交通数据处理与分析-一元非线性回归分析剖析

1、案例：头围是反映婴幼儿大脑和颅骨发育程度的重要指标之一，在医学上，对头围的研究具有重要的意义。数据格式如下。根据数据建立头围与年龄间的回归方程令x表示年龄，y表示头围。x和y均为一维变量，同样可以从x和y的散点图上直观地观察它们之间的关系，然后再作进一步的分析从图中可以看出，年龄和头围服从非线性关系，可以考虑做非线性回归分析。根据散点图的走势，可以选取以下函数作为理论回归方程负指数函数双曲线函数幂函数Logistic曲线函数对数函数231xyebbb+=123xyxbbb+=+()312yxbbb=+()3121xyebbb-+=+()123lnyxbbb=+以上函数中都包含多个未知参数，需要

2、由观测数据进行估计，根据需要还可减少或增加未知参数的个数。以上函数都可以呈现出先急速增加，而后区域平缓的趋势，比较适合头围和年龄的观测数据，均可以作为备选的理论回归方程nlinfit函数Matlab统计工具箱中的nlinfit函数用来作一元或多重非线性回归。记Y为因变量观测值向量，矩阵X为自变量观测值矩阵，X的每一列对应一个变量，每一行对应一组观测。为模型的未知参数向量。12nyyYy轾犏犏犏=犏犏犏犏臌( ) ( )( )( ) ()()( ) ()( )111212122212ppnnnpxxxxxxXxxx轾犏犏犏犏=犏犏犏犏臌12nbbbb轾犏犏犏=犏犏犏犏臌beta = nlinfi

3、t(X, y, fun, beta0)返回非线性回归方程式中的未知参数的估计值beta，若回归方程中有k个未知参数，beta为包含k个元素的向量，X为自变量的观测值矩阵，是n*p的矩阵，输入参数y为因变量的观测值向量，是n*1的列向量。输入参数fun是回归方程式所对应的函数的句柄或函数名。应根据回归方程编写如下形式的函数：modelfun为函数名，b为未知参数向量。nlinfit函数的输入参数beta0为用户设定的未知参数的初值，不同的初值可能会有不同的估计结果，故设定初值时最好能够根据实际问题有个提前的预判(),yhatmodelfun b X=beta, r, J, COVB, mse =

4、 nlinfit(X, y, fun, beta0)还返回残差值向量r，雅克比矩阵J，未知参数的协方差矩阵COVB，误差方差2的估计mse(均方误差平方和)。这里的输出可作为其他后续函数的输入，用来计算参数估计值的置信区间，也可用来计算给定x处的预测值及预测值的置信区间。 = nlinfit(X, y, fun, beta0, options)nlinfit函数利用麦夸特(Levenberg-Marquardt)算法求解非线性回归方程中的未知参数，它是一种迭代算法，这里的options用来设定该算法的控制参数。在调用nlinfit函数作一元非线性回归分析之前，应根据观测数据的特点选择合适的理论

5、回归方程，理论回归方程往往不是唯一的，可以有多种选择。有了理论回归方程之后，首先编写理论回归方程对应的M函数。函数应有两个输入参数，一个输出参数。第一个输入为未知参数向量，对于一元回归，第二个输入为自变量观测值向量，而对于多重回归，第二个输入为自变量观测值矩阵。函数的输出为因变量观测值向量，针对所选择的负指数函数，编写M函数如下在种定义方式下，可以将HeadCirl或HeadCirl传递给nlinfitz函数，作为fun参数在种定义方式下，可以将HeadCirl或HeadCirl传递给nlinfitz函数，作为fun参数对于比较简单的理论回归方程，还可以使用符号定义匿名函数，例如可以如下定义负指数函数HeadCir2 = (beta, x)beta(1)*exp(beta(2)./(x+beta(3); 未知参数的选取时一个难点，从散点图上看，随着年龄的增长，人的头围也在增长，但不会一直增长，到了一定的年龄之后，头围就稳定在5055之间。注意到 ，可以选取1的初值为5055之间的一个数，不妨选取为53.2311limxxebbbb+ + =再注意到，初生婴儿的头围在35