万有引力专题

1、万有引力专题计算题1. 2007年10月24日，“嫦娥一号卫星星箭别离，卫星进入绕地球轨道。在绕地运行时，要经过三次近地变轨：12小时椭圆轨道t 24小时椭圆轨道t 48小时椭圆轨道t地月 转移轨道。11月5日11时，当卫星经过距月球外表高度为 h的A点时，再一次实施变轨, 进入12小时椭圆轨道，后又经过两次变轨，最后进入周期为T的月球极月圆轨道。如图所示，月球半径为 R。(1 )请答复：“嫦娥一号在完成第三次近地变轨时需要加速还是减速?(2 )写出月球外表重力加速度的表达式。2 地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动。地球的轨道半径为R=1.50 >1011m,运转周期为

2、T=3.16 M07so地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角叫地球对该行星的观察视角(简称视角)。当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最正确时期，如图甲或图乙所示，该行星的最大视角0 =14.5。求该行星的轨道半径和运转周期(sin 14.5 =0.25，最终计算结果均保存两位有效数字)3 “神州六号飞船在预定轨道上飞行，每绕地球一圈需要时间90min，每圈飞行路程约为 L=4. 2> 104kmo(1) 试根据以上数据估算地球的质量和密度。(地球的半径 R约为6. 37 X 103km,万有引力常量G取 6. 67 X 10112 卅/ kg2)(2) 假

3、设飞船沿赤道平面自西向东飞行，飞行员会看到太阳从东边还是西边出来？如果 太阳直射赤道，试估算飞行员每天能看到多少次日出日落？飞船每转一圈飞行员看不见太 阳的时间有多长？( cos 18 . 2 = 0. 95)34木星的质量是太阳系中其它 8颗行星加在一起的二倍半，相当于地球的 1.3 10倍由于 木星的轨道半径约为地球轨道半径的 5倍(木星轨道和地球轨道都可近似地看成圆)，所以木星上的“一年比地球上的“一年大得多问：(1) 太阳对木星引力是对地球引力的多少倍？(2) 木星和地球作圆周运动的向心加速度之比是多少？(3) 木星上的“一年是地球上的“一年的多少倍？5在勇气号火星探测器着陆的最后阶段

4、，着陆器降落到火星外表上，再经过屡次弹跳才停下 来假设着陆器第一次落到火星外表弹起后，到达最高点时高度为h,速度方向是水平的，速度大小为v0,求它第二次落到火星外表时速度的大小，计算时不计火星大气阻力.火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为 r0的均匀球体.6利用万有引力定律、小孔成像原理和生活常识，就可以估算出太阳的平均密度。用长为L的不透光圆筒，在其一端封上厚纸，纸的中间用针扎上一个直径为0.5mm的小孔桶的另一端封上一张白纸，用有小孔的一端对准太阳，在另一端可看到太阳的像，假设测得太阳像的直径为d，设地球环绕太阳的周期为 T,万有引力常量为 G,试估算太阳的密度 t

5、 (要 求用题给量的符号表示)7宇宙间存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其 他星体对它们的引力作用。已观测到的四星系统存在着一种根本的构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星位于圆形轨道的圆心处，圆形轨道的半径为R,每颗星体的质量均为 m.求：(1) 中心星体受到其余三颗星体的引力的大小；(2) 三颗星体沿圆形轨道运动的线速度和周期.8有人设想在地球赤道上垂直于地球外表竖起一根刚性的长杆，杆子的长度是地球半径的假设干倍.长杆随地球一起自转。在长杆上距地面高度为h=R (R为地球半径)处，悬挂一个摆长为I，质量

6、为m的单摆(I远远小于R).设地球半径 R、地球外表的重力加速度 g、地 球的自转周期To均为，求：(1) 悬挂单摆处随地球自转的向心加速度多大？(2) 该单摆的振动周期为多少？(3) 单摆悬挂于长杆上距地球外表的高度 H为多高处，单摆就无法振动？9经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成， 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质 量都是m,两者相距L,它们正围

7、绕两者连线的中点做圆周运动(1) 试计算该双星系统的运动周期T计算；(2) 假设实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测:T计算=1: N (N 1).为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分 布着这种暗物质 .假设不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该 星系间这种暗物质的密度 .计算题1.(1)加速(2 分)(2)设月球外表的重力加速度为g月，在月球外表有Mm G- mg 月R卫星在极月圆轨道有(3 分)G Mm 2 =m( )2(R h)(R h)2

8、 T(3 分)解得g4f)2t2r2(2 分)2.解:由题意当地球与行星的连线与行星轨道相切时，视角最大可得行星的轨道半径r为:r = Rsin v代入数据得r =3.8 1010m设行星绕太阳的运转周期为由开普勒第三定律T、4.0 106s3r代入数据得T解析(1)L=2r可得 r=根据Mm2G r =mr4- 2T2得4二22M=GT r3=6.01024kg，2 二=6.681°3km,M又:? = V，V = 3 二 R3，3 二r3：= GT 2 R =5.6103kg/m3。(2)地球自西向东旋转，飞船沿赤道平面自西向东飞行的速度大于地球旋转速度，飞行员会看到太阳从东边出

9、来。地球自转的周期为24h,地球自转一周,飞船运转24 60/90=16圈，飞船运转一圈能看到一次日出日落，所以飞行员每天能看到16次日出日落。飞船转到地球的背影区飞行员就看不到太阳(如图5-1所示)。由图可知sin ： = r =0.95,那么:=71.8飞行员每转一圈看不见日出的时间为t=071.82360090min : 36min4.解：Mm2rF木星2m木星地球2m地球r木星=52(倍)4- +MmF =GmarMm Gr初M1a=G 2=a： 2rr5.解：以g表示火星外表附近的重力加速度，M表示火星的质量， m表示火星的卫星的质量，mg表示火星外表出某一物体的质量,设v表示着陆器

10、第二次落到火星外表时的速度，它的竖直分量为V1,水平分量仍为V0由万有引力定律和牛顿第二定律，有Mm2r二m(*)2r在火星外表的物体有GMy=m0gr探测器第二次落到火星外表时，竖直方向有v： =2g h 二 v 二 v： Vq由以上各式解得v已；2：26.解：设太阳半径为 R，质量为M，密度为地球与太阳之间的距离为rR由相似三角形关系得rd=2L由万有引力定律和牛顿第二定律，有Mm 2G qm r = mrf2太阳质量33联立得'吝令二諾7. 中心星体受到其余三颗星体的引力大小相等，方向互成120根据力的合成法那么，中心星体受到其他三颗星体的引力的合力为零(2)对圆形轨道上任意一颗

11、星，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：2m m m mvG 22G 2- cos30 mR2r2Rr =2R cos30°由以上两式可得三颗星体运动的线速度为:3R(1.3)GmV 二三颗星运动的周期为：T =乞迟=2二R(V . 3)Gm8.由于长杆随地球一起自转，与地球自转角速度相同,h=R处的向心加速度应为2 cn /2 兀2 cn 8 兀2R=(2R=亍h =R处的重力加速度就等于万有引力产生的加速度减去物体随地球自转时的向心加速度GM万有引力产生的加速度“盲所以h=R处的重力加速度g =g18 二 2R一 g 24T。2由单摆周期公式求出振动周期l8 二 2Rg4To2,那么同步卫星轨在地球的同步卫星轨道上引力加速度就是随地球自转的向心加速度道上重力加速度 g 二g '：-印=0单摆在地球同步卫星轨道上无法振动。 由G金訓亍(R H)H=3 歸4二29解：首先应明确此双星系统的结构模型，如下图由于每个星体的线度都小于两星体之间的距离，满足万有引力定律的使用条件.V，得(1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为2v Gm mL S2Gmv=:2L2亠2T计算=n LvGm(2)根据观测结果，星体的运动周期2L1T观测=T计算v T计算JN这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引