河北工业大学线性代数考试试题纸

1、1、2、3、河北工业大学考试试题纸(A卷)题号一二三四五六七八九总分题分151532141410100课程名称线性代数备注：、填空题(每小题学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)3分，共15分)已知组的通解为0111101111011110且adbc2,则A1=2是三元齐次线性方程组Ax0的两个不同的解，且R(A)2,则该方程4、已知向量组1(1,0,0)T,2(1,0,1)T,3(1,2,0)T4(1,3,1)，则R(4)5、设三阶方阵A与对角阵diag(1,1,3)相似,2E、单项选择题1、设1,2,(每小题3分，共15分)n是n维列向量，且1，2,n1,1,2,n2、3、4、

2、5、(A)1(B)0(C)2(D)2n设A(A)1(A)(C)二次型2,2,|代|1/2,(B)23是向量空间2X1A100A2，则A1(D)4(C)1/2R3的一个基，则下列仍是R3的一个基的是(3,22,23,21,2,24x24x3t2(B)2txX23(B)(D)12,23,312,2123,2x1X34x2X3是正定二次型，Mt应满足(A)设A为n阶方阵，A为A的伴随矩阵，且R(A)2t0(C)0t1(D)n2,则A的秩为(A)n1(CH(DIO三、计算题（每小题8分,共332分)1121、已知Aj是行列式D52103121的兀i、a,j1,2,3,4）的代数余子式,计算A13求：a

3、为何值时，方程组有唯一解、在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。2五、（14分）已知头二次型f（Xi,X2）5xi4xiX2A2325312、设A010111,101B125103,求矩阵X，使具满足XAXB;3、设A为n阶方阵，且|A2,计算A11侦A)3；4、设1(1,2,0)丁，2(1,a2,3a)T5(1,b2,a2b)T,(1,3,3)T,求：a、b为何值时,能由1,2,3线性表小，且表小唯-,并求出表小式。四、（14分）已知线性方程组A33；无解、有无穷多个解;2X22,(D写出f的矩阵A;(2)求f的秩;(3)求正交变换XPY（必须写出正交变换矩阵

4、P）,把f化为标准形。六、证明题1、（6分）（共10分）设1,2,3,4是齐次线性方程组AX1,2,3,0的一个基础解系，证明：123,234,ax1X2X3aXiax2X32XiX2ax321,34也是该方程组的一个基础解系；2、（4分）设A为2n1阶方阵，且AAtE,A0,证明:0。河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（A卷）3、k（12）,kR;4、3;5、3.一、填空题（每小题3分，共15分）二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4三、解答题（每小题8分，共32分）131125132A|33A23A33201125012ca（3分）、D5、D0（

5、8分）2分）由XAXB（EA）XB1101110120因（EA,B）10120-01111102530033310031c/O01020（OR）00111所以31X=2011（8分）*11AAA12A1,（2分）所A*（匕）12A13A3.（4分）分）5A16分）5n5n1=5一2（8（2分）1，2，311111111解法一:（A,）2a2b23-0ab103aa2b303aa2b3X11X22X33-11110ab1（4分）00ab0故当a0且ba时，方程组有唯一解，即能由1,2,3线性表示,且表不'式唯-（6分）10011a此时（A,）0101a0010（11一）a11a2-（8分

6、）11a2b2a(ab)3aa2b故当a0且b能由1,2,3线性表示，且表示式(1(8分)(2分)11111111此时，（A,）2a2b230ab103aa2b303aa2b311110ab100ab0a时，方程组（1）有唯一解，即唯一；（4分）10011a0101a(4分)001012a四（14分）、a11a11a3系数矩阵为A1a1，增广矩阵为B1a12,11a11a211a2（1)解法一B0a11a001a1a23a311a201aa10(4分）00(1a)(a2)3a3当a1且a2时，R（B）R（A）3,方程组有唯一解;1122当a2时，B-0330,R(B)3,R(A)2,方程组无解

7、；00091112当a1时，B0000,R(B)R(A)13,方程组有无穷多0000解。(7分)解法a11A1a1(a2)(a1)2,11a(4分)所以原方程组的通解为xC11c22C1,C2为任意常当a1且a2时，A0,R(A)3R(B),方程组有唯一解;当a2时，B21112111252210013023020,R(B)3,R(A)2,方程组无解；当a1时，B1111112210110020R(B)R(A)13,方程111组有解。(7分)(2)在方程组有无穷多个解时，方程20无得同解方程组组00x0穷X2多X32,取X2特X30,个得原解*2,0,0T;.(9分)在X1X2X3中取TX2,

8、X3T1,0,0,1T,得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为11,1,0T,2T1,0,1;(12分)*数。(14分)注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。142分)(2)1040R(A)22；3分)1)(6)，的特征值为16分)P21时，解方程（A1,2)T;6时，解方程(2,1)T;1,2(AE)x4A6E=26E)x1由A6E=得基础解系P1,得基础解系1<512分)则有正交阵P1_2方把和正交变换2_1_55xPy,把f化为标准形fy；6y22.(14分)注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵P有多种形式，改卷时需注意。六、证明题1、（6分）证法一：由其次线性方

9、程组解的性质知4，3341，434都是Ax0的解;2分)则有AK,1,2,3,4),A(101011001111011110,所以K可逆,10100110001100013,R(K)4,所以K可逆，从而R(B)R(A).又因为1,4是Ax0的一个基础解系，故它们线性无关,R(A)4,于是R(B)4,解向量组2，3,4线性无关，故是该方程组的个基础解系。6分)证法二:由其次线性方程组解的性质知3341解；设k11k22k33(k1k3)1(k1k2)2因为1,2,3,4是Axk1k30k1k20k2k31k40kk2k3k40k440,则有Ax02分)(k1k2k3k4)3(k2k30的一个基础解系，它们线性无关,1010110011110111其系数行列式为1,方程组有唯一零解k1k4)4故有0,k2k3k40,所以解