9-2两直线的位置关系与距离公式

1、课后强化作业根底稳固一、选择题1. 文2022江门模拟直线li过点A 1,1和B-2,1，直线12过点C1,0和D0, a,假设I1/I2,那么a的值为A.2B. 21 C. 0D.2答案A1 1 解析.kl1=2, kl2=a,a=2.2+1理2022江-门模拟假设 1仁 x+ 1 + my+m2=0, I2： mx+2y+6=0是两条平行直线，那么m的值是A. m=1 或 m=2B. m = 1C. m=2D. m的值不存在答案A解析假设m=0或m=1时，易知两直线不平行假设mz 0且m11 + m m21时，那么有角=工m=1或一2.2. 点Pmn,m到直线盒+罟=1的距离等于A. m2

2、+ n2n2 n2C:, m2+ n2D. m2n2解析因为直线+n=1可化为nx+my-mn=0,那么由点到直线的距离公式,| mn n m mmn|/得 d= :m 故旋转后的直线方程为y+2=，即x+2y+4=0. + n2.弋 mn23. (2022哈尔滨模拟)假设k,1, b三个数成等差数列，那么直线y= kx+b必经过定点()A. (1,-2)B. (1,2)C. ( 1,2)D. (-1,-2)答案A解析因为k,1, b三个数成等差数列，所以k+b=2,即b= k2,于是直线方程可化yy=kxk2,即y+2=k(x1),故直线必过定点(1,2).4. (文)(2022珠海统考)直

3、线2xy 2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转 扌所得的直线方程是()A.x+2y4=0B. x+ 2y4=0C.x+2y+4=0D. x+2y+4=0答案D解析直线2xy2=0与y轴的交点为P(0, 2),其斜率k=2,绕n 1 1点p逆时针旋转2后的斜率为k =k=2,(理)点A(1,2在直线I上的射影为B( 1,4),那么I的方程为()A. x+y 5=0B. x+y+ 5=0C. xy 5=0D. xy+5= 0答案D解析AB丄I可求I方程.5. 两直线li： mx+y 2=0和I2： (m+2)x 3y +4=0与两坐标轴 围成的四边形有外接圆，那么实数m的值为()A. 1 或3B.1

4、或 31 1C. 2或2D.2或2答案A解析两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，.对角互补，二两条直线垂直，m+2t -3 m)= 1 , m= 1 或 m= 3.6. (2022陕西华阴期末)假设直线11： y=k(x4)与直线b关于点(2,1) 对称，那么直线I2恒过定点()A. (0,4)B. (0,2)C. (2,4)D. (4,2)答案B解析由于直线h: y=k(x4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1对称的点为(0,2),又由于直线1仁y=k(x4)与直线I2关于点(2,1对称，直线12恒过定点(0,2),故应选B.二、填空题7. 假设直线ax+ 2y+3a=0与直线3x+(a

5、 1)y=7 + a平行，那么实数a=.答案3解析由题意知，a(a 1)2x 3=0得a= 2或a=3,当a= 2时， 两直线重合，舍去，.a=3.8. (文)直线3x 4y 27= 0上到点P(2,1距离最近的点的坐标是(2) 由 mm8X2=0,得 m=.m=4m=4由 8X (1)n mz 0, 得或n z2n2即 m=4, nz 2 时，或m=4, nz2 时，I1/I2；(3) 当且仅当m2+8m=0,即m=0时，li丄I2,又8= 1,n=8.即m=0, n=8时，li丄b且11在y轴上的截距为一1.点评假设直线li、I2的方程分别为Aix +Biy+Ci = 0与A2x + B2

6、y+C2=0,那么I1/I2的必要条件是A1B2A2Bi=0且A1C2Z A2C1；而li丄12的充要条件是A1A2 + BiB2=0.能力提升gj一、选择题i .过直线y= x上的一点作圆(x5)2 +(y1)2=2的两条切线li、I2,当 直线li、I2关于y=x对称时，它们之间的夹角为；)A. 30B. 45C. 60D. 90答案C解析过圆心C(5,1作 y=x的垂线，垂足为P.过P作OC的切线li、12,那么li与I2关于直线PC对称.t直线PC与直线y=x垂直，li与l2关于直线y=x对称，C到直线y=x距离为2 2,又OC的半彳径Q，二APC=30； 与12的夹角为602. 如图

7、，A(4,0) B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，那么光线所经过的C. 3 3D. 2 5答案A解析易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB的对称点坐标为Ai(4,2),点P关于y轴的对称点坐标为A (2,0),贝卩光线所 经过的路程即为Ai(4,2)与A ( 2,0)两点间的距离.于是|AiA | =-;4+22+ 202=2 10.二、填空题3. AABC 中，a、b c是内角 A、B、C 的对边，且Ig sinA, Ig sinB, Ig sinC 成等差数列，那么以下两条直线 1仁(sinA)x+(

8、sinA)y a=0,12： (sinB)x + (sinC)yc=0的位置关系是.答案重合解析由 2lg sirB=lg sinA+lg sinC,得 lg(sinB)2=lg(sinA sinC),/sin2B=sinA sinC.设 li: aix+biy+ci = 0, I2： a2x+b2y+C2=0.ai sinF Asin2AsinA bi sinAa2sinB-sinAsinC-sinC, b2sinC,Cia 2RsinA sinA ,ai bi ciC2 _ c_2RsinC_ sjnC.-li与l2重合.4. (文)假设点P(m,3)到直线4x3y + i - 0的距离为

9、4,且点P在不等 式2x+ y3表示的平面区域内，那么m -.答案3解析此题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识.|4m9+1|点P到直线4x-3y+1=0的距离d=5=4,解得m=7或m=-3,又点P在2x+y3表示的区域内，故m=-3.(理)将直线I: x+2y-1=0向左平移3个单位，再向上平移2个单位后 得到直线I,那么直线I与I之间的距离为_答案-55解析平移后I : (x+3)+2(y-2)-1=0|-2 1 | J5即 I : x+2y-2=0,d=*.pl+225三、解答题5. 两直线Ii: ax by+4=0, I2： (a-1)x+y+ b=0.求分别满足以下条件的

10、a, b的值.(1) 直线Ii过点(-3,1)，并且直线Ii与I2垂直；(2) 直线Ii与直线I2平行，并且坐标原点到Ii, 12的距离相等.解析(i)Ji 丄 I2 ,a(a-i) +( b) 1=0,即 a2-a-b=0.又点(3, 1)在 Ii 上，二-3a+b+4=0*由得a=2, b=2.a2,甘1a，b=a故ll和l2的方程可分别表示为:4 a1(a1)x+y+=0,(a-1)x+y+亡=0,又原点到ll与l2的距离相等.a1a亠 24片 |=| 厂 |,a=2 或 a=3， a1a3a=2, b=2 或a=3， b=2.6. 点P(2,1)，求：(1) 过P点与原点距离为2的直线

11、I的方程；(2) 过P点与原点距离最大的直线I的方程，最大距离是多少？(3) 是否存在过P点与原点距离为6的直线？假设存在，求出方程；假 设不存在，请说明理由.解析(1)过P点的直线l与原点的距离为2,而P点坐标为(2,1),可见过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件，其方程为x=2.假设斜率存在，设l的方程为y+ 1 = k(x2),即 kxy2k 1=0.I永一13、由得，行=2,解得k=4，这时直线l的方程为3x4y10=0.综上所述，可得直线I的方程为x=2或3x 4y10=0.(2) P点在直线I上，二原点到直线的距离dW|Op,过P点与原点0距离最大的直线是过P点且与P0垂直的直线

12、，由I丄0P,得kikop=1.二1ki=kOP=2,得直线I的方程为2xy5=0,即直线2xy5=0是过P 点且与原点0距离最大的直线，|5| 厂最大距离为.；5 = 5.(3) 由(2)知，过P点的直线与原点0最大距离为5,故过P点不存在到 原点距离为6的直线.7. (文)光线沿直线li： x2y + 5=0射入，遇直线I: 3x2y+7=0后 反射，求反射光线所在的直线方程.分析此题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线I 对称，用对称点方法求出入射光线上一丿护关于I的对称点，再由两点式写 出方程.3x2y+7=0,x=1,解析解法1:由得x2y+5=0,y=2,即反射点M的坐

13、标为(1,2).又取直线x2y+5=0上一点P( 5,0),设点P关于直线I的对称点为P (xo, yo).由PP的中点Q的坐标为号腭,又Q点在I上,Xo 5y0-3X 2X 2+7=0.联立yo =_2Xo+5 3解得32 xo5 yo+7=0,_ 17Xo=1332yo=13,即P3213.反射光线过M(-1,2)和P1713,3213 .根据直线的两点式方程，可得反射光线所在的方程为29x-2y+33=o.23解法2:设直线x-2y+5=o上任意一点P(xo, yo)关于直线I的对称点yo-yP (x, y),那么 xox又PP的中点Qx+xo2 ，y+yo2在I上,x+xoy+yo+7

14、=o,yy_ 2-5x + 12y-423，x_13 ，由？x+x12x+5y+283x 2 y+y + 7 _y_13，代入方程x2y +5_中，化简得29x2y+33=0,即所求反射光线所在直线方程为29x-2y + 33= .理直线I与点A3,3和B5,2的距离相等，且过两直线li： 3xy1_和I2： x+ y3_的交点，求直线I的方程.解析根据条件可设直线I的方程为：3xy1+ 0+ y3_,即3+ ；x+1y3入1_直线I与点A3,3和B5,2的距离相等可分为两种情况：32i3+ 入i当直线I与A、B的连线平行时，由kAB_2，可得_2，3521入2解得_7,此时直线I的方程为x+2y5_;55当直线I过线段AB中点M 4, 2时，将点M 4, 2代入直线I的方程可517得43+为+2入一13 1_，贝S 4 ，可得直线I的方程为:x6y+11_.综上可知，所求直线I的方程为：x+2y5_或x6y +11_.答案(5,3)解析数形结合知所求点即为过P点垂直于直线的交点，可得 P (5,3).(理)三条直线xy=0, x+y 1 = 0, mx+y+3=0不能构成三角 形，那么m的取值集合为_答