线性代数：第5章 相似矩阵.docx

1、第五章相似矩阵1特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。定义1：设人为阶方阵，如果存在数人和维非0列向量X,满足：AX=AX则称人是方阵A的特征值(也称为特征根)，X是方阵A的属于特征值4的特征向量。例如矩阵A=(000AX2=()X2,所以1,0是A的特征值，天,乂2是分别属于特征值1和0的特征向量。(1)式又可以写成(4E4)X=0。即特征向量是齐次线性方程组(2)的非零解，从而有|2E-A|=0(3)。(3)称为方阵A的特征方程，求解方程(3)即得矩阵A的特征值。|人-4|称为方阵A的特征多项式。对求出的

2、特征值扁，代入方程组(2)求解即得属于的特征向量。例1：己知方阵A满足A2=E,证明：A的特征值只能为1或-1。证明：设人是A的任一特征值，则有非零向量X,使得AX=AXo两边左乘以A,有A2X=A(AA)=A(AX)=A2Xo又A2=E,所以(/2_i)x=()。由于X/0,从而22=1,即人=1。-110、例2：求矩阵A=-430的特征值与特征向量。解：因|4EA|=4+14-1-12-3000A-2=(人_2)(2_1)2。所以矩阵A的特征值4=2或人=1。证明：=1时，命题成立。设-1时命题成立。即对(-1)阶实对称矩阵A有(-1)正交矩阵0,使得laJ下面证明在时命题也成立。由性质1

3、,实对称矩阵人一定存在实的特征值取g是属于九的单位特征向量，将X|扩充成/?的标准正交基XX2,记Q=(X|,.,X)，则E=Q，Q=GT(X|,.,X“)=(QX|,.,QX),从而必人9=必(心.,心)=0。豚,.,世心)=:x。0)由A对称，可得对称。从而Q；AQ=o4仍为(-1)阶对称矩4、阵。由归纳假设存在正交矩阵0,使得0A0=。令,10)F、Q=Q，贝Q正交，且QfAQ=0&J实际计算中，对每个不同的特征值，求出它们线性无关的特征向量，再进行施密特正交化得到正交向量组。合并这些单位化了的正交向量组可构成的标准正交基，把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为Q,则有F、QfAQ=o

4、IaJ400、例6：设A=031,求一正交矩阵P,使得PAP为对角形。、013)解：AE-A=解：AE-A=A-40002-3-10-12-3=(人一4)2(42),特征值为4=2,久=4（二重根）当2=2时,r-200、100、，0、0-1-1011，功=-1次T-U、（）00；o单位化得艮=当2=4时,&3=(1,0,0)。000、1-1、0、T01-1000，%=I，%=0J)TJ)00)。它为正交向量组,单位化得人=0味，冗，取户=（*,”2，四），则P正交，且有PAP=例7：己知三阶实对称矩阵A有两特征值W=1，冬=2（二重根），属于&=1的特征向量为X|=（l,l,0）,求A。解：

5、由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，设属于久=2的特征向量为X?=（用,工2，工3），则正交，即工+易=0。该齐次线性方程组对应的基础解系为：1)1，2=01-10、取阵110,则PlAP=200k2,A=P2Px=-0222】)0022.习题五3.设人是A的特征值，证明:1)是人2的特征值，万(j为正整数)是4的特征值;1.求下列矩阵的特征值和特征向量:Q23、001、310、1-r;2)213；3)010;4)-4-1024/036；J。)4-8-2；1)并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。巳知方阵人满足-3A+2E=0,求人的所有可能的特征值。2)3)如果A可逆,则尸是AT的特征

6、值。设/(2)是2多项式，则f以)是/(A)的特征值;(A(B相似。q42、7.计算A。其中A=0-3443,设A与8相似，C与。相似。证明6.4.设X,和X?是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明X+X2不是A的特征向量。5.如果方阵A可逆，证明矩阵42和曲相似。2)A=-111333222_2i1-1k33I32)11.设A,B为正交矩阵，证明:1) 4一|与4为正交矩阵；为正交矩阵。I时12.在配中，求一单位向量a与向量(1,1,-1,1),(1,-1,-1,1),(2,1,1,3)正交。13.求正交矩阵Q,使得Q一项。为对角形：p11).22-2、1)A=111；2)A=25-4o1

7、11-2-45/14.设3阶方阵A的特征值为1,2,3；对应的特征向量为|=(0,1,0),亿=(1,1,0)，彷=(0,0,1)。求矩阵A。15.设3阶实对称矩阵人的特征值为6和3(二重根)。属于6的特征向量为3=(1,1,1)，求A及|人33我|。提高题ra-1c、1.设矩阵A=583,舛=一1，人有特征值扁，属于的一个特(1c0a,征向量为。=(一1,-1,1)。求ci,b,c和阿的值。2. 己知3阶矩阵A与3维列向量X,且向量组X,AX,4x线性无关，且满足AX=3AX-2A2Xo1) 记P=(X,人X,A?x),求3阶矩阵B,使得A=PBP，2) 计算行列式|A+|o设A是阶方阵，记

8、/(A)=|2-=V+,不儿是/(人)的个根(重根按重数计算)。证明：1) %。烦=4=一S称为方阵A的迹，记为(A)；2) %=(-1)|人|=(-1)*,。3. 设A=(q,为非零实数，B=AfA,求可逆矩阵P,使得PBP为对角阵。4. 证明上三角正交矩阵必为对角阵。5. 是正交矩阵，且舛+|B|=0。证明A+B不可逆。当2=2时,3-10、qoo0、4-10010，外=0厂100J故属于2=2的特征向量为饥。0)。当2=1时，-10、qo1、-1)4-20012，=-20。，故属于人=1的特征向量为妇?2(知#0)。2相似矩阵定义2：若阶方阵A和存在一个可逆矩阵P,使得PlAP=Bo则称

9、矩阵A与B相似，记为人B。对于相似矩阵，有下列性质：1) 任一方阵A,它与自身相似；2) 若A与8相似，则8与A相似；3) 若A与8相似，B与C相似，则A与C相似；4) A与8相似,则AE-A=AE-B.证明：只证4),因A与8相似，存在可逆矩阵P,使得P-AP=B从而IAE-BHP-以EP-PAP|=|P(2E-A)P=|pTIIIE-AHPH如果方阵A相似与对角形矩阵，则称A可以对角化。并非每个方阵均可以对角化，例如矩阵人=,对任何2阶可逆矩阵P,PAP均不能为对角形looj矩阵。下面给出一般方阵A相似对角形的条件。若A相似对角形，则有可逆矩阵P,使得PlAP=.(4)o记P=(X,X)，

10、由(4)式可得A(X|,.,X“)=(X|,.,X)IaJ即从而AX,=4.Xj(i=1,2,)。由定义知4为A的特征值，由F可逆知X,为非零向量，且X|,X2，.,X线性无关。所以它是属于人的特征向量。以上过程可逆，故存在下面定理。定理1：阶方阵A可以对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量。该定理给出r矩阵相似对角形的充分必要条件，但如何找出个线性无关的特征向量，则需要下列一些结果。定理2：方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设X、,X,是分别属于不同特征值，人的特征向量，当s=l时,命题成立。设当s=k时命题成立，则当s=k+l时，设有/占+.+皿+/心=0.(5)(5

11、) 式乘以2,+1,有+.+如/人+At+L+iX奸=。(6)再对(5)式两边左乘以A,有4片+.+人/8+九妃占山=()(6) -(7)得4(如一&)Xi+,+4(S一，)x*=oo由归纳假设，X|,X，线性无关。从而43心4)=0(1=1,2,，幻。由于壬4,所以4=0(1=1,2,/),代入(5)式，得心=0。即X|,.,Xz线性无关，故s=k+l命题成立。从而定理得证。推论1：阶方阵A有个不同的特征值，则A一定可以对角化。实际计算中，先求出阶方阵A的全部特征值，再找出属于每个特征值的特征向量的极大线性无关组。可以证明所有这些线性无关向量组所构成的“大”向量组仍然线性无关。若这个“大”向

12、量组中向量个数等于，则A可以对角化，解：1)AE-A=解：1)AE-A=-1A-2-1-10A-3=a+i)(z-2)2o特征值为W=T，=2（二重根）。P-1-1)。0-1、T0-30T010，71=0、4-1-4J000；=一1时,当当Z=2时,1-1CI0-1一1、4444000000，2=1，“3=0、4-1-1；000011J/所以A相似于对角形。取P=S，%，3），则有7时=(2)AE-AA-10002-10=（人一V，若向量个数小于，则A不能对角化。例3：判别下列矩阵是否可以对角化“-21r。00、1)A=020；2)A=011L13,()(特征值为人=1（三重根）。当2=1时,

13、000、ro01、00-1000，7|=0，2=1000,故A不能对角化。r2-12、例4：已知X=1是矩阵4=5a31b的一个特征向量。1）求。力和X对应的特征值人。2）问A能否相似对角形。解：1）因X是A的属于特征值人的特征向量，则有-12、(1T5a31=A.1b4=1,=3,/?=0o(2/I)12=05+(。-人)-3=0解得1+/?+(2+人)0104+2=(4+1)3,所以特征值人=-1（三重根）。又-31-2、q0r-5-2-3T01-iJ00基础解系中仅含一个线性无关的向量，故A不能对角化。3向量的内积本节讨论的维向量，其分量均在实数范围内。本节的主要结果是把几何空间R2,R

14、，中的度量性质推广到维向量空间R”ho一、内积定义R的子空间笠中,设有向量a=（为,工2,），月，V,）。称工必+.+兀皿=初（。,尸取列向量时为。力）为向量a与的内积，记为（a定义了内积的实线性空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间。易知，这里的内积是几何空间广，A，中向量数量积的一个推广，容易验证欧氏空间V中的向量内积有如下性质：1) (a、/3)=(3,a)：2) (ka,/3)=k(3,a)(kcR)；3) (a+夕,/)=(a,/)+(/?,)；4) VaGV,(a,)0,等号当且仅当。=0时成立。定理3：欧式空间V中的任意维向量a,3,有(a、0Vj(a,a)(f3,(3)(柯西(C

15、auchy,法，1789-1857)不等式)。证明：取/=a+VreT?,由性质4),则有(/,/)0(5)oi) 若(3=0,不等式显然成立。ii) 若/?。0,(5)式化简为00)+20,月)，+(/?,0)户20。左边是一个关于/的实二次多项式，它非负的充分必要条件是：2(a,/?)2-4x(aq)(,/7)0,即()y()(6)o从而定理得证。对于欧氏空间R”把(6)式具体写出来，其结果是历史上一个著名的不等式:(X|V|+，j+X,)2+兀：)()-717T17TO/r11顽17628，则W为解空间的标准正交基。三、正交矩阵阶实方阵A,如果满足AA=E,称A为正交矩阵。mef)qin

16、f)例如单位矩阵万和人=八八均为正交矩阵。p-sin。cos们正交矩阵有下列性质：1) 正交矩阵A可逆，逆矩阵仍是正交矩阵，且A-i=A；2) 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；3) 正交矩阵A的转置4仍是正交矩阵，且有舛=1；(o4) 设是正交矩阵，则为正交矩阵。k0)以上性质直接验证即可。定理5：正交矩阵的行(列)向量组构成R的一个标准正交基。反之亦真,即：的任一标准正交基按行(列)的形式可构成正交矩阵。证明：由正交矩阵的定义及标准正交基的定义可直接验证。读者自己练习。4实对称矩阵的对角化上一节提到，并非每个方阵均可以对角化，这一节介绍一类能对角化的矩阵实对称矩阵。记X表示向量X中每个分量取其共轴复数所构成的向量，A为矩阵A中每个元素取其共轴复数所构成的矩阵，容易验证应=7京。性质2：实对称矩阵A的特征值为实数。证明：因A是实对称矩阵，所以耳=4人=人。设人是A的特征值，则有向量X*），使得AX=AX,从而4X=2Xo考虑xAX,一方面X，AX=X，AX=A（X）另一方