函数单调性奇偶性经典例题

1、例1已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.一、选择题2.函数f(x)=的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1对称二、填空题3.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+上单调递增，则b的取值范围是_.三、解答

2、题5.已知函数f(x)=ax+ (a>1).(1)证明：函数f(x)在(1，+)上为增函数.6.求证函数f(x)=在区间(1，+)上是减函数.7.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,当x>时，f(x)>0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.例1已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函

3、数，且满足不等式f(x3)+f(x23)<0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.一、选择题1.设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( )A.0.5B.0.5C.1.5D.1.52.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)<0,则a的取值范围是( )A.(2，3)B.(3，)C.(2，4)D.(2，3)二、填空题3.若f(x)为奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)<0的解集为_.4.如果函数f(x)在R

4、上为奇函数，在(1，0)上是增函数，且f(x+2)=f(x),试比较f(),f(),f(1)的大小关系_.三、解答题5.已知f(x)是偶函数而且在(0，+)上是减函数，判断f(x)在(,0)上的增减性并加以证明.6.已知函数y=f(x)= (a,b,cR,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)<.(1)试求函数f(x)的解析式；(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.3函数单调性与奇偶性的综合运用例6甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c kmh，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(kmh)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckmh，所以(2)的解决需要论函数的增减性来解决由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即则当v=