二元函数最值

1、高中数学二元函数最值问题求解方法浅析白银市实验中学 王建武我们把形如 的函数称为二元函数。其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何、向量等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。下文所叙述的消元法和换元法都是

2、这一思想的具体运用。同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想。下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。1、 消元法 消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。同时，在求解此类问题时，设法消元也是核心的思路。例1、已知且，求的最小值。分析：已知条件给出了两变量的关系，故而可以用表示，将二元问题划归为一元问

3、题。解：由 得，所以 ，又 ，所以 。 当且仅当时取等号。（亦可利用“对勾”函数理解）例2、从圆外一点向圆引切线为切点，为坐标原点，且有，求的最小值。MOP(a,b)xyO'分析：设点后，利用找到的关系，求的最小值问题转化为求的最小值。O'解：设点的坐标为，如图由已知，得 ，所以 ，即 的最小值为。 由以上两例可以看出，利用已知关系，将未知的二元问题化归为已知的一元模型由未知到已知的转化模式是学习数学的一个重要思想。2、 换元法例3、已知，求的最小值。分析：因为满足的点均在以原点为圆心的单位圆上，故其坐标关系可以利用三角代换，进而将的最值问题转化为三角函数的值域问题。解：设，则

4、 ，所以的最小值为。例4、若动点在曲线上变化，求的最大值。解：因为 在上，所以 ， 故而，当即时，；当，即时，。 换元法的本质仍是将二元变量问题划归为一元问题，从而使的问题的以简化。3、 向量法 同样对于例3，我们还可以将问题看作是两个向量的内积，从而利用内积的范围求解。 下面给出求解过程。解：设，有，所以，即的最小值为5.例4、已知，求的最小值。解：由已知，设点为坐标原点，则，所以 因为 ，所以，也就是，即所以。 四、数形结合法 数形结合法是解决二元最值的一大类方法，其基本思想是将数的问题划归为形的特征，利用几何意义来解决问题，常见的模式有构造距离、斜率及线性规划的应用等。对例2来说，得到的

5、关系后，将问题看作点到原点的距离，则的最小值为原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得。下面利用数形结合的思想对上文例3给出解答。 对例3，利用线性规划的知识，将看作目标函数，转化为直线，如图所示。通过直线平移求斜率的方法得到函数最值。观察图形可得，当直线与圆相切时截距取得最值，故可得，。4、 均值不等式法 当问题所给条件是变量与的积或和时，若函数可看作这两个变量的和或积，当满足条件时，可利用均值不等式来求解。以例1为例，做一说明。，当且仅当时取最值。再看一例。例5、函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，求的最小值。解：因为函数的图像恒过点。又 点在直线 上，所以有， 则，又 ，故， 从而，当且仅当时去等号。即的最小值为4。 以上五种方法，是高中阶段求解二元函数最值的常用方法，在解决问题的过程中，充分体现了高中数学的基本思想与基本技能，是学生函数部分学习的重要内容。同时，