高一平面向量讲义

1、平面向量讲义§2、1平面向量得实际背景及基本概念1. 向量：既有,义有得量叫向量.2. 向量得几何表示：以4为起点,B为终点得向量记作3. 向量得有关概念：零向量：长度为得向量叫做零向量，记作单位向量：长度为得向量叫做单位向量.相等向量:且得向量叫做相等向童.(4)平行向量(共线向量)：方向得向量叫做平行向量，也叫共线向量. 记法：向量日平行于8,记作 规定：零向量与平行.考点一向量得有关概念W11判断下列命题就是否正确，弁说明理由. 若并b,则s定不与£>共线；若珞=及则4、8、C、。四点就是平行四边形得四个顶点;在平行四边形ABCD中，一定有机斑;若向量a与任一向

2、量b平行，则«=0;若a=b,b=g艮1sc若b,bc,利s(?、变式训练1判断下列命题就是否正确，并说明理由.(1) 若向量a与8同向，且a>b9则a>b.(2) 若向量|,|=|6|,则a与8得长度相等且方向相同或相反；(3) 对于任意a=b9且a与6得方向相同，则a=b;向量&与向量/>平行，则向量a与8方向相同或相反.考点二向量得表示方法【例2】一辆汽车从4点出发向西行驶了100km到达8点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点、,最后又改变方向，向东行驶了100km到达。点.作出向量北、及?、部；(2)求|办、考点三相等向量

3、与共线向量【例3如图所示，0就是正六边形ABCDEF得中心，且芯l=a,床=8,志=c、(1) 与&得模相等得向量有多少个？(2) 与彳得长度相等，方向相反得向量有哪些？(3) 与4共线.得向量有哪些？(4) 请一一列出与a,b,c相等得向量.§2、2平面向量得线性运算1. 向量得加法法则(1) 三角形法则如图所示，已知非零向量a,b,在平面内任取一点4,作7b=每,司0=b,则向量叫做3与b得与(或与向量)，记作,即&+力=为+成?=、上述求两个向量与得作图法则，叫做向量求与得三角形法则.对于零向量与任一向量a得与有a+0=+=、(2) 平行四边形法则B如图所示，已

4、知两个不共线向量乱农作血=&,而=b,则O.A.B三点不共线，以,为邻边作，则对角线上得向量=+b,这个法则叫做两个向量求与得平行四边形法则.2. 向量加法得运算律交换律:a+8=、(2) 结合律：(a+/>)+c=、3、相反向量(1) 定义：如果两个向量长度,而方向,那么称这两个向量就是相反向量.(2) ，性质：对于相反向量有：&+(&)=、 若aM互为相反向量，则a=,a+b=、 零向量得相反向量仍就是4、向量得减法(1)定义：a-b=a+(一白)，即减去一个向量相当于加上这个向量得(2) 作法：在平面内任取一点。，作3a=点8=b,则向量ab=、如图所示.(

5、3) 几何意义：如果把两个向量得始点放在一起，则这两个向量得差就是以戒向量得终点为,被减向量得终点为得向量.例如:衣一汤=、5. 向量数来运算实数人与向量&得积就是一个,这种运算叫做向量得，记作,其长度与方向规定如下：(1) IAa=、，当时与3方向相同KaQr#O)得方向“j;当时、与&方向相反特别地，当4=0或a=Q时,0a=或A0=、6. 向量数来得运算律(1) 入(侦=、(2) (44-)a=、(3) A(a+b)=、特别地，有(一人)a=;A(a/>)=、7. 共线向量定理向量s怎手0)与白共线，当且仅当有唯一一个实数4,使.8. 向量得线性运算向量得、运算统称

6、为向量得线性运算，对于任意向量a、A,以及任意实数人、1、恒有A(以点土2力)=、考点一运用向量加法法则作与向量W11如图所示，已知向量£、8,求作向量a+b.变式训练1如图所示，已知向量a、b、g试作与向量a+8+c、考点二运用向量加减法法则化简向量W2化简：命能；赤+方+&；初+赤+3?+左+3、(珞一南一(K?一瑚.(5)(我一成)一面一初;(力+命+办-成_匹0-枷.变式训练2如图，在平行四边形ABCD中，0就是如与刃得交点.北+加;(2) 充+方+如;(3) 北+机办;K?+我+淡=、变式训练3如图所示，。就是平行四边形48Q?得对角线AC.阳得交点，设B=a.3A

7、=b,方C=g求证：8+。一&=汤、考点三向量得共线【例3】设包,ft?就是两个不共线得向量，若向量/»=«；+Aft(AR)与向量n=ei2ey共线，则()A. k=0B.A=1C.k=2D*=!变式训练4已知4位?得三个顶点4,8,C及平面内一点只且扇+鬲+咨衣则()A. P在48C内部B. P在/IB。外部C. P在48边上或其延长线上D. P在4C边上考点四：三点共线【例4】两个非零向量a、8不共线.若4甘=a+h8?=2g+8奴=3(ab)，求证:人B、。三点共线；求实数一使ka+b与2*b共线.变式训练5已知向量乩/>,且十8=a+2b,a(=fa

8、+6b,&=la_2b,则一定共线得三点就是()AM、C、DB. AB、CC. AB、DD.A.C、D变式训练6已知平面内0,A,B,C四点，其中A,B,C三点共线，且Qa+通,«x+y=§2、3平面向量得基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理(1) 定理：如果新6?就是同一平面内得两个向量，那么对于这一平面内得向量a实数/b,4务使召=、(2) 基底:把得向量金叫做表示这一平面内向量得一组基底.2. 两向量得夹角与垂直夹角：已知两个a与农作A=2=b,则=6(0°W8W180°),叫做向量a与8得夹角. 范围：向量a与6得夹角得范围就是 当8=

9、0°时技与6、 当8=180°时，a与白、垂直：如果,与8得夹角就是,则称。与8垂直，记作3. 平面向量得坐标表示(1) 向量得正交分解:把一个向量分解为两个得向量，叫作把向量正交分解.(2) 向量得坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与*轴、*轴方向相同得两个A/作为基底，对于平面内得一个向量a,有且只有一对实数使得日=,则叫作向量a得坐标,叫作向量得坐标表示.向量坐标得求法：在平面直角坐标系中，若Ax,y),则冰=若43,必)，83,*2),则成=、4. 平面向量得坐标运算若名=(*,WM=3,弟，则a+b=,即两个向量与得坐标等于这两个向量相应坐标得与.若=(*,WM

10、=3,弟，则ab=,即两个向量差得坐标等于这两个向量相应坐标得差.若a=(x,y),4ER,则/la=,即实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标.5. 两向量共线得坐标表示设a3,*1),b(X2,yi)当ab时，有.当6且xwKO时，有即两向量得相应坐标成比例.6. 若有P=入成，则P与自、月三点共线.当4G时，P位于线段月月得内部，特别地A=1时，P为线段月月得中点；当4e时，P位于线段A月得延长线上；当AG时，P位于线段R只得反向延长线上.考点一对基底概念得理解【例1如果，金就羡平面。内两个不共线.得向量，那么下列说法中不正确得就是() ER)可以表示平面a内得所有向量；

11、 对于平面a内任一向量a,使看=4+&得实数对(A,口)有无穷多个； 若向量爪©+y与"2®共线，则有且只有一个实数人，使得八+g=A(426+/J202)； 若存在实数A,“使得4乡+"切=0,则A=0、A.B.C.D.变式训练1设©、。就是不共线得两个向量，给出下列四组向量：&与+&2&与ft2ei; &2&与4ft2ei；o+金与e&、其中能作为平面内所有向量得一组基底得序号就是(写出所有满足条件得序号)考点二用基底表示向量【例2如图，梯形ABCDW,ABCD,且AB=2CD,分别就

12、是Z?C与初得中点，若能=瓦加6试用乱白表示於、北、灰变式训练2如图，已知48。中，。为网得中点,E,F为8C得三等分点，若AB=a.AC=b.用a,8表示成正衣、考点三平面向量基本定理得应用【例31如图所示，在48C中，点淅就是8C得中点，点0在边初上，且AN=2NC,所与例相交于点P,求证:4P：PM=4:1、变式训练3如图所示，已知初8中，点C就是以A为中点得点B得对称点，泓=2成DC与"I交于点£；设汤=匆B=b、(1)用3与白表示向量芯?、3c,若及=&求实数4得值.考点四平面向量得坐标运算【例4已知平面上三点4(2,4),8(0,6),C(8,10),求

13、珞一方;能+2威;左一;变式训练4已知a=(1,2),b=(2,1),求：(1)2a+3/；(2)&38；!&一：白、考点五平面向量得坐标表示【例51已知a=(-2,3),b=(3,1),c=(10,-4)，试用风力表示久变式训练5设，、/分别就是与x轴、*轴方向相同得两个单位向量，角=i-QDj,b=2i+mj(mCR)，已知ab,求向量a、8得坐标.考点六平面向量坐标得应用W6已知。ABCD顶点4(一1,一2),8(3,1),C(5,6)，求顶点。得坐标.变式训练6已知平行四边形得三个顶点得坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2)，求第四个顶点得坐标.考点七平面向量共

14、线得坐标运算【例刀已知名=(1,2),6=(3,2),当A为何值时,k&+b与a-3b平行？平行时它们就是同向还就是反向？变式训练7已知4(2,1),8(0,4),C(1,3),。(5,一3).判断鬲与如是否共线?如果共线，它们得方向相同还就是相反？考点八平面向量得坐标运算【例8已知点>4(3,-4)与点8(1,2),点P在直线48上，且|办=2|鬲|,求点P得坐标.变式训练8已知点4(1,一2),若向量48与a=(2,3)同向，|为|=2如，求点8得坐标.考点九利用共线向量求直线得交点【例9如图，已知点4(4,0),8(4,4),C(2,6),求初与08得交点P得坐标.变式训练

15、9平面上有4(一2,1),8(1,4),。(4,-3)三点，点C在直线48上,且加：成,连接如点£在上,且参彼求f点坐标.§2、4平面向量得数量积1. 平面向量数量积定义：已知两个非零向量a与丘我们把数量叫做a与8得数量积(或内积),记作&b,即3b=Ia|/>|cos3,其中8就是s与/>得夹角.(2) 规定：零向量与任一向量得数量积为(3) 投影：设两个非零向量乩8得夹角为。，则向量，在8方向得投影就是,向量白在a方向上得投影就是2. 数量积得几何意义以得几何意义就是数量积g步等于s得长度|&|与白在a得方向上得投影得乘积.3. 向量数量积得

16、运算律ab=(交换律)；(Aa)-b=(结合律);(a+Z>).c=(分配律).4. 平面向量数量积得坐标表示彳;a3,*1),b(*2,y2),顷ab=、即两个向量得数量积等于5. 两个向量垂直得坐标表示设两个非零向量a=(xi,yi),A=3,yO,则aJL/K=>、6. 平面向量得模(1)向量模公式:设a=(*,n),则Ia|=、两点间距离公式:若43,yi),B3,y2),则|珞|=、7. 向量得夹角公式设两非零向量a=3,yOM=3,*2),a与8得夹角为8,则cos8=考点一求两向量得数量积W11已知言|=4,|引=5,当(1)a8;(2)a_L2>；(3)s与8

17、得夹角为30。时，分别求s与8得数量积.变式训练1已知正三角形48C得边长为1,求：珞击;志泌;曲宠考点二求向量得模长【例2】已知|名|=|引=5,向量名与8得夹角为:，求la+引，|占一引、变式训练2已知|=|引=1,|3§20|=3,求|3g|、考点三向量得夹角或垂直问题【例3】设"与少就是两个单位向量，其夹角就是60。，求向量a=2/H-n与/>=2。一3/»得夹角.变式训练3已知|日|=5,|8|=4,且召与8得夹角为60°,则当A为何值时，向量ka-b与a+28垂直？考点四向量得坐标运算W4已知与8同向M=(1,2),s"=10

18、、求a得坐标；若c=(2,1),求a(bc)及(afc、变式训练4若a=(2,3),A=(-1,-2),c=(2,1),则(a8),c=;a(6,G)=考点五向量得夹角问题W5已知&=(1,2)"=(1,"，分别确定实得取值范围，使得：(Da与8得夹角为直角；(2) a与6得夹角为钝角；(3) a与力得夹角为锐角.变式训练5已知a=(1,1)"=(4,1),若，与6得夹角a为钝角，求4得取值范围.考点六向量数量积坐标运算得应用W6已知在48。中，4(2,1)、8(3,2)、。(一3,1),4。为8C边上得高,求|K?|与点Z?得坐标.变式训练6以原点与4(

19、5,2)为两个顶点作等腰直角048,Z5=90°,求点8与珞得坐标.§2、5平面向量应用举例1. 向量方法在几何中得应用(1) 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)得等价条件,仍(我0)=0、(2) 证明垂直问题，如证明四边形就是矩形、正方形等，常用向量垂直得等价条件:a±b=、(3) 求夹角问题，往往利用向量得夹角公式cose=(4) 求线段得长度或证明线段相等，可以利用向量得线性运算、向量模得公式:|a|=2. 力向量力向量与前面学过得自由向量有区别.(1) 相同点：力与向量都既要考虑又要考虑(2) 不同点：向量与无关，力与有关，大小与方向相同得两个力，如果不同，那么它们就是不相等得.3. 向量方法在物理中得应用(1) 力、速度、加速度、位移都就是(2) 力、