苏教版高中数学选修（1-1）-3.4《导数在实际生活中的应用》教学课件1

1、导数在实际生活导数在实际生活中的应用中的应用新课引入新课引入: : 导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用, ,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法, ,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题. .1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用( (面积和体积等的最值面积和体积等的最值) )( (利润方面最值利润方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )教材例教材例1 1：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它片的四

2、角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起的边沿虚线折起( (如图如图) )，做成一个无，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？箱底的容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx由题意可知，当由题意可知，当x x过小（接近过小（接近0 0）或过大（接近）或过大（接近6060）时，）时，箱子容积很小，因此，箱子容积很小，因此，1600016000是最大值。是最大值。答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm16 000cm3 323( )602xV xx解法一：

3、设箱底边长为解法一：设箱底边长为x xcmcm，则箱高，则箱高 cmcm， 得箱子容积得箱子容积602xh(060)x23260( )2xxV xx h令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），（舍去），x=40 x=40，23( )6002xV xx并求得并求得V(40)=16000V(40)=16000变式变式1：在长为在长为80 cm宽宽50cm的长方形铁片的四的长方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱子的高是多少做成一个无盖的长方体箱子，箱子的高是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？时，箱子的容

4、积最大？最大容积是多少？变式变式2：在长为在长为80 cm宽宽50cm的长方形铁片，的长方形铁片，做成一个无盖的长方体箱子，使箱子的容做成一个无盖的长方体箱子，使箱子的容积尽可能大，箱子的高是多少？积尽可能大，箱子的高是多少？解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h h，底半径为，底半径为R R，则表面积则表面积教材例教材例2 2：圆柱形金属饮料罐的容积圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？取，才能使所用的材料最省？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，则，则2222( )222

5、VVS RRRRRR22( )40VS RRR 令令32VR解得，解得， ，从而，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省3322342()2VVVVhRV即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值变式：变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值定值S时，它的高与底面半径应怎样选时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？取，才能使所用材料最省？(0100)q例例: :已知某商品生产成本已知某商品生产成本C C与产量与产量q q的函数关的函数关系式为系式为C C

6、=100+4=100+4q q，价格，价格p p与产量与产量q q的函数关的函数关系式为系式为 求产量求产量q q为何值时，利为何值时，利润润L L最大？最大？1258pq分析：利润分析：利润L L等于收入等于收入R R减去成本减去成本C C，而收入，而收入R R等于产量等于产量乘价格由此可得出利润乘价格由此可得出利润L L与产量与产量q q的函数关系式，再的函数关系式，再用导数求最大利润用导数求最大利润211252588Rq pqqqq解：收入解：收入答：产量为答：产量为8484时，利润时，利润L L最大。最大。1214Lq 令令 ，即，即 ，求得唯一的极值点，求得唯一的极值点0L 1210

7、4q84q 221125(1004 )2110088LRCqqqqq 利润利润解解:设容器底面短边长为设容器底面短边长为x m,则另一边长为则另一边长为 (x+0.5)m,高为高为(14.8-4x-4(x+0.5)/4=(3.2-2x)m则则 3.2 2x 0 , x0 , 得得 0 x1.6.例例. 用总长为用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。设容器体积为设容器体

8、积为y m3,则则 y = x (x+0.5) (3.2 2x)= - 2x3+2.2x2+1.6x (0 x1.6)y = - 6x2+4.4x+1.6,令令y = 0 得得 x = 1 或或 x = - 4/15 (舍去），舍去），当当0 x0 , 当当1x1.6时，时，y0它表示它表示 f(r) 单调递增，单调递增， 即半径越大，利润越高；即半径越大，利润越高；当半径当半径r时，时，f (r)0 它表示它表示 f(r) 单调递减单调递减， 即半径越大，利润越低即半径越大，利润越低0)( ,)2 , 0(xfr时当0)( ,)6 , 2(xfr时当1.1.半径为半径为cm cm 时，利润最

9、小，这时时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值此时利润是负值半径为半径为cmcm时，利润最大时，利润最大利用导数解决优化问题的基本思路利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案已知已知:某商品生产成本与产量某商品生产成本与产量q的函数关系式为的函数关系式为100 4Cq, 价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为1258pq 求产量求产量 q 为何值时，利润为何值时，利润 L 最大？最大？1

10、(25)(1004 )8LpqCq qq解：利润21211008qq 121,0,4LqL 令84q 求得0L 当时,q84,0L 当时,q84,84qL当产量 为时，利润 最大练习：练习：21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq另解：利润1421842bqLa 当时， 的值最大某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每定价为元时，房间会全部住满；房间的单价每增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房增加元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费元的各种维修费房间间，宾馆每天

11、每间需花费元的各种维修费房间定价多少时，宾馆的利润最大？定价多少时，宾馆的利润最大？房价应订为多少解解:设宾馆定价为设宾馆定价为(18010 x)元时，宾馆的利润最大元时，宾馆的利润最大20)50()50)(10180(xxxW8000340102xx17, 0)( xxW求得令17,0)( xxW时当17,0)( xxW时；当最大，利润当Wx17（元）此时房价为：3501710180教材例教材例3 3：在如图所示的电路中，在如图所示的电路中，已知电源的内阻为已知电源的内阻为r r，电动势为，电动势为，外电阻外电阻R R为多大时，才能使电功率为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？最大？

12、最大电功率是多少？Rr 教材例教材例4.4.强度分别为强度分别为a,ba,b的两个光源的两个光源A,BA,B, ,他他们间的距离为们间的距离为d d，试问：在连接这两个光源，试问：在连接这两个光源的线段的线段ABAB上，何处照度最小？试就上，何处照度最小？试就a=a=8,b8,b= =1,d1,d=3=3时回答上述问题（照度与光的时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）强度成正比，与光源距离的平方成反比）教材例教材例5 5：在经济学中在经济学中, ,生产生产x x单位产品的成本单位产品的成本称为成本函数称为成本函数, ,记为记为C(x),C(x),出售出售x x 单位产品

13、的单位产品的收益称为收益函数收益称为收益函数, ,记为记为R(x), R(x)- C(x)R(x), R(x)- C(x)称称为利润函数为利润函数, ,记为记为P(x).P(x).(1)(1)如果如果 , ,那么生那么生产多少单位产品时产多少单位产品时, ,边际成本边际成本C C/ /(x)(x)最低最低 ? ? (2)(2)如果如果 , ,产品的单价产品的单价 那么怎样定价可使利润最大那么怎样定价可使利润最大? ?632( )100.00351000c xxxx( ) 501000cxx( ) 100 0.01p xx变式：已知某商品生产成本变式：已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关的函数关系式为系式为C=100+4q，价格，价格p与产量与产量q的函数关系式的函数关系式为求产量为求产量q为何值时，利润为何值时，利润L最大？最大？解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数