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1、高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1:判断命题是否正确.若Xn<yn(nN)，且序列Xn,yn的极限存在，limXn=A,limyn=B,则A<Bnn:11解答：不正确.在题设下只能保证A<B，不能保证A<B.例如：xn=,yn=，xn<yn，寸n,n'n1而lima=limyn=0.nn口例2.选择题设Xn<Zn<yn，且lim(yn-Xn)=0，则limzn()A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在D.一定不存在答：选项C正确分析：若limxn=limyn=a#0，由夹逼定理可得limzn=a#0

2、，故不选a与D.nnJn.n1.n1.n取xn=(1),yn=(1)*,zn=(1)，则a：znyn，且lim(ynXn0，但limzn不nnfnr存在，所以B选项不正确，因此选C.例3设XnaMyn,且！座ynXn)=0，则Xn与Yn()a.都收敛于ab.都收敛，但不一定收敛于aC.可能收敛，也可能发散D.都发散答：选项A正确.分析：由于Xn<a壬yn,得0<a一壬ynXn，又由lim(ynXn)=0及夹逼定理得lim(axn)=0n_因此，limxn=a，再利用lim(yxn0得limyn=a.所以选项a.nj:n:：nj:二、无界与无穷大无界：设函数f(X)的定义域为D,如果

3、存在正数M,使得f(x)-M-xXD则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M,总存在xX，使f(x1)aM,那么函数f(x)在X上无界.无穷大：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或x大于某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数M(不论它多么大)，总存在正数d(或正数X)，只要x适合不等式0<|xx0|<6(或x>X)，对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)M则称函数f(x)为当XTX0(或XT*)时的无穷大.例4:下列叙述正确的是：如果f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)=ooXXo如果lim

4、f(x)=*，则f(x)在冷某邻域内无界xxo1111解析：举反例说明.以f(x)=sin，令xn=,yn=，当nT±c时，at0,ynt0,xx2nn：2而limf(xj=lim(2-)=-二limf(yn)=0nr：:故f(x)在x=0邻域无界，但xt0时f(x)不是无穷大量，则不正确.由定义，无穷大必无界，故正确.结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大.三、函数极限不存在孝极限是无穷大当xtx0(或xt8)时的无穷大的函数f(x),按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”.但极限不存在并不代表其极限是无穷大.Jx-1x：0，当

5、xt0时f(x)的极限不存在.例5:函数f(x)T0x=0x1x0四、如果limf(x)x；x0=0不能退出limx凶f(x)例6:f(x)0x：有理数x*无理数.一1，则limKx0,但由于在x=0的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在x=0的极限.一、-.1f(x)。0,则limx*f(x)结论：如果limf(x)=0，且f(x)在冷的某一去心邻域内满足x*、一，一一一1，一之，f(x)为无穷大，则为无穷小。f(x)五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等。1例7.求极限lim_ex,ljmex=危，limex=0，

6、因而xt时ex极限不存在。x_.11=0,limex=*，因而xt0时ex极限不存在。x0=六、使用等价无穷小求极限时要注意：(1) 乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。(2) 注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换解：limxeX.1limexX：P例8：求极限lim亦兀或-2X0分析一：若将如成+寸1x2写成(JTEX_1)+(J1x1),再用等价无穷小替换就会导致错误。分析二：用泰勒公式111-(-).1xE1_x=(1x-x2-、.(x2)22!11()(1-1xx2:(x2)-

7、222!122=-x:(x)4122x:(x)原式=xsinx例9：求极限limx_”：xsinx用x等价代换，导致结果为1。解：本题切忌将sinxlimx七、函数连续性的判断sin二=0JI(1)设f(x)在x=Xq间断，g(x)在x=Xq连续，则f(x)士g(x)在x=Xq间断。而f(x)g(x),f(x),f(xx=x0可能连续。i0x=0例10.设f(x)=匕0,g(x)=sinx,则f(x)在x=0间断，g(x)在x=0连续,f(x)g(x)=f(x)sinx=匪x=0连续。1x'0，一2i右以f(x)=wo，f(x)在x=0间断，但f(x)=f(x)=1在x=0均连续。(2

8、)“f(x)在Xo点连续”是"|f(x)在A点连续”的充分不必要条件分析：由“若limf(x)=a,则limfXa”可得“如果limf(x)=f(x0),则X/oXT。x_olimfx；)fxo(”，)因此，f(x)在x。点连续，则f(x)在x。点连续。再由例io可得，f(x)在x。点连续并不能推出f(x)在x0点连续。(3)cp(x)在x=x0连续，f(u)在u=uo=tp(x。)连续，则fW(x)在x=x。连续。其余结论均不一定成立。第二章导数与微分一、函数可导性与连续性的关系可导必连续，连续不一定可导。例11.f(x)=x在x=o连读，在x=o处不可导。二、f(x)与f(x)可

9、导性的关系(1) 设f(xo)#C,f(x)在x=冷连续，则f(x)在x=xo可导是f(x)在x=冷可导的充要条件。(2) 设Hxno,则f'(xo)=o是f(x)在x=xo可导的充要条件。三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论设F(x)=g(x)8(x),(x)在x=a连续，但不可导，又g'(a)存在，则g(a)=o是F(x)在x=a可导的充要条件。分析：若g(a)=o,由定义F(x)-F(a)g(x)(x)-g(a)(a)g(x)-g(a)、，、.，、F(a)=lim=lim方''=lim方'方'(x)=g(a)(a)x-axaxT

10、xaxTxa反之，若F'(a)存在，则必有g(a)=o。用反证法，假设g(a)#o，则由商的求导法则知华以)=旦少g(x)在x=a可导，与假设矛盾。利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。四、在某点存在左右导数时原函数的性质(1)设f(x)在x=xo处存在左、右导数，若相等则f(x)在x=xo处可导；若不等，则f(x)在x=xo连续。(2)如果f(x)在(a,b)内连续，x=(a,b)，且设limj'(x)=limf'(x)=m,则f(x)在xo'xxox=xo处必可导且f'(xo)=m若没有如果f(x)在(a,b)内连续的条件，即设li

11、mf'(x)=limf'(x)=a，则得不到任何结论。xx°x浙_x2x.0例f(x)=xx<0'显然设蚓尸二购一顼但财fx*2limf(x)=0，因此极限limf(x)不存在，从而f(x)在x=0处不连续不可导。第三章微分中值定理与导数的应用一、若limf'(x)=A,(A#0,可以取8),则limf(x)=*x：j二A右limf(x)=A"0，不妨设AA0，则次：>0,x芝X时，f(x)，再由微分中值定理x广：2f(x)=f(X)f()(x-X)(xX,(X,x)A=f(x)_f(X)拱xX)(xX)=limf(x)=二xj二

12、同理，当A<0时，limf(x)=qx若limf'(x)=E,nmXA0,x芝X时，f'(x)>1，再由微分中值定理x-r：:f(x)=f(X)f()(x-X)(xX：=(X,x)=f(x)_f(X)(x-X)(xX)=limf(x)=二x-j二同理可证lim"(x)=q时，必有limf(x)=-°xx_第八章多元函数微分法及其应用8.1多元函数的基本概念1-v>0,芙1,&2>0，使得当xx0Vq,yy0V%且(x,y厅(冷y°)时，有f(x,y)A<&,那么limf(x,y)=A成立了吗？0yJy0

13、成立，与原来的极限差异只是描述动点p(x,y)与定点p0(x0,y0)的接近程度的方法不一样，这里采用的是点的矩形邻域,而不是常用的圆邻域，事实上这两种定义是等价的.2.若上题条件中(x,y)#(x0,y0)的条件略去，函数f(x,y)就在(x。】。)连续吗？为什么？如果(x,y)孝(尚,y°)条件没有，说明f(x0,y°)有定义，并且(x0,y0)包含在该点的任何邻域内，由此对寸耳>0,都有f(x,y)YA,从而A=f(x°y)0,因此我们得到limxy(=A=)f(x°y),挪函数在(x°y0)点连续.XXqyf3.多元函数的极限计算

14、可以用洛必塔法则吗？为什么？不可以，因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理8.2偏导数1-已知f(x+y,ey)=x2y,求f(x,y)人y工y=lnv令x+y=u，e=v那么解出x,y得Sx=u-lnv所以f(u,v)=x2(u,v).y(u,v)=(ulnv)2.lnv或者f(u,v)=(uTnv)2.lny8.3全微分极其应用1. 写出多元函数连续，偏导存在，可微之间的关系偏导数fx，fy连续nZ可微nZ=f(x,y)连续nf(x,y)极限存在偏导数fx，f；连续n偏导数fx，fy存在xy22.判断二元函数f(x,y)=!没可y0(x,y)=(x°,yo)在原点处是否可微.(x

15、,y)=(x°,yo)对于函数f(x,y),先计算两个偏导数：f(：x,0)-f(0,0)fx(0，°)=聊00-0=lim=0x0-xf(0,：y)-f(0,0)0-0cfy(0,0)=lxm0=如。"=。勺f(：x,：y)-f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)：y又limxx)yj；0(."(."jxy=limx；x.2.2ywoII(已x)cy)令Ay=kAx，则上式为lim.x)0k(x)253k.5(1k2)6x因而f(x,y)在原点处可微.8.4多元复合函数的求导法则1.设Z=f(),f可微，求dz.xyxyxy(xy)d

16、(xy)-xyd(xy)dz=f()d()=f()-2xyxyxy(xy)22=f(里)4dxf(旦)«dyxy(xy)2xy(xy)28.5隐函数的求导1.设x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，证明竺.fX.名=_i.:y：zjx对于方程F(x,y,z)=0,如果他满足隐函数条件.例如，具有连续偏导数且Fx#0，则由方程F(x,y,z)=0可以确定函数x=x(y,z),即x是y,z的函数，而y,z是自变量，此时具有偏导数=-:VFx；x,.zrFx'1-F同理，皇_Fz,x；y；z所以一.里.一=-

17、1；zFv.:y:z:x8.6多元函数的极值及其求法1. 设f(x,y)在点p0(x0,y0)处具有偏导数，若fx'(x,y)=0,f(x,y)=0则函数f(x,y)在该点取得极值，命题是否正确？不正确，见多元函数极值存在的充分必要条件.2. 如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。例如，二元函数Z=f(x,y)=3x2+3y2x3,(x2+y2<16)由二元函数极值判别法：z一_2-一-=6x-3x=0,解侍x1=0,x2=2,改=6y=0,解得y=0y故得驻点M1=(0,0),M2=(2,0)-2-2-2.:zz-z一A=66x,B=0,C=6-2-x:xy:yACB2=36(1x)由于ac-b2|(°,°)>0,ac-b2(2,0)YO,以及A(00)>0，所以Mi=(0,0)，是函数的惟一极小值点，但是f(4,0)=16Yf(0,0),故f(0,0)不是f(x,y)在d上的最小值.第十一章无穷级数ii.i常数项级数的概念和性质二12n4nn收敛，这