高中常用函数的基本性质及图像

1、一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y=+h（k,人是常数，且E0）的函数，叫做一次函数，其中X是自变量。当力=°时，一次函数y=kx,又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是）=乙要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.当=。，I。时，y=kx仍是一次函数.当b=Q

2、,k=°时，它不是一次函数.（4）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k是常数，k尹0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）k不为零x指数为1b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当成0时，口直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小.（1）解析式：y=kx（k是常数，kO）（2）必过点：（0,0）、（1,k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，口图像经过二、四象限（4）增减性：k&

3、gt;0,y随x的增大而增大；k<0,y随x增大而减小（5）倾斜度：k越大，越接近y轴；k越小，越接近x轴3、一次函数及性质一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)k不为零x指数为1b取任意实数一次函数疔kx+b的图象是经过(0,b)和0)两点的一条直线，我们称它为直k线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移；当成0时，向下平移)(1) 解析式：y=kx+b(k.b是常数,k=0)(2)

4、 必过点：(0,b)和0)k(3) 走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限k>0依>0。直线经过第一、二、三象限。直线经过第一、三、四象限b>0b<0,k<0。直线经过第一、二、四象限b>0k<0。直线经过第二、三、四象限/?<0(4) 增减性：k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.(5) 倾斜度：k越大，图象越接近于y轴；k越小，图象越接近于x轴.(6) 图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平

5、移b个单位;当成0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.4、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取（b-£，°它与两坐标轴的交点：（0,b）,X此人即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移b|个单位长度而得到（当b>0时.向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=k

6、x（k是常数，k尹0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k尹0）,那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量围X为全体实数图象一条直线必过点（0,0）、（1,k）（0,b）和0）k走向k>0时，直线经过一、三象限；成0时，直线经过二、四象限k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限k>0,b<0直线经过第一、三、四象限k<0,b>0直线经过第一、二、四象限kVO,bVO直线经过第二、三、四象限增减性k>0,y随X的增大而增大；（从左向右上升）k<0

7、,y随X的增大而减小。（从左向右下降）倾斜度k|越大，越接近y轴；k|越小，越接近x轴图像的平移b>0时,将直线y=kx的图象向上平移舛个单位；*0时，将直线疔kx的图象向下平移网个单位.图象正40fe<0比yjk例T、1函LzX数/JO5y-kx/11z»o6<0b>06<0次函数i/kxbX0|X46、直线y=kxx+b（k】尹0）与y=k2x+b2（处=0）的位置关系（1）两直线平行<=>&=且4邓2（2）两直线相交<=>化黄、（3）两直线重合<=>4=七且Z?=b（4）两直线垂直=-17、用待定系数法确

8、定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=O（a,b为常数，aHO）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或

9、ax+b<0（a,b为常数，a尹0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-%4-的bb图象相同.a.x+by=c.cl们（2）二元一次方程组二次函数的概念：一般地，形如y=+c（a,b,c是常数，“。）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数“。0,而。，。可以为零.二次函数的定义域是全体实数.1的解可以看作是两个一次函数y二一工+和“2工+。2）'=。2加y=-全x+尘的图象交点.b2b2二次函数一、二次

10、函数概念：如b,C是常数，。是二次项系数，人是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式 一般式：f(x)=ax2+bx+ca0) 顶点式：/(x)=«(X4-7W)2+(“#0)线段=|而一巧|=普=.J当八=b2-4ac=。时，二次函数的图像和x轴有两个重合的交点M,02a特别地，当且仅当0=0时，二次函数=壬0)为偶函数.1. 二次函数基本形式：y=的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时，y随*的增大而增大；xv。时，y随X的增大而减小；A=0时，V有最小值0a<0向下(0,0)y轴x&g

11、t;0时，y随a的增大而减小；xvO时，y随x的增大而增大；x=。时，y有最大值0.2. y=ax2+c的性质:上加下减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质“>0向上(。顼y轴x>0时，y随a的增大而增大；XV。时，y随X的增大而减小；x=0时，y有最小值C.a<0向下(°-C)y轴x>0时，y随x的增大而减小；xvO时，y随X的增大而增大；x=0时，y有最大值C.3.ya(x-h)2的性质:左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(如0)X=hx>h时，y随a的堪大而增大；x<h时，y随工的增大而减小；x=h时，y有最小值0a&l

12、t;0向下3,0)X=h时，y随A的增大而减小;x<h时，y随X的增大而增大；x=h时，y有最大值0.4.y=o(x-/?)+A的性质:。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(/")X=hx>h时，y随a的增大而增大；x<h时，y随X的增大而减小；x=/7时，y有最小值A.(/?，k)x>h时，y随a的增大而减小；x<h时，y随工的增大而增大；x=h时，y有最大值三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一:将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k,确定其顶点坐标（/?,k）；向上伏>0）【或向下（R0）平移水1个单位>y

13、=(ix2+k向右仇>0）【或左（农0）】平移比I个单位向右（fc>o）【或左（农0）】平移ki个单位y=a(xJi)y=a(xJi)向右（fc>0）【或左（农0）】平移ki个单位向上（k>0）【或下（炊0）】平移旧个单位向右（力>0）【或左很0）】平移|妇个单位向上（k>0）【或下（炊0）】平移旧个单位>y=a(X'h)2k向上伙>0）【或下（炊0）】平移I加个单位T.卫（2）保持抛物线），=小2的形状不变，将其顶点平移到（Lk）处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“力值正右移，负左移；A值正上移，负下移”.概括成八个

14、字“左加右减，上加下减”(Dy=ax2+bx+c沿y轴平移：向上(下)平移个单位，y=ax2+bx+c变成y=ax2+bx+c+m(或y=ax1+bx+c-m)y=ax2+bx+c沿轴平移：向左(右)平移？个单位，y=ax2+bx+c成y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=ax一m)2+b(xm)+c)四、二次函数y=n(x-/j)?+k与y=ax2+bx+c的比较从解析式上看，y="（A-4+k与户杯+8+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中土丰气匕五、二次函数y=ca2+bx+c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y

15、=a（x-h）2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0，c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2/nc）.与X轴的交点（A-,0）,（X,0）（若与X轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.、顶点坐标为4mW、六、二次函数y=ax2+hx+c的性质1. 当">0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b当x<一e时，y随X的增大而减小；当X>时，y随工的增大而增大；当%=-2a2xi2a时，），有最小值.4a2

16、. 当"VO时，抛物线开口向下，对称轴为二,顶点坐标为蚂仝"当2a2a4aJ时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x=-Bf,2a&2ay有最大值竺.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2+bx+c（ab,c为常数，。0）；2. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a9h,A为常数，）;3. 两根式：>,=d（.¥-A1）（A-X2）（"HO,Xt,X,是抛物线与X轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都寻以化成一般式或成点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与a轴有交点，即b2-4ac>

17、;。时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数。二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然“=0.（1）当">0时，抛物线开口向上，“的值越大，开口越小，反之。的值越小，开口越大；（2）当“VO时，抛物线开口向下，"的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大.总结起来，。决定了抛物线开口的大小和方向，“的正负决定开口方向，|“|的大小决定开口的大小.2. 一次项系数入在二次项系数。确定的前提下，决定了抛物线的对称轴.（1）在“0的前提下，当人0时，0,即抛物线的对称轴在y

18、轴左侧；2a当人=0时，-玄=0,即抛物线的对称轴就是），轴；2a当人0时，-30,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a（2）在“0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；2a当人=0时，-3=0,即抛物线的对称轴就是），轴；2a当bvO时，0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.2a泌的符号的判定：对称轴x=-在y轴左边则沥。，在y轴的右侧2a则沥0.概括的说就是“左同右异"3. 常数项c（1）当c0时，抛物线与y轴的交点在a轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;（2）当。=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;（3）当cvO时

19、，抛物线与y轴的交点在a轴下方，即抛物线与v轴交点的纵坐标为负.总结起来，。决定了抛物线与），轴交点的位置.总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五

20、种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称y=ax2+bx+c关亍x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)k关于x轴对称后，得到的解析式是y=f(xF)2"2. 关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ux2-bx+c;y=a(x-h)k关于)，轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；3. 关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-cix2+bx-c；y=a(x-h)k关于原点对称后，得到的解析式是y-a(x+h)2-k;4. 关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180。)y=ax2+bx+c

21、关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ilx2-bx+c-:y=a(x-h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)+k.5. 关于点(;n,n)对称y=a(x-h)'+k关于点(?，m)对称后，得到的解析式是y=-a(x+h-2m)+2nk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|"|永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二

22、次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：元二次方程cix2+hx+c=o是二次函数y=ax2+bx+c当函数值），=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数： 当A=/r-4iic>0时，图象与x轴交于两点A（m,0）,8（易，。）（为。易），其中的X,与是一元二次方程ax2+/?A+c=0（n*0）的两根.这两点间的距离 当=（）时，图象与X轴只有一个交点； 当AvO时，图象与X轴没有交点.r当>o时，图象落在*轴的上方，无论x为任何实数，都有>->o；2, 当“<0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.2. 抛物

23、线>=<u?+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；3. 二次函数常用解题方法总结：（1）求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bX+c中a,b,。的符号，或由二次函数中。，b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与刀轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.>0抛物线与A轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等

24、实根=0抛物线与工轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根v0抛物线与X轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看，一元二次不等式心2+侏+c>o(“，o)的解集就是二次函数fx)=ax1+bx+c(a)的图像上，位于x轴上方的点的横坐标的集合；一元二次不等式cix1+/zr+c<0(#0)的解集就是二次函数f(x)=(ix2+bx+c(a0)的图像上，位于x轴下方的点的横坐标的集合；一元二次不等式(ix2+bx+c>0(a0)的解集就是二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像上

25、，位于x轴上方的点和与x轴的交点的横坐标的集合;一元二次不等式ax2+bx+c<0(a0)的解集就是二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像上，位于x轴下方的点和与x轴的交点的横坐标的集合.元二次方程ax2+Zzr+c=0("#0)的解就是二次函数f(x)=ax2+Zzr+c("#0)的图像上，与a轴的交点的横坐标.反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线函数解析式k>0k<0ky=-AykvJykv0r增减性在每i象限内jy随X增大而诚小在每一象限内，y随X增大而增大反比例函数图像中每一象限的每一支曲线

26、会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(KAO)。2、性质：1. 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限，y随x的增大而减小；当成0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限,y随x的增大而增大。2. k0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；成0时，函数在x<0±为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x"0；值域为y尹0。3. 因为在y=k/x(k0)中，x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标

27、轴围成的矩形面积为SI,S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6. 若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。7. 设在平面有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则n"2+4kmN（不小于）0。8. 反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。9. 反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.10. 反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w,则矩形mw

28、qo（o为原点）的面积为|k|11. k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。12. |k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13. 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点指数函数概念：一般地.函数y=a（a>0,且al）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。注意：1.指数函数对外形要求严格，前系数要为1,否则不能为指数函数。2.指数函数的定义仅是形式定义。a>l指数函数的图像与性质:图象Viy-1一一一一一1y=av/")(0,1)Xiy=av(«/<!)(0.1)y=1O"xQV性（1）定义域：R（2

29、）值域：（0.+s）（3）过点（0.1）.即.r-0时.、，=1质（4）在R上是增函数（4）在R匕是减函数0<«<1规律：1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。1ntnAA7«tnnnhnrmrutnn2. 当a>l时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0<aVl时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高,'；在y轴左边“底大图低”。3. 四字口诀：“大增小减"。即：当a>l时，图像在R上是增函数；当0VaVl时,图像

30、在R上是减函数。4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较幕式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移:在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函1 .对数函数的概念由于指数函数尸=1在定义域（-8,+8）上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a（a>0,a尹1）的反函数称为对数函数,并记为y=log

31、.,x（a>0,a尹1）.因为指数函数yr*的定义域为（-8,+8）,值域为（°,+8）,所以对数函数y=log.x的定义域为（0,+8）,值域为（-8,+8）.2 .对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log.x（a>0,a尹1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2X,y=logioxty=logioxty=log）x,y=logx的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,a尹1)的图像的特征

32、和性质见下表.图象a>la<l1X=1y:y=logaXd>l)Ki:X=1oy=log3x(0<a<l)O(1,0)X性质(l)x>0(2)当x=l时,y=0(3)当x>l时,y>00<x<l时，y<0(3)当x>l时，y<00<x<l时，y>0(4)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数补充性质设yi=log.xy2=logbX其中a>Lb>1(或OVaVl0<b<l)当X>1时“底大图低"即若a>b则yt>y2当0<x&

33、lt;l时“底大图高”即若a>b,则y,>y2比较对数大小的常用方法有:(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2) 若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3) 若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4) 若底数、真数都不相同，则常借助1、0,-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a>0,al)y=logax(a>0,al)定义域(一8,+8)(0,+8)值域(0,-8)(一8,+8)函数值变化情况当a>l时，>l(x>0)*=1(工=0)

34、<l(x<0)当0Va<l时，当时>0(%>1)logqM=0(x=l)<0(x<l)当OVaVl时，f<0(x>l)log。A-=0(A"=1)>0(x<l)<l(x>0)=l(.v=O)>l(x<0)单调性当a>l当0Va<l时,，是增函数；时，是减函数.当a>l时，log.,x是熠函数；当0<a<l时，log.,x是减函数.图像的图像与y=log4x的图像关于直线y=x对称.幕函数幕函数的图像与性质暮函数y=x"随着的不同，定义域、值域都会发生变化，

35、可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握y=当=±2,±1,±上，上，3的图像和性质，列表如下.'23从中可以归纳出以下结论： 它们都过点(1,1),除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函数图像都不过第四象限. 。=：，!，1,2,3时，幕函数图像过原点且在0,+S)上是增函数. =；,1,2时，幕函数图像不过原点且在(0,+s)上是减函数. 任何两个幕函数最多有三个公共点.y=xn奇函数偶函数非奇非偶函数n>yrXXy0X0<77<1yy二yI二wXoXoXn<0JkykyL.oX¥X0Xy=xy=x2y=a1£y=x2y=广定义域RRRxx&