第三节格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件

1、第三节第三节 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件一一. 格林公式格林公式平面区域上的二重积分与区域 边界曲线上的曲线积分的关系。设D为一平面域，如果D内任意闭曲线所包围的全体点都属于D，则称D为单连通域. 否则称D为复连通域DD从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域3 3 格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件格林公式及平面上曲线积分与路径无关的条件定理1（格林定理）设函数P(x,y),Q(x,y)在域D及其边界L上具有一阶连续偏导数，则LDQdyPdxdxdyyPxQ)(L取正向格林公式先假设区域D既是X-型又是Y-型证)()(,:21xyy

2、xybxaDDdxdyyP)()(21xyxybadyyPdxbadxxyxPxyxP)(,)(,12LPdx21LLPdxPdxbadxxyxPxyxP)(,)(,21abbaxyxPdxxyxP)(,)(,21LPdxDdxdyyP同理LQdyDdxdyxQLDQdyPdxdxdyyPxQ)( 如果D不满足以上条件，那么可以用辅助曲线把D分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区域都满足上述条件。再考虑一般情形,例如MN1D2D2L1LLDQdyPdxdxdyyPxQ)(NMLDQdyPdxdxdyyPxQ11)(MNLDQdyPdxdxdyyPxQ22)(两式相加，注意到沿辅助曲线的曲线积分

3、相互抵消注意:对于一般的复连通域D(非“点洞”),格林公式仍 然成立,此时L为D的全部边界曲线且取正向。利用格林公式，可得区域D的面积公式。令P= - y,Q= xLDydxxdydxdy2LydxxdyA21例 计算椭圆 x= acost,y= bsint 所围的面积.LydxxdyA212022)sincos(21dttabtabab例 计算 ,其中L是矩形闭曲线 (如图).Ldyxxydx23由格林公式-132Ldyxxydx23Ddxdyxx)32(8)(2031dxxdyLxxdymyedxmyye)cos()sin(例 计算其中L是A到O的上半圆(如图).OAaLL为非闭曲线,直接

4、计算较繁.作辅助线OA,在闭曲线L+OA上用格林公式82amDmdDxxdmyeye)cos(cosOALxxdymyedxmyye)cos()sin(而OA: y=0 , x从0到a所以0)cos()sin(OAxxdymyedxmyye所以Lxxdymyedxmyye)cos()sin(82amOAOAL 二二. .平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件设P(x,y),Q(x,y)是定义在平面域D上的有界函数，恒有如果对于D内的任意两点A,B以及D内从点A到点B的任意两条曲线 ,1L2LABD1L2L1LQdyPdx2LQdyPdxLQdyPdx在D内与路径无关),(

5、),(00yxyxQdyPdxL的端点A，B的坐标定理1 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数，则下面三个条件相互等价：(3) 在D内曲线积分 与路径无关. LQdyPdx(1) 在D内恒成立；yPxQ(2) 对于D内任一闭曲线C，0CQdyPdx应用格林公式,有证 (1)(2)因为D是单连域,所以闭曲线C所围成的区域G全部在D内,0)(GCdxdyyPxQQdyPdx于是对于闭曲线C=AmB+BnA,(2)(3)在D内任取两条连接A、B的曲线AmB、AnBABDmn0CQdyPdxBnAAmBCQdyPdxQdyPdxQdyPdxAnBAmBQdyPdxQdyPdx

6、AnBAmBQdyPdxQdyPdx即(3)成立在D内任一闭曲线C上任取两点A、B，将C分成两段，即C=AmB+BnA，(3)(1)BnAAmBCQdyPdxQdyPdxQdyPdxAnBAmBQdyPdxQdyPdx0CQdyPdx用反证法证明(1)假设D内有一点M，使yPxQ设0)(MyPxQyPxQ,因为 连续),(MU0yPxQ使从而0)(),(MUdxdyyPxQ设C为 的正向边界，则由格林公式知),(MU0)(),(MUCdxdyyPxQQdyPdx矛盾,则(1)得证.三个条件循环推导了一遍，从而证明了它们相互等价注意:1.常用(1)来判断曲线积分与路径无关;2.当曲线积分与路径无

7、关时，常选择最简路径平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径;3.如果D是复连通域，即使 ，曲线积分也不一定与路径无关。 成立yPxQ例 计算 Lyydyyxedxxe)2()(L是通过O(0,0),A(1,0)和B(1,2)的圆周OAByPyxQe因为所以积分与路径无关,取折线OAB作为积分路径.23)()2()(100dxxedyyxedxxeOAyy5)2()2()(220edyyedyyxedxxeyAByy27)2()(2edyyxedxxeLyy例 计算 Lyxydxxdy22L是不过原点且按逆时针方向的闭曲线)0.()(2222222yxyPyxxyxQ因为022Lyxydxx

8、dy分两种情况讨论LCD1.设L内不含原点,则由定理1得2.设L内包含原点记L和C所围成的闭区域为D,在复连域D内应用格林公式,得则选取适当小的正数r,作位于L内的圆周C:222ryxDCLdyxydxxdy00)(22Cyxydxxdy22Lyxydxxdy222sincos2022222drrr三二元函数的全微分求积三二元函数的全微分求积1. 原函数: 如果存在一个函数u(x,y)，使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数全微分式例如xdyydxxyd)(2)(xydxxdyxyd全微分式原函数2. 判别定理定理2 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一

9、阶连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内为某一函数全微分 在D内恒成立.yPxQ注:可以将定理1,2合并记忆为四命题等价.3.全微分求积当Pdx+Qdy为全微分式时，求其原函数u(x,y)的过程.),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu与路径无关，可选平行于坐标轴的折线作为积分路径.如图取 为积分路径,得RMM0SMM0如图取 为积分路径,得),(000yxM),(yxM),(0yxS),(0yxRyyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0例 验证全微分式并求其原函数.dyyyxdxxyx)23

10、()23).(1 (2232yPxyxQ26取起点为(0,0),由公式xydyyyxdxxyxu00222)23(3),(2323yyxx全微分式22).2(yxydxxdy在右半平面(x0)0.()(2222222yxyPyxxyxQ取起点为(1,0),全微分式),()0, 1(22),(yxyxydxxdyyxuyyxxdy0220 xyarctan注意:全体原函数为 u(x,y)+C.思考题. 5) 1 , 4()3 , 2()( d 3e )( d 3e )(. 1围成的面积为的任意路径且与线段和点为连结点连续，其中计算ABBAAmByfyyfxyyfAmBxxxyA(2,3)B(4,

11、1)mLBAAmBd 3e )( e )( Dxxyfyf,15d3DBABAxxBAyxyyyfxyfdd3de )( de )(而BABAxyxyyfdd3e )(d31)3 , 2()1 , 4(d) 1(3|e )(yyyfx, 6) 1 (e)3(e42ff.21)3(e) 1 (e1524ffIBA:如图二LBAAmB,15d3D. 9)3(e) 1 (e1524ffIBAxymA(2,3)B(4,1).,(,),()(d)(d)(,. 222yxuyxuyxyyxxyxnn并求的全微分为某一函数使选取nnyxyxyxQyxyxyxP2222,设解：1222221nnyxyyxnyxyP则1222221nnyxxyxnyxxQ的全微分，是为使uyxyyxxyxn22dd022yxxQyP，且须有nxynxyxnynxyyx2222222222由此得,222222yxyxn即, 1n因此22ddyxyyxxyxdu22ddddyxyxxyyyxx22222d2dyxxyxyx222221dd21xyxyyxyxCxyyxyxuarctanln21,22得.e21e)(. 121)0(,e21edeee)(:.e)()( :).( ),(e)(),(,)(e),() 1 (2dxxxxxxdxxxxxfCfCCx