中考一元二次方程综合题目例析

1、中小学个性化辅导专家中考一元二次方程综合题例析一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子进行分类解析。一、一元二次方程与一次函数综合例1. ( 2022年绵阳市).关于x的一元二次方程x2 = 2 (1 - m x m的两实数根为Xi, X2.(1) 求m的取值范围；(2) 设y = X1 + X2,当y取得最小值时，求相应 m的值，并求出最小值.分析：(1)假设一元二次方程有两不等根，那么根的判别式厶 =b2-4ac >0,建立关于m的不等式，可 求出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出X1+X2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式， 根据函

2、数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围，即可求出 y的最小值及对应的m值.解：(1)将原方程整理为 x2 + 2 (m- 1) x + m = 0 .原方程有两个实数根，£ /. = 2 (m 1) 2 4m = 8m+ 4 >0，得 nK 2 .(2)/ X1，X2 为 x2 + 2 (m 1) x + m = 0 的两根，1 y = X1 + X2 = 2m+ 2，且 me.£因而y随m的增大而减小，故当m=上时，取得最小值1.二、一元二次方程与反比例函数综合例2 ( 2022年山东淄博改编)关于x的方程-.假设以_ m的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数

3、 戸一匚的图象上，求满足条件 的最小值.分析：写出两根之积，两根之积等于 m进而求出m的最小值.爱，赋予学习的灵感！第1页共6页解：设方程/.:-的两个根为",根据题意得它二®门又由一元二次方程根与系数的关系得11 :j ,那么 -1 八 ，所以，当k二2时m取得最小值一5点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的 题目三、一元二次方程与二次函数综合例3 (2022年湖北荆州市)：如图，Rt AOB勺两直角边OA OB分别在x轴的正半轴和y轴 的负半轴上，C为OA上一点且OC= OB抛物线y=(x 2)(x m) (p-2)(p-m

4、) (m p为常数且m+舉 2p> 0)经过A、C两点.(1) 用m p分别表示OA OC的长；(2) 当m p满足什么关系时， AOB勺面积最大.分析：(1)因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值( 2)根据三角形的面积公式 列出AOB勺面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可.解：(1)令 y=0 得：(x-2 )(x-m) - (p-2)( p-m) =0,整理得：(x-p )(x-m-2+p) =0，二 X1=p，X2=m+2-p,明师裁肓 一 空 IHip Ifefi/ m+2>2>0 m+2-p> p> 0,0A=m+2-p OC=P

5、丄(2)v OC=OB Saob=2 OA?OB_£ 丄 SAO= 二 OA?OB= P? ( m+2-p),丄 丄 = P2+ (m+2 ?P,丄(in十2)2_ 2 (-)-当 p=二=二(m+2 时，Saoe最大.点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题.四、一元二次方程与不等式综合例4(2022年湖北荆州市)关于的方程：，：h 两实根之和为m且满足ny一4关于y的不等于组弍叨有实数解，那么k的取值范围是.分析：因为方程二有两实根，所以 =2 (k+1) 2-4k2>0>0,又因为关于y的不等式

6、组y >-4y v m有实数解，所以y 定介于-4与m之间，即m定大于-4，因此m=-2 (k+1)> -4，然后解不等式即可求出k的取值范围.解：方程x2+2 (k+1) x+k2=0有两实根， =2 (k+1) 2-4k2>0,解得 k>-12 ；y >-4关于y的不等于组刃有实数解， m>-4又: m=-2 (k+1), -2 (k+1)> -4，解得 kv 1. k的取值范围是得1> k>-12 .故填空答案：1> k>-12 .点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不 等号的

7、变化关系.五、一元二次方程与概率综合例5(2022年黄冈市)甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数(1) 求满足关于x的方程川丁一有实数解的概率.(2) 求(1)中方程有两个相同实数解的概率.分析：(1)方程x2+px+q=0有实数解，那么p2-4q > 0,把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验， 找出符合条件的个数；(2)方程x2+px+q=0有相同实数解，那么p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对 应值，代入检验，找出符合条件的个数.解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，(1)其中使方程有实数解共有19种情况:p=6 时，q=6、5、4、3、2、1

8、：p=5 时，q=6、5、4、3、2、1：p=4 时，q=4、3、2、1；p=3 时，q=2、1；19p=2 时，q=1;故其概:率为-.(2)使方程有相等实数解共有2种情况:丄 p=4，q=4; p=2，q=1;故其概率为-.点评：此题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能 力.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；一元二次方程有实数根，判别式为非负数.六、一元二次方程与几何知识综合例6 2022年黄石市三角形两边的长是 3和4,第三边的长是方程丄二-的根，那么该 三角形的周长为A. 14B .12C . 12或14D .以上都不对分析：易得方程

9、的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长 即可.解：解方程J 一-得：x=5或x=7. 当x=7时，3+4=7,不能组成三角形； 当x=5时，3+4>5,三边能够组成三角形.该三角形的周长为3+4+5=12,应选B.点评：此题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形.例7 2022年襄樊市如图，在 _- 中，-丄_ * '于- _ - - '-且二 是一元二次方程- 的根，那么一一的周长为A. 4 + 2旋B . 12+MC . 2 + 2也D. 2 +衣咸 124池分析：先解方程求得a,再根据勾股定理求得 AB从而

10、计算出一的周长即可.2解： a是一元二次方程x +2x-3=0，( x-1 )(x+3) =0，即 x=1 或-3， AE=EB=EC=a皿明师教育-a=1,在 Rt ABD中, AB=厂亠=.' a=2£的周长=4a+2a =4+2 , : 故答案为:A点评：此题考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四边形的性质，是根底知识要熟练掌握.例8 2022年兰州市两圆的半径R、r分别为方程二：二丨:的两根，两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是B . 内切A .夕卜离D .外切分析：此题可先求出方程的根即两圆的半径 R、r，再根据由数量关系来判断两圆位置关系的方法， 确定两圆的位置关系.设两圆圆心距为P,两圆半径分别为R和r，且R> r，那么有：外离：P> R+r；外切：P=R+;相交：R-r v Pv R+r；内切：P=R-r ;内含:P v R-r.解：两圆的半径分别