线性代数：第2章 矩阵.docx

1、第二章矩阵矩阵是数学中的一个重要基本概念，它是研究线性代数的基本工具，在数学的其他分支以及相关专业的理论及实践中也都有着重要的应用。本章主要介绍矩阵的运算、秩与初等变换。§1矩阵的概念在上一章的克莱姆法则中，元线性方程组的解七=4由系数构成的行列'D式可以确定，利用数表%a2anba2a22a2n”2编ann如及行列式的概念很容易写出解。同样在很多实际问题中，利用数表形式可用来简化问题并进行讨论，下面给出矩阵的定义。定义1："?x个数=l,2,.-n）（通常也称为元素）排列成卜冽形式的数表：“12ana2a22<aman,2anm）称为以矩阵（Matrix）,

2、通常记为（"n或（）,亦可记为Ag或A等大写英文字母。元素为实（复）数的矩阵称为实（复）矩阵，元素全为0的矩阵称为零矩阵，记为0或OJX0当2=时，称矩阵为（阶）方阵,特别地m=n=l,也记（%）=%1。阶方阵按其形状依次称为上三角矩阵，下三角矩阵和对角形矩阵。&。12。0.0、0.0、09%.090。22.00"C<00叽再给出证明。(0.0"0A,0一般地，对于分块对角阵4=-,有|4|=|耳|总|.|41。°°如果每个小方阵A,可逆，则有X、A-*=&.o<§5矩阵的秩与初等变换秩是矩阵的一个重要特征

3、量，应用非常广泛。矩阵的初等变换是讨论矩阵及其性质的最基本方法。一、秩(Rank)在矩阵A中，任意取定R行和k列，位于交叉点处的炉个元素按原来的位置构成的&阶行列式称为A的k阶子式。定义9：如果矩阵A中存在某一，阶子式不等于0,所有高于厂阶子式全为0,则称矩阵A的秩为r,记为秩(A)或R(A),r(A)。2。22例如0000ar%arr00Cini(q淫0j=1,2,.,r)的秩为,。00#0,任一高于r的子式中至少一行元“11a2因为有一，阶子式°00素全为0,从而高于尸的子式为0。一般地，小矩阵按上述定义方法来求秩非常麻烦。下面介绍的矩阵的初等变换可以解决该问题。二、初等

4、变换定义10：下列变换称为矩阵的初等变换：1）交换矩阵第，行（列）与第，行（列）元素（记为，;。，:或弓0勺）；2）把矩阵的第，行（列）每一元素乘以非零数k（记为如;或S）；3）把矩阵第/行（列）元素的R倍加到第，行（列）对应的元素上（记为i+给.或q+kcj）o上述三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类初等变换，变换前后的矩阵之间用“”连接，所做变换写在“T”的上方或下方。例如23<231)（231)31123今一3为12312J12；lo-5-7Z213性质1：初等变换不改变矩阵的秩。只要证明每经过一次初等变换，变换前后的矩阵秩不变即可。读者自行练习。下列形式的矩阵称为阶梯形矩

5、阵：-10340、3532、227-2000.H-90:2：00020000000阶梯形矩阵的特征是沿虚线看像一个倒置的阶梯，阶梯下部元素全为0；阶梯的“高度”（行数）只能为一行，“宽度”（列数）为正整数。为了后面叙述方便，把方框内的元素称为阶梯的“角”，“角”上元素不能为零。如果阶梯形中“角”上元素为1,“角”所在列的其他元素为0,则称该阶梯形为简化阶梯形。定理2：任一非零矩阵A一定可以经过一系列的初等行变换化为阶梯形；进而化为简化阶梯形。证明：设人=（%）,“，分三种情形来讨论:1）若。口。0,则做初等变换-冬*，4-冬把第1列的其他元素化为0,变成形式*'x,A为（所-1）x（-

6、1）矩阵;1°）2）若=0,m某一。"0,则作初等变换4。/;,可变为1）的情形;3) 若前A列元素全为0,3ak+j0,作变换*如，再按1)进行变换为©.0财*、*oo4/©.0财*、*oo4/,A为(2-S1)x(-1)矩阵。对于A继续按上面方法进行处理，最后即得阶梯形矩阵。推论L任一非0矩阵一定可以经过一系列初等变换化为Er0、，其中，=秩(A)。事实上，对简化阶梯形再进行初等列变换即可得上述形式。上述形式称为矩阵的标准形。例8讨论矩阵并把它化成简化阶梯形。解:当心0>-120-1200、01q1111、qi111、q0-1-1-2、At0-

7、1-2-2a-30i22301223<01223)、o000000叽易知，同阶矩如果矩阵A经过一系列初等变换化为矩阵称A与B等价。阵A与8等价，当且仅当秩(A)二秩(B)，从而它们有相同的标准形。<10-1-I-2、1)当。=0时，秩为2,简化阶梯形为01223<00000>2)当6/()时，秩为3,简化阶梯形上面已给出。三、初等矩阵定义11：单位矩阵E经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。记E一印,八,EEEH.j(k)；_.：kc.c；+kc：则E印,jl，EEi(k),E一EjJ(k)o由定义容易得到下列性质：1）初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。其中Ei

8、J=EiJ,矿以）=印（广）,E"i,j（k）=EiJ（-k）o2）初等矩阵左（右）乘矩阵A相当于对A进行相应的行（列）的初等变换,反之亦成立。有了初等矩阵，前面提到的初等变换前后矩阵之间可用等式连接起来。例9：设三阶方阵A满足：J01、。10、123、010100=231,求01J<001,。12；q23、解：题中等式即El,3AE1,2=231。12,<123、即A=E'1,3(1)J231。12，<123、=£1,3(-1)231£1,2012,"-211、<1-11)231£1,2=321o312,J32

9、,由初等矩阵的性质，还可以将本章的定理2及推论1写成下述形式：定理2,对任一非零矩阵4,一定存在初等矩阵出,，使得乙人为阶梯形矩阵（或简化阶梯形）。推论1'：对任一非零矩阵A,一定存在初等矩阵R和已,。，使得（Er0）".叫。°记e=e.-e,，则户、。均为可逆阵。因此推论r又可改写成（E0、“对任一非。矩阵A,一定存在可逆矩阵F、Q，使得PAQ=r二四、初等变换求逆当A为可逆矩阵时，(2)式又可写成PxPSAQ'''Qt=E=>Q-''QP'''PS=E,即AT=0。又=a-,£=a-

10、,o故令b=(ae)9则有Q.Qg.R(A|E)=(E|A").(3)式表明对矩阵(A|E)经过一系列的初等行变换把A化为单位矩阵时，这些变换也就同时把A右边的矩阵E化为H这种求逆方法称为初等变换求逆法。12例10：求矩阵人=233、1的逆阵。V3、1的逆阵。V123解：（A|E）=2310120102-1-53-5-7100、-210-3010-1（°°18()000;5171818180:J2518181818:7-5100。1007-515J_2_181818175181818751181818习题二1)（也易沔）01a2a2。22。13。23工29皿%33

11、>2)已知A=1010；求A2.A、1'311、<11-r2.设1)A=212,B=2-101k23)01.计算,求AB-BA.A4o3.3.设A=互不相同。证明与A可交换的矩阵只,求AB.(abc、1ac、2)A=cha，B=1bbJ1uJc(X)设A是阶实方阵,且A!A=0。证明A=0o能为对角矩阵。5. 证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。6. 设./*(；1)=。/'+%人+%,定义f(A)=q/T+qA+%E,其中A211、是阶方阵。已知/(A)=22-l,人=312,计算/(A)oJT°,7. 己知方阵A满足A2-A-7E=0o证明

12、A及A+2E可逆，并求它们的逆矩阵。8. 求下列矩阵的逆阵：<211、”23、U3、;2)121；3)1-1021J12,L21,111、<21、11-1-I214)1-11-1；5)21J-1-1<2,<422)9. 已知A=120,且AB=A+2B,求B。技123,设A是阶方阵，如果对任意xl矩阵X均有AX=0。证明A=0o10. 己知4阶方阵人的行列式|A|=5,求|a。11. 设A,B分别为，n,阶可逆方阵，证明分块矩阵可逆，并求逆。SB)(0A12. 设X=,其中A-'L存在，求X_,o求下列矩阵的秩：<224114、32-1-3、-1-1-30

13、2-12-131;2)121113705-1/q12-2-1-b1。aA2=kA(k是一个数)。1。aA2=kA(k是一个数)。/、3) Ibb2屏。1cc2c37提高题1. 秩为，的矩阵可表示为，个秩为1的矩阵之和。2. 设mxn矩阵A的秩为1,证明：W、i) A可表示成：(b、如)；设人是阶方阵，X是xl矩阵1,证明：1）AX的第，个元素等于A的第，行元素之和；2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数。，则人一|的每一行元素之和也相等。3. 证明：1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。4. 己知实三阶方阵A满足：1）灼=岛；

14、2）%3=一1。求仇|。5. 设A=E-a-a,其中a是xl非零矩阵。证明：1）A2=A的充分必要条件是矿。=1；2）当q'q=1时，A是不可逆矩阵。EB设A,B分别是nxm.矩阵，证明w=En-AB=Em-BAoAE8.A,8如上题，人。0。证明En-A=-,nEm-B/.10.0、0|.o阶方阵uu称为(阶)单位矩阵，通常记为旦或,00.1,只有一行的矩阵称为行矩阵，通常记为%)；只有一列的矩阵称为列矩阵。如果两个矩阵A与B的行数、列数以及对应位置上的元素都相同，则称矩阵A与矩阵B相等，记为4=6。§2矩阵的运算一、加(减)法.定义2：设A=(%)mxn,B=(by)mx

15、rt,令勺=气+为,称矩阵C=(c.)mxn为矩阵A与矩阵B的和，记为C=A+B.容易验证下列性质：1) (人+B)+C=A+(B+C)；2) 人+3=3+人；3) 人+0=0+人。矩阵称为矩阵A=(四).“的负矩阵，记为-A。则有性质：4) A+(-A)=()o矩阵的减法定义为：A-B=A+(-B)o二、数与矩阵的乘法定义3：矩阵(饱危称为数k与矩阵A=(%履的乘积(简称为数乘)，记为kA。容易验证下列性质：1) (A:+/)A=M+M；2) k(A+B)=kA+kB；3) k(JA)=(kl)A；4) A=AoRE称为数量矩阵。三、乘法在中学讨论二次曲线的时候，利用坐标变换在中学讨论二次曲

16、线的时候，利用坐标变换该变换由矩阵y="+a22y%2a22决定。如果再作坐标变换Iw匕变换由矩阵决定。结果有x=0吊+a2b2l)x,+(aify2+a2b22)yn累积的两y=(七也i+2如)*+(%如+%2奶2)矿次坐标变换由矩阵C=(c;)2x2决定，其中C疽也/+%2奶，它是由48中的元素的某一运算关系所确定。把这种运算关系推广到一般情形，有下面乘法定义。定义4：设A=(%),g，能("网，记勺也(即勺等于A的第i行与*=1A的第顶列对应元素乘积的和)，称为矩阵0与矩阵B的乘积(称为乘法)。记为C=43或人注意：只有A的列数等于B的行数时，乘积AB才有意义。/、.

17、41)(03、例1：A=,B=-11。求ABBA.20k)12Oj,、f6112)5/"IO1)解:AB=,BA-11-3©73*7U06j上例可以看出，矩阵乘法不满足交换律，即一般地，ABBA.但下列运算性质成立(假定运算是可进行的)。1) (AB)C=A(BC)；2) A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+M；3) A(AB)=(AA)B=A(AB)；4) A,”：=EnjAtnxn=Ao定义5：若矩阵43满足AB=BAf称A与A是可交换的。<100、例2：A=010,求与A可交换的矩阵。<01L"11"12解：由AB=BA知，A

18、,B必为同阶方阵，故可设设B=如*22»23，匕33>与A可交换，艮"、a"12+13b】3b2lb22b23=21奶2+奶3如321+61b124-b32b23+b-*4“32+”33°33>匕3力32由矩阵相等的定义知对应位置上的元素相等可得=如3=如=°，故与A可交换的矩阵为h0、0b2204”32/?22>h0、0b2204”32/?22>(4i012，22031,力32为任意数)。W、对于第一章中的线性方程组(3),记A=(«,)_,X=,B=O由。有时候用矩阵的乘法，(3)可写成矩阵乘积形式AX=B

19、.对于上述的坐标变换*=同样也可以写成矩阵乘积形式y)y="+a22y矩阵形式来表示一些对象比较简单。如果A为方阵，可定义阶方阵的幕运算：A°=£,/V=A,A2=AA,.,人3=人*.#。易知，AA1=Ak+lf(*)'=A"。四、转置01。21'定义6：称矩阵知为矩阵a=(%扇的转置矩阵，记为A'或a2n炉。对于转置，有下列性质：1) (4)'=A；2) (A+B)'=A'+8；4)(ABY=B'A!o证明：仅证4)o设A=(%&)”临，B=(&)$“，则AB=(Cjj)mxn，

20、=q.也j。代©(AB)'第i行第j列兀素为“沾；+.+：<>又E中第i行第#列元素为如，4的第&行第，列元素为。八.，所以，ZM，中第，行第，列元素为：£诚,从而(AB)r=BfArojt«i如果矩阵A满足4=A,称人为对称矩阵；若4=-A,称人为反对称矩阵。例3：设A,8为对称矩阵，证明：AB对称的充分必要条件是AB=BA.证明：已知A'=A,B'=B。=»若A3对称，艮P(ABy=ABo又因为(AB)'=B'A'=BA,所以AB=BA.<=)若AB=BA,贝(ABS=B,A：

21、=BA=AB,所以/W对称。注意：由于矩阵乘法的交换律不成立，因此一些在数字运算中具有的公式，在矩阵的运算中只有A与B可交换的时候才能成立，例如：A2-B2=(A+B)(A-B)；(A+时=万+2仙+度。§3矩阵的逆一、方阵的行列式定义7：由"阶方阵A的元素按原来的位置关系构成的行列式称为方阵A的行列式，记为IAI或detAo方阵的行列式有以下性质：1) |A'l=|A|;2) |2A|=2n|A|(n阶)；3) AB=ABO证明：1)即为第一章的性质1。2)由第一章的性质3立得。3)证明从略。二、可逆矩阵定义8：对于阶方阵A,如果存在一个阶方阵3,使得AB=BA=

22、E,则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。如果A可逆，容易推出A的逆矩阵是唯一的。事实上，设鸟,功均为A的逆矩阵，艮|JAB,=B,A=F,AB2=B2A=E。所以乌=鸟已=乌以外)=(£A)为=与。由于逆矩阵存在时，逆是唯一的，所以通常用来表示人的逆矩阵。对于矩阵(1、()1/1-1、'10、()b(1()1是可逆矩阵，其逆。对于矩阵则不存在逆矩阵，这说明非0矩阵未必都是口J逆的。1-n01>K如果A,3是可逆矩阵，则有下列运算性质:1)2)3)4)4)(W=(A')-L根据定义可以直接验证。三、伴随矩阵下面介绍逆矩阵的一种求法。设A是方阵，记九为仇|中元素灼的代

23、数余子%A.句a2Ar24%A.句a2Ar24式，称矩阵A*=为矩阵A的伴随矩阵。可以验证定理1：阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|#()。且当A可逆时,曰片"。证明：因为/W=A'A=|A|E(I)n)A可逆，存在矩阵B使得A8=BA=E。故|A|B|=1,从而|人伊()。u)若|A/0,由(1)式，A(At)=(A，)A=EO所以A可逆，且|A|MlA*=|A|由定理1,当A为方阵时，可逆矩阵的定义又可以简写成AB=E或以=E。例4：已知A2+3A+E=0,证明：A+E可逆。证明：由A2+3A+E=O,得G4+E)G4+2E)=E,所以A+E可逆，且(A+E)l=A+2E

24、o例5：求矩阵人“s'血气的逆矩阵。、一sinQcosOJ解：|A|=1,I=cos。，A2=-sin0,=sin,A22=cos0o.(cos9一sin9)A_,=opSin。cos6?;用定理1的方法求逆，称之为伴随矩阵法。一般来说对高阶矩阵，用它来求逆运算量比较大，后面再介绍另外的方法。§4分块矩阵对有些矩阵，有时我们把它分成若干小块，使原来矩阵的结构简单清晰，意义更加明确，便于计算及处理问题。这一节简单介绍分块矩阵的知识，在后面的章节里有更多的应用。将矩阵用若干条纵线和横线分成许多小块(称为子块)，以子块为元素所构成的形式矩阵称为分块矩阵。例如A=，记C=CI1C12