《椭圆的简单性质》教案

1、椭圆的简单性质教案教学目的:1 .熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。2 .掌握标准方程中4,仇。的几何意义，以及。力,的相互关系。3 .理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。教学重点：椭圆的几何性质教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质授课类型：新授课。课时安排：1课时。教具：多媒体、实物投影仪。内容分析：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系

2、统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。本节内容的重点是椭圆的几何性质一一范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法；椭圆的几种画法。难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键

3、是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计:第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用。教学过程：一、复习引入:1 .椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹。2 .标准方程：二+二=1,二+(心)cr/?crb-3 .问题：(1)椭圆曲线的几何意义是什么？(2) “范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围

4、，椭圆的标准方程中的，取值范围是什么？其图形位置是怎样的？(3)标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？(4)椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？”,4c的几何意义各是什么？(5)椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？(6)画椭圆草图的方法是怎样的？二、讲解新课：Ai Fi -OF2 LV_JQ瓦p由椭圆方程二+二=1(。0)研究椭圆的性a-lr质.(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)(1)范围：从标准方程得出4i,4i,即有crbaxa,-bye = J_g)2范围：0 v e v 1

5、。考察椭圆形状与e的关系：6-0,。-0,椭圆变圆，直至成为极限位置圆, 也可认为圆为椭圆在e = 0时的特y此时 Aif,JA2 x例 oefl,c-a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段耳F),此时也可认为圆为椭圆在，=1时的特例。三、讲解范例：例1求椭圆16/+25V=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。解：把已知方程化成标准方程22二十二=1所以，a=5,b=4,c=4=3,5-4一因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a=10,2=8,离心率*=?,两个焦a5点分别为5(3,0),心(3,0),椭圆的四个顶点是A(-5,0),4(5,0),B(0,-

6、4),B2(0,4).将已知方程变形为)，=1也57?,根据),=后二7,在04xW5的范围内算出几个点的坐标(x,y)：X012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:yo|5例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图:答：简图如下:I/.卜例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：“一6 一四、课堂练习:1 .已知椭圆的一个焦点将长轴分为6：VT两段，求其离心率.解：由题意,(a + c): (a-c) = y(3 :&，即1+e _ V3，解得e = 5-2V6 .2 .如图，求椭圆二+二内接正方形crbABCD的面积.积为4a2 b2a2

7、+b2解由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（小），代入椭圆方程求得尸=萼二，即正方形ABCD面cr+Zr五、小结：这节课学习了川方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质:对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法.第二课时教学目的：1 .掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质:2 .理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；3 .掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法；培养学生观察能力，概括能力;提高学生画图能力；提高学生分析问题与解决问题的能力教学重点：椭圆的第二定

8、义、椭圆的准线方程教学难点：椭圆第二定义授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 .椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹.1?，2 .标准方程：*+*+22Q 一 B】P3 .椭圆的性质：由椭圆方程一j-+yv=1（6/?0）“一b-范围：-cixa,-bye=(2尸.0vev1.aa椭圆形状与e的关系：ef0,c-0,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例。efl,c一a椭圆变扁，直至成为极限位置线段FxFlt此时也可认为圆为椭圆在e=l时的特例。4 .回顾一下焦点在入轴上的椭

9、圆的标准方程的推导过程：如果对椭圆标准方程推导过程中的关键环节进行适当变形，我们会有新的发现：J(x-c)2+y+yj(x+c)2+y2=2a=yj(x-c)2+y2=a-x=-(-x),即;=(2)a2ax-c同时还有如支客=(3)ac观察上述三式的结构，说出它们各自的几何意义,从而引出椭圆的第二定义.二、讲解新课：1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数小那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.Zu42F2IIF1；Ai一2.椭圆的准线方对于二十二=1，相对于左焦点耳（-。,0）对应着左准线L：x=-M;相

10、对于右焦点cr/rc凡（C,0）对应着右准线，2：X=4.对于E+二=1,相对于下焦点G（0C）对应着下准线cb-/,：y=-；相对于上焦点（0,c）对应着上准线/,:y=.C-Cy准线的位置关系：C12212焦点到准线的距离=4-。=匕匚=（焦参数）CCC其上任意点P（x,y）到准线的距离：（分情况讨论）.点评：（1）从上面的探索与分析可知，椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式.（2）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称.三、讲解范例：例1求下列椭圆的准线方程：（1）/+4/=4（2）工+t=1.16812解：方程/+4/=4可化为=

11、1,是焦点在x轴上且。=2/=1,。=有的椭圆所以此椭圆的准线方程为x=C = J方的椭圆.方程看+_=1是焦点在y轴上且a=9力=4,所以此椭圆的准线方程为），=8181质65例2椭圆二+二=1上有一点P,它到椭圆的左准线10036距离为10,求点P到椭圆的右焦点的距离.解：椭圆工+二=1的离心率为6=3,根据椭圆的第100365二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为18=8.再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为208=12.四、课堂练习：1 .求下列椭圆的焦点坐标与准线方程2 2(1)+=1(2)2x2+y2=S10036答案：焦点坐标(8,0),居(8,0)；准线方程x=W9=

12、U.82Q焦点坐标片(0,-2),尼(0,2)；准线方程x=土=4.22.已知椭圆的两条准线方程为)，=9,离心率为;，求此椭圆的标准方程.答案：工十二=1.89五、小结：本节课学习了椭圆的第二定义，椭圆两种定义是等价的；椭圆的两种类型的准线方程也是不同的，须区别开来.2jfflyl(x-a)2+y2=(-x)(2)ac2即yl(x-a)2+y2=(-x)=a-exac同样(3)也可以这样处理，这是椭圆的焦半径公式.六、课后记：本课时背景材料是课本例4,学生解答例4并不困难，但对例4中直线的出现感到突然与困难，对由此得出的第二定义与第一定义有何内在联系搞不清楚.本设计通过反思椭圆标准方程的推导

13、过程，引导学生自己去发现椭圆的第二定义.使学生明白两种定义是等价的，消除了学生困惑.利用引导学生去发现定义的教学，调动学生的积极性，加强了知识发生过程的教学.使用多媒体辅助教学，增加了课堂教学容量，提高了课堂教学效益-第三课时教学目的：1 .能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2 .能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题；3 .体会数学形式的简洁美,增强爱国主义观念。教学重点：焦半径公式的的推导及应用教学难点：焦半径公式的的推导，应用问题中坐标系的建立授课类型：新授课课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1.椭圆定义

14、：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹.1?，2标准方程：%+1G2）3 .椭圆的性质：由椭圆方程9+（1）：-axa,-by=e=、Q|P.0el.椭圆形状与e的关系：ef0,c-0,椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例.”fl,c-椭圆变扁，直至成为极限位置线段大尸2,此时也可认为圆为椭圆在e=l时的特例.4 .椭圆的第二定义.:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同

15、的定义方式.5 .椭圆的准线方程：椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称.对于1十:=1,左准线L：x=-4;右准线/,:x=4erb.cc对于+二=1,下准线/1：y=一0）的一点，八和A分别是点ab与点五（一。,0）,尸2（。0）的距离，那么（左焦半径）=4+6X（）,（右焦半径）-2=4-已，其中e是离心率.推导方法一：四用2=（/+九2,|M/%|?=（x0-c）2+y02MF-MF=4cr。，又；.|+园居|=24+ MF21 = 2a径）r2= a-ex0c卜W = a + x0 = a + ex0*即（左焦半径）a =a + ex（）,（右焦半外

16、| = ax0 = a _ exQ推导方法二：，= e,一=eIMF I I MF, I 14= fj = e I MF11= e（f x0） = + % ,2G=elMRI=e（ -Xo） = a-ex0.同理有焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式: cMFI=a+ey0MF2=a-eyQ（其中月F2分别是椭圆的下上焦点）注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关.可以记为：左加右减，上减下加.三、讲解范例例1如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）尼为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km,远地点B（离地面最远的

17、点）距地面2384km,并且F?、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km）.解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、F?在x轴上，则a-c=IOAI-IOA1=1F,Al=6371+439=68104+c=IOBI+IOf1=1F,Bl=6371+2384=8755一解得4=7782.5,c=972.5b=yla2-c2=y（a+c）（a-c）=J6810x87557722.卫星运行的轨道方程为=7V+=J=1778327722222例2椭圆千+1=1（a/70）,其上一点P（3,y）到两焦点的距离分别是6.5和3.5,求椭圆方程.a + 3e =

18、6.5Xj+x2=83 .设P是以0为中心的椭圆上任意一点，入为右焦点，求证：以线段吊尸为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切.22证明：设椭圆方程为二+二=1,（焦半径F?尸是圆01的直径，则由4一叱口=竺利3=四=|。|知，两圆半径222之差等于圆心距，所以，以线段AP为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切.五、小结：焦半径公式的推导方法及形式；实际问题中坐标系的建立应使问题易求解.第四课时教学目的：1 .了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数的含义.2 .通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系.并能相互转化.提高综合运用能力.教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导.教学难点：深入理解推导方程的过程.灵活运用方程求解问题.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪.教学过程：一、复习引入：1 .椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）