长沙中考数学复习《圆的综合》专项综合练习

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，AB为。的直径，AC为。0的弦，AD平分ZBAC,交。0于点D,DEJ_AC,交AC的延长线于点E.（1）判断直线DE与。0的位置关系，并说明理由；（2）若AE=8,。0的半径为5,求DE的长.【答案】（1）直线DE与。0相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接oD,VAD平分zBAC,/.ZEAD=ZOAD，OA=OD,.ZODA=ZOAD,ZODA=ZEAD/.EAIIOD,DEJLEA,.DE_LOD,又点D在。0上，.直线DE与。0相切（2）作DF1AB,垂足为F,.ZDFA=ZDEA=90。，ZEAD=ZFAD,AD=AD,EA

2、D罢FAD,二AF=AE=8,DF=DE，.OA=OD=5,OF=3,在RtADOF中，DF=JOD，-0殆=4二AF=AE=8考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长.2.定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.（1）如图1,四边形ABCD内接于。0,匕DCB匕ADONA,求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形：（2）在（1）的条件下，。0半径为5.符AD为直径，且sinA=y,求

3、BC的长;则四边形ABCD的而积是若四边形ABCD中有一个角为60。，且BC=CD,d2-b2=ab+cd.(3)在(1)的条件下，记AB=a,BC=b,CD=c,AD二d,求证:【答案】(1)见解析：(2)BC=6,至A或E；(3)见解析44【解析】【分析】(1) 先判断出Z/4DC=180-2AA.进而判断出ZABC=2AA.即可得出结论：(2) 先用锐角三角函数求出8D,进而得出月8,由(1)得出ZADB=Z8DC,即可得出结论：分两种情况：利用而积和差即可得出结论：(3) 先得出BE=BC=b,DE=DA=b,进而得出CE=d-c,再判断出EBC-ED4,即可得出结论.【详解】(1)

4、设匕A=a,则ZDCB=180-a.匕。CB匕ADC=Z.A9:.ZADCADCB-Z4=180-a-a=1802a,/.ZABC=180-匕.四边形ABCD是00内接倍角四边形;(2) 连接8D.4:AD是。0的直径，：.Z.ABD=90在RtAABD中，/4D=2x5=10,sin/A=，二8D二8,根5据勾股定理得：48=6,设ZA=a.Z/4DB=90-a.由(1)知,匕AOC=1802a,二匕8DC=90a,ZADB=ABDC,:.BC=AB=6若匕ADC=60时.四边形A8CD是圆内接倍角四边形，Z8CD=120或匕BAD=30.I、当ZBCD=12Q时，如图3,连接OA,08,O

5、C,0D.BC=CD,:.ZBOCNCOD.:.ZOCDNOCB=-ZBCD=60ZCDO=60,/.AD是。O2的直径，（为了说明也）是直径，点。没有画在AD上）.ZAOC+匕8CD=180,/.BCWAD,:.AB=CD.8C=CD,.A8二8C=CD,Q48,BOC,CO。是全等的等边三角形，二S囚边形-3、后*75后AQBlOXX。.44H、当Z8/40=30时，如图4,连接。4,08,OC,OD.四边形ABCD是圆内接四边形，二ZBCD=180-Z840=150.1BC=CD,洋BOCNCOD,匕BCO=ZDCO二一匕BCD=75二匕8OC=NDOC=30,2.匕084=45,二匕4

6、08=90.连接AC,:.ZDAC=-ZBAD=15.2ZADO=ZOAB-Z8/40=15%/.ZDAC=AADO.:.ODWAC,:.SAoao=Saocd.过点C作CHOB于H./.,15.RtAOCH中，CH=OC=,S四边脆&cq=Sacod+Saooc+Saaob-2 21 5175Saaqq=Sa6oc+SaAqb=Xx5+x5x5=-2 224故答案为：或E：44朗（3）延长DC,AB交于点E.四边形ABCD是00的内接四边形，二匕8CE=NA=L匕A8C.2ZABC=Z8CE+2A.:.ZE=ZBCENA.LBE=BC=b,DE=DA=b,:.CE=d-c.CEBCdcb,/

7、ZBCE=A.ZE=ZE.EBC=。EDA,:.=,/.=一,/.d2-AEADa+bdb2=abcd.备用图【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.3.如图，AB为。0的直径，点D为A8下方00上一点，点C为孤A8D的中点，连接CD,CA.(1) 求证：ZABD=2ZBDC；(2) 过点C作CHAB于H,交AD于E,求证：EA=EC；(3) 在(2)的条件下，若0H=5,AD=249求线段DE的长度.9【答案】(1)证明见解析；(2)见解析：(3)DE=-.2【解析】【分析】(1) 连接

8、AD，如图1，设ZBDC=a,匕ADC邛，根据圆周角定理得到ZC48=ZBDC=a,由AB为。0直径，得到NAD8=90。，根据余角的性质即可得到结论；(2) 根据已知条件得到ZACE=AADC,等量代换得到ZACE=ZCAE,于是得到结论：(3) 如图2,连接0C,根据圆周角定理得到ZC0B=2ACAB,等量代换得到/C08NABD,根据相似三角形的性质得到0H=5,根据勾股定理得到AB=AD2+BD2=26,由相似三角形的性质即可得到结论【详解】(1)连接AD.如图1,设匕BDC=a,匕/WC邛，则匕CAB=ZBDC=a,.点C为弧A8D中点，.AC=CD，.DAC邛，ZDAB=-a.A8

9、为00直径，二匕AD8=90,.a+8=9O,邛=90a,.匕人8。=90匕DA8=90（P-a）,/.ZABD=2a.:.ZABD=2ABDC：c(2)CHAB.:.ZACE+ZCAB=ZADC+ZBDC=90,.ZCABZCDB,二Z4CE=ZADC.:ZCAENADC.:.ZACE=ACAE,二AE=CE；(3) 如图2,连接OC,ZCOB=2ZCAB.:ZABD=2A8DC,ZBDCNCAB,/.ZCOB=ZABD.OHOC1.ZOHCNADB=90二OCH-ABD,:.=-BDAB2OH=5,.8D=10,?.AB=+BD2=26二40=13,/.AH=18.9DE=-.2AHAEn

10、n18AE39AHEfADB,=一,即一=一,/.AE=一,ADAB24262【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.4.如图，CD为。的直径，点8在00上，连接8C、BD,过点8的切线AE与CD的延长线交于点A,ZAEO=ZC,0E交BC于点F.(1) 求证：OfIIBD：2(2) 当00的半径为5,sinZDBA=-时，求EF的长.【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为2【解析】试题分析：（1）连接0B,利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接08,vcd

11、O0的直径，/.ZCBD=ZCBO+ZOBD=90.:AE是。的切线，二ZABO=ZABD+AOBD=90.-ZABD=ZCBO.。8、oc是。o的半径，/-ob=oc.:.ZC=ZCBO.:.ZC=ZABD.ZE=ZC,/.E=ZABDOEWBD.9BD7（2）由（1）可得sinZC=ZDBA=-,在RtAOBE中sin/C=-,OC=5,5CD5BD=4：ZCBD=ZEBO=90。ZE=ZC,/.CBD-EBO.BDCDBOEO=.2OEIIBD,CO=OD.:.CF=FB.IOF=-BD=2.221.EF=OEOF=25.如图，2XABC内接于00,弓玄ADBC垂足为H,ZABC=2ZC

12、AD.（1）如图1,求证：AB=BC：（2）如图2,过点B作BMCD垂足为M,BM交。于E,连接AE、HM,求证：AEIIHM;（3）如图3,在（2）的条件下，连接BD交AE于N,AE与BC交于点F,若NH=2j?，AD=11,求线段AB的长.M（E3）M证明：延长AD、BM交于点N,连接ED.ZDEN=ZDAB,ZN=ZBCD,/BCD=ZBAN.DE=DN,BA=BN又.BHAN,DMEN/.EM=NM/HN=HA/.MHIIAE（3）连接CE.ZBDA=ZBCA,ZBDM=ZBAC,由（1）知匕BCA=ZBAC.ZBDA=ZBDM,BDM罢BDH,DH=MH,ZMBD=ZHBD,BDMH

13、又.MHIIAE,/.BDJLEF；.FNB竺ENB,同理可证左AFH竺ACH,HF=HC/又：FN=NE二NHIIEC,EC=2NH,又NH=2/,.EC=47?ZEAC=2ZAEC=2a=ZABC.可证弧AC=弧EC,AC=EC=4/5设HD=x,AH=llx,ZADC=2ZCAD,翻折CHD至八CHG,可证CG=CD=AGAH=CD+DH/CD=AH-DH=ll-x-x=ll-2x又.ACAH2=CD/5)2-(11-x)2=(11-2x)2-x227.xi=3zx2=(舍去).CD=5,CH=4/AH=8.AHCHc/；rr又T77=E=tan2c/.BH=6/.AB=yBM2+AH2

14、=62+82=10t)nLfn点睛：此题主要考查了圆的综合，结合圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的性质，综合性比较强，灵活添加辅助线，构造方程求解是解题关键.6.如图，在RtAABC中，点O在斜边A8上，以。为圆心，08为半径作圆，分别与8C.48相交于点。，E,连接已知ZCAD=AB.(1) 求证：是00的切线；(2) 若CD=2,AC=4,8D=6,求。0的半径.【答案】(1)详见解析：(2)W.2【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到匕l=z3,根据直角三角形中角的大小关系得出0DJLM,从而证明/W为圆。的切线：(2)根据直角三角形勾股定理和两三角

15、形相似可以得出结果【详解】(1证明：连接0D,AOB=OD,:.Z3=Z8,ZB=Z1,Z1=Z3,在RtAACD中，Z1+Z2=90%./4=180(Z2+Z3)=90,ODAD,则AD为圆O的切线：(2)过点O作O/LL8C,垂足为F,.OFBD1DF=BF=-BD=32.AC=4,CD=2,ZACD=90jAb+Cb=2必ZCAD=AB,ZOFB=ZACD=90.BFO-ACD BF_QBAC3 OB即一=7=4 2扼 OR-3后2.。的半径为*E2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7.如图，已知AB为。的直径，

16、AB=8,点C和点D是。0上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC,且匕BOCV90。，直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且ZGAF=ZGCE（1）求证：直线CG为。的切线：（2）若点H为线段0B上一点，连接CH,满足CB=CH,ACBH乙OBC求OH4-HC的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；5.【解析】分析：（1）由题意可知：匕CABNGAF,由圆的性质可知：匕CABNOCA,所以ZOCA=ZGCE,从而可证明直线CG是00的切线：（2）由于CB=CH,所以ZCBH=ZCHB,易证匕CBHNOCB,从而可证明

17、CBH-也OBC；Behbbc由CBHsOBC可知：=所以HB=,由于BC二HC,所以OCBC40H+HC=4-一+BC,利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.4详解:（1）由题意可知：匕CABNGAF,AB是00的直径，.ZACB=90OA=OC,.ZCAB=ZOCA,.ZOCA+ZOCB=90ZGAF=ZGCE,.ZGCE+ZOCB=ZOCA+ZOCB=90,OC是00的半径，直线CG是00的切线：（2）.CB=CH,ZCBH=ZCHB,.OB=OC,.ZCBH=ZOCB,BC_HBOCBC.CBHOBC由CBHOBC可知AB=8,BC2=HBOC=4HB,BC1:.OH=OB-H

18、B=44CB二CH,BC2:.0H+HO4+BC,4当匕BOC=90,此时BC=4J歹ZBOCV90。,0BCsin60=史(x+m),CG=ACcos60=!(x+m),22BGBC-CG=(x+。)-(x+m),在RtAABG中，根据勾股定理可得：也(x+m)2+(xJ-n)(x+m)2=(m+n)整理，得：X2+(m+n)x=3mn9abc=BC*AG=X(x+n)也(x+m)22/T=+(m+n)x+mn4=x(3mn+fnn)4=y/3mr).【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.9.如图，在。0中，直径AB垂直弦C

19、D于E,过点A作匕DAFNDAB,过点D作AF的垂线，垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交00于点G,连接EG.(1) 求证：DF是。0的切线；(2) 若AD=DP,0B=3,求BD的长度：(3) 若DE=4,AE=8,求线段EG的长.【解析】试题分析：(1)连接0D,由等腰三角形的性质得出ZDAB=ZADO,再由已知条件得出ZADO=ZDAF,证出0DllAF,由已知DFAF,得出DJ0D,即可得出结论；(2) 易得NBOD=60。，再由弧长公式求解即可：(3) 连接DG,由垂径定理得出DE=CE=4,得出CD=8,由勾股定理求出DG,再由勾股定理求出EG即可.试题解析：(1)证

20、明：连接0D,如图1所示：OA=OD,/.ZDAB=ZADO,ZDAF=ZDAB,二ZADO=ZDAF,ODIIAF.又DFAF,DFOD,DF是。的切线;（2）.AD=DP二ZP=ZDAF=ZDAB=x/.ZP+ZDAF+ZDAB=3x=90.x=30ZBOD=60%.8D的长度=勿（3）解：连接DG,如图2所示：AB_LCD,DE=CE=4,CD=DE+CE=8,设OD=OA=x,则OE=8x,在RtAODE中，由勾股定理得:OE2+DE2=OD2,即（8-x）2+42,解得：x=5,.CG=2OA=10,.CG是OO的直径，.ZCDG=90,-DG=yJcG2-CD2=/102-82=6，EG=JdG：+M=J6?+42=2应.10.己知A8是半圆。的直径，点C在半圆O上.如图1,若AC=3,匕CA8=30,求半圆。的半径：（2）如图2,M是BC的中点，E是直径A8上一点，AM分别交CE,8C于点