第3讲平面向量的数量积及应用举例

1、第3讲平面向量的数量积及应用举例I识，有廨回顾走进教材、知识梳理1. 向量的夹角(1) 定义：已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则ZAOB=。叫做向量a与b的夹角.范围：向量夹角。的范围是0°v德180°.注意当a与b同向时，0=0°a与b反向时，0=180°a与b垂直时,0=90°2. 平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为0,贝U数量|a|b|cos_0叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos_0叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_0叫做向量b在a方向上的投影几何意义数重积aba的长度|a|与b在a的方向上的

2、投影|b|cos_0的乘积注意投影和两向量的数量积都是数量，不是向量.3. 向量数量积的运算律(1) ab=b_a.(2) (泊)b=Xab)=a(；b).(3) (a+b)c=ac+bc.4. 平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a=(xy),b=(x2,y2),a与b的夹角为0,ab=X1X2+yy2.结论几何表刀、坐标表/、模a|=vaa|a|=qx_+y夹角八abcos0=|a|b|X1X2+y1y2cos康x2+y衬x2+y2a±b的充要条件ab=0X1X2+y=0常用结论两向量a与b为锐角？ab>0且a与b不共线.两向量a与b为钝角？abv0且a与b不共线

3、.(a=b)2=a2±2ab+b2.(4) (a+b)(a-b)=a2-b2.(5) a与b同向时,ab=|a|b|.(6) a与b反向时，ab=|a|b|.二、教材衍化已知ab=12寸2,|a|=4,a和b的夹角为135°,贝U|b|为()A.12B.6C.3“D.3解析：选B.ab=|a|b|cos135°L12粗4X=12寸2,所以|b|=产-=6.2:走出误区、思考辨析判断正误(正确的打“/”，错误的打“X”)(1) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(2) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(3) 由a

4、b=0可得a=0或b=0.()(4) (ab)c=a(bc).()一，一，.，.一一兀(5) 两个向量的夹角的范围是0,2.()(6) 若ab>0,则a和b的夹角为锐角；若ab<0,则a和b的夹角为钝角.()答案：(1)/(2)V(3)X(4)X(5)X(6)X二、易错纠偏常见误区|(1)没有找准向量的夹角致误；(2) 不理解向量的数量积的几何意义致误；(3) 向量的数量积的有关性质应用不熟练致误.1. 在ABC中，AB=3,AC=2,BC=寸而，贝UbAaC的值为.解析：在ABC中，由余弦定理得cosA=AC2+AB2BC22XACXAB22+32-(而)21z-=匚2X2X34

5、.Lr,三rr13所以BAAC=|BA|AC|cos(A)=-|BA|AC|cosA=-3X2X4=2.答案：一22. 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角0=120°,则向量b在向量a方向上的投影为解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos0=4xcos120°=-2.答案：一23. 已知向量a与b的夹角为|a|=|b|=1,且a±（a-；b）,则实数入=.-一，一.L，1冗1一、，-解析：由题怠，碍ab=|a|b|cos-=因为aL（a-?b）,所以a（a-b）=|a|2泊b=1322=0,所以入=2.答案：2期考向自迁强例考法4考点一平面向

6、量数量积的运算（基础型）复习指导|1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.核心素养：数学运算、数学抽象例1）（一题多解）（2019高考天津卷）在四边形ABCD中，AD/BC,AB=冷,AD=5,ZA=30°,点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,则BDAe=.【解析】法一：在等腰ABE中，易得ZBAE=ZABE=30°,故BE=2,则BD品=(ADAB)(AB+BE)=ADAB+ADBEAB2-ABBE=5X23Xcos30花X2Xcos180一12-2也X2Xcos15

7、0°W510-12+6=1.法二：在ABD中，由余弦定理可得BD=A/25+12-2X5X3Xcos30。瑚,12+7252,5/7r>所以cosZABD=2x2成乂我=-土j，则sinZABD=尸;.设BD与AE的夹角为。，则cos0=cos(180°-VABD+30°)=cos(ZABD30°)=cosZABDcos30°-sinZABDsin30°=在ABE中，易得AE=BE=2,故bDaE=47x2X*=1.【答案】一1求向量a,b的数量积ab的两种方法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab=|a|b|cosa

8、,b>.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(xi,yi),b=(x2,y2),贝Uab=xix2+yiy2.当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系时，可建立坐标系，运用坐标法求解.1. (2020河南新乡二模)已知a=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-1)，若a/b,则bc=()A.-7B.-3C.3D.7解析：选B.因为a=(1,2),b=(m,m+3),a/b,所以1x(m+3)2m=0,所以m=3,所以bc=m(m2)(m+3)=3,故选B.2. (2019局考全国卷II)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABB

9、C=()A.-3B.-2C.2D.3解析：选C.因为BC=ACAb=(3,t)(2,3)=(1,t-3),因为|Bc|=1,所以寸1+(t-3)2=1,所以t=3,所以bC=(1,0),所以AbBC=2X1+3X0=2,故选C.一一一一一.，、.、一、一-兀一,一3. (一题多解)(2020湖南省五市十校联考)在直角二角形ABC中，ZC=2,AB=4,AC=2，若AD=*扇，则CbCB=()A.-18B.-63C.18D.63解析:选C.通解：由ZC=2，AB=4,AC=2,得CB=3,CACB=0.CDCB=(CA333+AD)CB=CACB+2ABCB=§(CBCA)CB=产2=

10、18,故选C.x,y轴，建立平面直角优解一：如图，以C为坐标原点，CA,CB所在的直线分别为坐标系，则C（0,0）,A（2,0）,B（0,将）.由题意得/CBA=又AD=号康，所以D=（-lrrlf，-、.一1,3盛,则CDCB=（1,30）（0,2山）=18,故选C.优解二：因为zC=2,AB=4,AC=2,所以CB=2寸3,所以AB在CB上的投影为3,33又AD=|AB,所以AD在CB上的投影为2X2寸3=冷,则CD在CB上的投影为近，所以"">卫一匚一匚.一、“.一CDCB=|CB|CD|cosCD,CB=2<3X3。3=18,故选C.考点二平面向量数量积

11、的应用（基础型）复习+匕巳|能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.核心素养：数学运算、逻辑推理角度一求两平面向量的夹角例回（1）（一题多解）（2019高考全国卷I）已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且（a-b）±b,则a与b的夹角为（）已知向量扇=（x,1）（x>0）,AC=（1,2）,|Bc|=寸5,则扁，AC的夹角为（）兀C.4【解析】(1)法一：由题意得，(ab)b=0?ab=|b|2,所以|a|b|cosa,b=|b|2,因为|a|=2|b|,所以2|b|2cosa,b=|b|2?cosa,b=?,所以a,b=,故选B.23法二：如

12、图，设OA=a,OB=b,则BA=ab,所以B=f,|6A|=2OB,所以ZAOB§即a，b3'一t工因为BC=ACAB=(1x,1),rccI-c,、一r土,|AB|AC|所以|BC|2=(1x)2+1=5,即x22x-3=0,解得x=3或x=1(舍).设AB,AC的夹角为e,则cose=理乓=当，所以e=f.【答案】(1)B(2)C求向量夹角问题的方法当a,b是非坐标形式时，求a与b的夹角0,需求出ab及|a|,|b或得出它们之间的xx2+y1y2关系.若已知a=(x，y1)与b=(x2,y2),贝Ucosa,b>角度二求平面向量的模敏3(1)(一题多解)(2020

13、唐山市摸底考试)已知e1,e2是两个单位向量，且国+e2|=如,贝U|e1e2|=.(2)设xR,向量a=(x,1),b=(1,-2)，且a±b，贝U|a|=，则当tC一翌,2时，|a-tb|的取值范围是.【解析】(1)法一：|e+e2|=由，两边平方，得e2+2e1e2+e2=3,又e，e2是单位向量，所以2e1e2=1,所以|e1e2|2=e22e1e2+e2=1,所以|e一e2|=1.法二：如图，设扇=e，品=e2,又e，e2是单位向量，所以|扁|=|品|=1,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD,所以AC=e+e2,DB=e一e2,因为|e+e2|=娘,即|

14、AC|=3,所以ZABC=120°,则ZDAB=60°,所以|DB|=1,即|ei&|=1.(2)向量a=(x,1),b=(1,2),且a±b,所以x-2=0,解得x=2,所以E=、/22+12='5.|a-tb|2=a2+t2b22tab=5t2+5,所以当t=0时，取得最小值为5;当t=2时，最大值为25.即|atb|的取值范围是豪，5.【答案】(1)1寸5寸5,5拨求向量的模或其范围的方法(1) 定义法：|a|=症=福,|aib|=V(a±b)2=寸a2±2ab+b2(2) 坐标法：设a=(x,y),则|a|=寸x2+y2

15、.(3) 几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解.提醒(1)求形如ma+nb的向量的模，可通过平方，转化为数量的运算.(2)用定义法和坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合的思想，常用三角不等式进行最值的求解.角度三两平面向量垂直问题画口已知向量aB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=疝+AC,且AP±BC,则实数入的值为.【解析】因为AP±BC,所以APBC=0.一rrr又AP=?AB+AC,BC=ACAB,.rrr

16、r所以(?AB+AC)(ACAB)=0,即(入-i)aCaB-扁2+aC2=0,所以(入1)|AC|AB|cos120°-9X+4=0.，17所以(入1)X3X2X29片4=0.解得出12.【答案】两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：a±b?ab=0?|a-b|=|a+b|.注意若a=0,虽然有ab=0,但不能说a±b.署法全嫁1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(扼，寸2),则|a+2b|=()A.2匝B.2氓C.而D.何解析：选C.因为ab=(g,寸2),所以|ab|=y5,所以|ab|2=|a|2-2ab+|b|2=52ab=5,则

17、ab=0,所以|a+2b|2=|a|2+4ab+4|b|2=17,所以|a+2b|=屈.故选C.2.已知在四边形ABCD中，aB+CD=0,(ABAD)aC=0,则四边形ABCD是()A. 矩形B.正方形C.菱形D.梯形解析：选c.因为AB+CD=0,所以Ab=-CD=DC,所以四边形abcd是平行四边一rrrrr一.一一形.又(AB-AD)AC=DBAC=0,所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形.3.(一题多解)已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2bE=BC,设向量Al,BD的夹角为。，贝Ucos0=.解析：法一：因为2Bl=bC,所以E为BC的中点.设正方形的边长为

18、2，则|Al|=诉,1111、.2|BD|=2p2,AEBD=AB+2AD(ADAB)=2|AD|2|AB|2+ADAB=2X22-22=2,所以cos0=AEBD|AE|BD|法二：因为2BE=BC,所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则点A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(2,1),所以AE=(2,1),BD=(2,2),所以AEBD=2X(-2)+1X2=2,-2皿AEBD-2yfOCOS0=、,=产JAQ.|aE|bD|格x2也10答案:考点三向量数量积的综合应用(综合型)复习,进一步转化为比日I解决此类问题的关键是把向量关系转化为向量

19、数量积的有关运算实数运算，进而利用相关知识求解.例回(2020广州海珠区摸底)在左ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m3=(cos(AB),sin(AB),n=(cosB,sinB)，且mn=w5(1)求sinA的值；若a=4也,b=5,求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影.3【解】(1)由mn=5_3碍cos(AB)cosBsin(AB)sinB=匚,5一，3一、，所以sinA=.1cos2A=所以cosA=-5.因为0<AS,45.5x4(2)由正弦定理7=,得sinB=bsinA=雪,因为a>b,所以A>B,贝UBsinAsinBa4,2223.一j

20、,由余弦7E理碍(4寸2)=52+c22X5cx5,解碍c=1.故向量BA在BC方向上的投影为2_2|BA|cosB=ccosB=1x?=2.IS点平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.(2020石家庄模拟)已知A,B,C分别为ABC的三边a,b,c所对的角，向量A,sinB),n=(cosB,cosA),且mn=sin2C.(1) 求角C的大小；,r

21、ry-L,.,-(2) 若sinA,sinC,sinB成等差数列，且CA(ABAC)=18,求边c的长.解：(1)由已知得mn=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),m=(sin因为A+B+C=兀所以sin(A+B)=sin(C)=sinC,所以mn=sinC,又mn=sin2C,，1所以sin2C=sinC,所以cosC=,丸又0vCv所以C=.3(2)由已知及正弦定理得2c=a+b.一，rrrrr因为CA(ABAC)=CACB=18,所以abcosC=18,所以ab=36.由余弦定理得c=a+b?2abcosC=(a+b)?3ab,所以c2=4c23X36,所以c2=36,

22、所以c=6.演练T基础题组练1.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b±c,则实数k的值等于()A.B.C.D.解析：选A.c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),因为b±c,所以bc=0,bc.3=(1,1)(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0,所以k=一,2.(2020湖南省五市十校联考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a(a2b)=0,则|a+b|=()C.2解析：选A.由题意知，a(a2b)=a22ab=12ab=0,所以2ab=1,所以|a+b|=a2+2ab+b2=1+1+4=舵故选A.3.(2020广州市

23、综合检测(一)a,b为平面向量,已知a=(2,4),a-2b=(0,8),则a,b夹角的余弦值等于()解析：选B.设b=(x,y),则有a2b=(2,4)-(2x,2y)=(2-2x,4-2y)=(0,8),22x=0所以，解得42y=8；二2故b=(1'2)'|b|=吏|a|=2脸cos<ab=滞厂753，有，故选B.4.已知向量|OA|=3,|C)B|=2,OC=mOA+nOB,若OA与OB的夹角为60°,且OC±AB,则实数m的值为()C.6解析：选A.因为向量|OA|=3,|oB|=2,oC=mOA+nOB,OA与OB夹角为60°,所

24、以OAOB=3X2Xcos60=3,所以ABOC=(<5b-OA)(mOA+nOB)=(mn)OAOBm|OA|2+n|OB|2=3(mn)9m+4n=6m+n=0,所以打=g>A.5. （多选）已知ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,OA+AB+AC=0,且|OA|=|AB|,下列结论正确的是（）a.CA在CB方向上的投影长为一小B. OAAB=OAACC. cA在CB方向上的投影长为寸3D.OBAB=OCAC解析：选BCD.由OA+AB+AC=0得Ob=-AC=CA，所以四边形OBAC为平行四边一-，、一,，一一.rrrr一.，一一形.又O为ABC外接圆的圆心，所以|OB|=|

25、OA|,又|OA|=|AB|,所以OAB为正三角形.因为乙ABC的外接圆半径为2,所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以ZACB=£所以CA6在cb上的投影为|CA|cos6匚2x乎=寸3,故c正确.因为OAAB=oAAC=2,OBAB=rr，OCAC=2,故B,D正确.6. 设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2ab平行，那么a与b的数量积等于.解析：a+2b=(1+2m,4),2ab=(2m,3),由题意得3(1+2m)4(2m)一.115=0,贝Um=一所以ab=1X+2X1=5.,5答案：2一.一一r一r.r一.、一,，、一7. 已知点M,N满足|MC

26、|=|NC|=3,且|CM+CN|=2寸5,贝UM,N两点间的距离为解析：依题意，得|cMi+CN|2=|CMi|2+|CN|2+2CMCN=18+2CM1CN=20,则CMCn=，-.、rrr1, 故M,N两点间的距离为|MN|=|CNCM|=：|cN|2+|cM|2-2CNCM=9+9-2=4.答案：48. (2020山东师大附中二模改编)已知向量a,b,其中|a|=寸3,|b|=2,且(ab)±a,则向量a和b的夹角是,a(a+b)=.解析：由题意，设向量a,b的夹角为0,因为|a|=寸3,|b|=2,且(ab)±a,所以(a-b)a=|a|2ab=|a|2|a|b|

27、cos0=32寸3cos0=0,解得cos0=乎.又因为0<0<务所以0=6.则a(a+b)=|a|2+|a|b|cos0=3+2吸x平=6.答案：f669. 已知向量a=(2,-1),b=(1,x).(1) 若aJ_(a+b),求|b|的值；若a+2b=(4,7),求向量a与b夹角的大小.解：(1)由题意得a+b=(3,1+x).由a±(a+b),可得6+1x=0,解得x=7,即b=(1,7),所以|b|=何=5董.(2) 由题意得,a+2b=(4,2x-1)=(4,-7),故x=3,所以b=(1,3),心ab(2，1),(L3)也所以cosa,b='_广r=o

28、,|a|b|寸5x寸102因为a,b>C0,Tt所以a与b夹角是4.10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1) 求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足(ABtOC)OC=0,求t的值.解：(1)由题设知AB=(3,5),AC=(1,1),则AB+AC=(2,6),ABAC=(4,4).所以|AB+aC|=2而，ABaC|=4戒.故所求的两条对角线的长分别为4戒，2寸布.(2)法一：由题设知：OC=(2，D,ABtOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)OC=0,得：(3+2t,5+t)(2,1)=0

29、,从而5t=11,-11所以t=?.5法二：ABOC=tOC2,Ab=(3,5),ABOC11t二一M|OC|2综合题组练一.r.1.(2020安徽五校联盟第二次质检)已知O是ABC内部一点，且满足OA+OB+OC=0,又aBaC=2寸3,ZBAC=60°,则OBC的面积为()3A.B.3C.1D.21解析：选C.由ABAC=2寸3,ZBAC=60,可得ABAC=|AB|AC|cosZBAC=2|AB|AC|=2寸3,所以|扇|低|=4寸3,所以Szabc=；|AB|AC|sinZBAC=3,又OA+OB+OC=0,所以1O为ABC的重心，所以Szobc=Saabc=1,故选C.32

30、. (2020郑州市第二次质量预测)在RtABC中，ZC=90°,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上，则CPBP的最小值为().1A,2B.0C.4D.-1解析：选A.依题意，以C为坐标原点，分别以AC,BC所在的直线为x,y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，贝UB(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=x+2,因，,，一，,.rr为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t,2-1)(0<tv2),所以CP=(t,2t),BP=(t,rrCc1211.rr一一一.1-t),所以CPBP=t2-t(2t)=2t2-2t=2t-2，当t=2时，CPBP取得最小值一

31、2故3. 设xR,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a±b,则|a|=，则当t一寸3,2时，|a-tb|的取值范围是.解析：向量a=(x,1),b=(1,2),且aXb,所以x2=0,解得x=2,所以忸|=寸22+12='5|a-tb|2=a2+t2b22tab=5t2+5,所以当t=0时，取得最小值为5;当t=2时，取得最大值为25.即|atb|的取值范围是寸5,5.答案：.'55,5,一，rr4. 在边长为2的菱形ABCD中，已知ZBAD=60,E为线段CD上的任意一点，则AEBD的最大值为;向量AE的模的取值范围是.解析：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系由ZBAD=60°,|AB|=2,可知ABD为正三角形，|AO|=寸3,|DO|=1,所以点A(-寸3,0),C(V3,0),D(0,1),B(0,1),AC=(2也，0),AD=点,1).因为D,E,C三点共线，所以Ae=xA