaabxf则称随机变量则称随机变量X X服从区间服从区间(a,b)(a,b)上的上的, ,记为记为).,(baUX数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计xdttfxF)()(., 1, 0bxbxaabaxaxbxdtdtabdtbxadtabdt

12、axdtabaxbaxax,010,10,0 均匀分布的均匀分布的分布函数分布函数数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 均匀分布的均匀分布的概率密度概率密度的图形的图形 均匀分布的特点是均匀分布的特点是: :随机变量随机变量X X落入落入(a,b)(a,b)中任意等中任意等长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度成正比，而与子区间的起点无关。度成正比，而与子区间的起点无关。 均匀分布的均匀分布的分布函数分布函数的图形的图形数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理

13、统计(0,30)XU1015X2530X例例3 设公交车站从上午设公交车站从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车分钟来一班车. 某乘客在某乘客在7时到时到7时半之间随机到达该站，试求时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过他的候车时间不超过5分钟的概率分钟的概率.解：解：该乘客于该乘客于7时过时过X分到达该车站分到达该车站.依题意依题意候车时间不超过候车时间不超过5分钟，即分钟，即或或故所求概率为：故所求概率为1015)(2530)30303PXPXdxdx数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计练习练习设设K在在(0,

14、5)上服从均匀分布上服从均匀分布,求方程求方程02442KKxx 有实根的概率有实根的概率. 【解】因为【解】因为r.v.KU(0,5),r.v.KU(0,5),所以所以K K的概率密度为的概率密度为: :., 0, 50,51)(其它kkf 又方程又方程02442KKxx0) 1)(2(16)2(44)4(2KKKK有实根有实根, ,当且仅当判别式当且仅当判别式数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计即即 或或 , ,故事件故事件“方程有实根方程有实根”的概率的概率为为1K2K21)21(KPKPKKP53510521dxdx数学与计算科学学院数学与计

15、算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的的概率密度概率密度为为, 0, 0,)(其它xexfx其中其中00为常数为常数, ,则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为的的指数分布指数分布. .分布函数分布函数为为.,0,0,1)(其它xexFx2 2、指数分布、指数分布数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 可得：可得：（1）（2）（3）对于任意的）对于任意的 ， 事实上事实上 ()(0)tP Xtet121212()(0)ttP tXteett0t 0s (|)()P Xst XsP X

16、t(,)(|)()P Xst XsP Xst XsP Xs()()()()s ttsP XsteeP XtP Xse数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 可做如下解释：可做如下解释：若令若令X（小时）表示某一电子元（小时）表示某一电子元 件的寿命件的寿命.上式意味着：一个已经用了上式意味着：一个已经用了s小时为损小时为损坏的电子元件，能够再用坏的电子元件，能够再用t小时以上的概率，与小时以上的概率，与一个新的电子元件能够使用一个新的电子元件能够使用t小时以上的概率相小时以上的概率相同。这看起来有点不可思议，实际上，它表明该同。这看起来有点不可思议，实

17、际上，它表明该电子元件的损坏，纯粹是由随机因素造成的，元电子元件的损坏，纯粹是由随机因素造成的，元件的衰老作用并不显著件的衰老作用并不显著.形象地说形象地说,指数分布是指数分布是“永远年轻永远年轻”的的,把过去的经历把过去的经历(已经活了已经活了s年年)全全忘记了忘记了.这个性质称为指数分布的这个性质称为指数分布的“无记忆性无记忆性”,应用与背景应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如例如无线电元件的寿命无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命电力设备的寿命, 动物的寿动物的寿命等都服从指数分布命等都服从指数分布. 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐

18、徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(分钟分钟)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为., 0, 0,51)(5其它xexfx某顾客在窗口等待服务某顾客在窗口等待服务,若超过若超过10分钟分钟,他就离开他就离开.他一他一个月要到银行个月要到银行5次次.以以Y表示一个月内他未等到服务而表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数离开窗口的次数,写出写出Y的分布律的分布律,并求并求PY1. 解：这是一道解：这是一道: :指数分布指数分布+ +二项分布二项分布. . 先求先求“他未等到服务而离开他未等到服务而离开”的

19、概的概率率: :dxedxxfXPpx1010551)(10例例4 4=1/5数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计.13533528. 0|2105eex 因为因为r.v.YB(5,er.v.YB(5,e-2-2),),所以所以Y Y的分布律为的分布律为: :)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0()1 (5225keeCkYPkkk 于是于是,“,“一个月内至少有一次未等到服务而离开一个月内至少有一次未等到服务而离开”的概率为的概率为: :52)1 (1011eYPYP48332437. 0186466472. 015.51657563. 0

20、数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计例例5 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为 =1/2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. .,)(000120001xxexFxX 的分布函数为的分布函数为解解数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率

21、论与数理统计概率论与数理统计1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 021 e10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 021 e指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计3 3、正态分布、正态分布 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的的概率密度概率密度为为22

22、2)(21)(xexf其中其中,(0),(0)均为常数均为常数, ,则称随机变量则称随机变量X X服从参数服从参数为为,的的, ,记为记为).,(2NX 为为xxdxexF222)(21)().( x),( x数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲线关于曲线关于x ;)(,)(xpx212取取得得最最大大值值时时当当 ;)(,)(03 xpx时时当当;)4(处处有有拐拐点点曲曲线线在在x 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计(6),( ),

23、;f xx当固定改变的大小时图形的形状不变 只是沿着轴作平移变换(5)x曲线以轴为渐近线;数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计.,)(,)7(图图形形越越矮矮越越胖胖越越大大图图形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形状状在在改改变变不不变变图图形形的的对对称称轴轴的的大大小小时时改改变变当当固固定定xp数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计正态分布的分布函数正态分布的分布函数texFxtd21)(222)( 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 正态分布是最常见最重要

24、的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数方法一方法一:利用利用MATLAB软件包计算软件包计算方法二方法二:转化为标准正态分布查

25、表计算转化为标准正态分布查表计算数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计2( ,)0,1,(0,1).N N当正态分布中的时 这样的正态分布称为记为标准正态分布标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,x 标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.x ,21)(22xex.21)(22xtdtex数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计标准正态分布的图形标准正态分布的图形数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计.225.

26、 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例6 . 0828. 0 数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计证明证明的的分分布布函函数数为为XZ xZP xXPxXP ,d21222)( xtte得得令令,ut xZP xuued2122),(x ).1 , 0( NXZ 故故 设设r.v. ,r.v. ,则则r.vr.v.),(2NXXZ).1 , 0( N标准标准化化数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计由上述定理可得由上述定理可得

27、:xxF)( 因此因此,关于正态分布的计算只需利用标准正态分布关于正态分布的计算只需利用标准正态分布即可即可,而标准正态分布函数值可查而标准正态分布函数值可查附表附表2:标准正态分布标准正态分布表表P.202求得求得.数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计解解xedcxd21222)( ,ux 令令ueudcd2122 dXcP ueudcd2122 .),(2dXcPNX 求求已已知知性质性质1 1数学与计算科学学院数学与计算科学学院 徐徐 鑫鑫概率论与数理统计概率论与数理统计 d ueudd2122 ueucd2122 )()(cFdFdXcP 因因而而. cd .