材料力学简单问题的位移法

1、材料力学简单桁架结构分析方法的教学探讨重庆交通大学王家林一、材料力学基本物理量之间的关系功荷载平衡内力变形几何位移条件关系应变能应变能密度应力应变教材中的方法：1、静定问题荷载平衡内力变形几何位移条件关系特点：（ 1）从受力分析出发，延续了理论力学静力学问题的分析思路。（ 2）难点在于由变形求位移， 需要针对具体问题， 利用几何示意图来分析位移与变形的关系。2、超静定问题要根据变形协调条件补充额外的方程，补充方程的个数由超静定次数决定。二、桁架变形与端部位移的关系对于平面坐标系内的桁架杆件ij ，如图所示：杆件的长度L 由两端点坐标确定：L( x jxi )2( y jyi ) 2将长度L 视

2、为xi、yi 、 x j、y j 的函数，即：LL( xi, yi , x j , y j )(x jxi ) 2( yjyi )2则有：L2( x jxi )2( y jyi ) 2上式两边求微分：2LdL2( x jxi )(dx j dxi )2( y j yi )(dy jdyi )dL( x jxi )(dx jdxi )( yjyi ) (dy j dyi )cos (dx j dxi ) sin ( dy j dyi )LL上式表明：桁架长度微小变化可由端点坐标的微小变化和杆件方向来计算。在小位移情况下，类似地有：Lcos(u jui )sin(vjvi )u j cosv j

3、sin(ui cosvi sin)分析与结论：（ 1）利用高等数学的微分方法进行分析，学生能够理解和接受。（ 2） u j cosv jsin表示了j点位移沿杆件方向x'的投影，uicosvisin表示了i 点位移沿杆件方向x' 的投影。（ 3）在小位移条件下，变形量是位移分量的线性关系，满足叠加原理。（ 4）在小位移条件下，杆端位移沿杆件方向的投影等于该位移引起的杆件变形。思考题：从几何角度说明l u jcosv j sin(ui cosvi sin )特点： 对于任意方向的桁架杆件，包括空间情况， 都可以很容易地写出杆件变形与杆端位移的关系。三、应用方法及示例以独立位移为基

4、本未知量，通过杆端位移分析杆件的变形，进而将内力用独立位移表达，根据平衡条件建立方程，求解思路为：独立桁架投影桁架变形桁架内力荷载平衡方程位移变量杆端位移平衡条件1、静定结构对于图示结构，设两杆材料和面积均相同，由独立节点位移可得两杆的伸长量分别为：l 1v sinu cosl 2ucosv sin轴力分别为：N1EAl 1EA ( v sinu cos)l1l1N 2EAl 2EA (u cosv sin)l 2l 2由 B 节点平衡条件，有：N1 sinN 2 sinP 0N1 cosN 2 cos0代入独立位移后可得：EA (v sinu cos) sinEA (u cosv sin )

5、 sinPl1l2EAu cos ) cosEAv sin ) cos0(v sin(u cosl1l 2解上面二元一次方程组，即可求得独立位移u 和 v 。2、超静定结构对于图示结构，设各杆材料和面积均相同，由独立节点位移可得两杆的伸长量分别为：l 1v sinu cosl 2ucosv sinl 3usinv cos轴力分别为：N1EAl 1EA ( v sinu cos)l1l1N 2EAl 2EA (u cosv sin)l 2l 2N 3EAl 3EA (u sinv cos)l 3l3由 B 节点平衡条件，有：N1 sinN 2 sinN3 cosP0N1 cosN 2 cosN

6、3 sin0代入独立位移后可得：EA(v sinu cos) sinEA(u cosv sin) sinEA(u sinv cos ) cosPl1l2l 3EA(v sinu cos) cosEA(u cosv sin) cosEA(usinv cos) sin0l1l 2l 3解上面二元一次方程组，即可求得独立位移u 和 v 。分析与结论：（ 1）以独立位移为基本未知量和出发点的求解方法，自动满足变形协调条件，对于静定和超静定问题，其求解步骤和方法没有典型差异。（ 2）这种方法的求解路线恒定清楚，通用性、适应性强。学生掌握后，面对复杂问题就具有了一定的分析求解能力。问题 ：下图两结构中，AB为刚性梁，其余为弹性杆，求各弹性杆的内力。静定结构超静定结构分析：由于AB梁为刚性梁，整个结构的位移状态由AB梁的位移确定，因此可设AB 梁上任一点（如 A 点）的水平和竖向位移及AB 梁的转角为独立位移 （可分别表示为u 、v 、）。因此求解步骤为：（ 1）根据梁的刚体运动，利用小位移假设，将梁上各关键点的位移表示为u 、v 、的线性函数；（ 2）利用各点位移分析各桁架杆