特征值特征向量的计算_第1页
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文档简介

1、第五讲特征值与特征向量定义设A是n阶矩阵，若有在数Q及非零向量X,使得AX=AX XQ则称A是矩阵A瘫筵国，X是矩阵A属于特征值X的特征向班 计算特征值的方法（1）定义法（2）特征多项齐 盟-4|法特征向量的求法I（1）定义法（2）基础解系法仇一*技=0若 AX=AX,XO化磁二0,即（巫-虫）X=0 XhO 于是/是齐次方程组（砸-丿）孟=0的非零解。 故 AE-A=Q定义设4二为一个n阶矩阵，则行列式称为矩阵A的特乎多项式（Q的n次多项式） 对于n阶矩阵E-A=Q可求出A的特值人（共n个） 对每个恃征值人由 （寻一如=0，求基础解系，即人的线性无关的特征向量。定理I设A是n阶矩阵，兀妇，几

2、是A的特征值，贝J呦二翠二护一+么22 + 介33）护 +311 ai2 占21 a22幺22仪23a32 a33（2）国二m、兔1如2如3几_尙1 _如2a13旬1 22 23 |zi5-4| =a21 2_刎_切361 勺 2 )a31_巧2 a33儿一匕订（）-如（)-时A-2订0巧2 0-勺3(-知_畋2)-畋3AE-A =Or21 2 -咕0-%3(-他1 01。32 _如0 c31 0-d32 乂-巧3第一子列第二子列二仇-易)(4仇-右=护-(/?1 +九+箱)护+ (易嘉+玄恣+ 4召)2-入為血 71 + a22 + “33 + *2 +j -2/3 （$ 若尸（&=1,込恥

3、才- m才二来（2一蝕）M-1丿故A的特征值是R二财，人二急二0一般地，陌n阶矩阵，厂（*）二T逝则固-牛|才茲旷1Xkl L例1设A是n阶矩阵，所有元素都是1,那么A的n个待征值是分析： 阻一厦卜才一加(2)用特征多项式具体地算:1例2求A= 240 03 0的特征值，特征向量。5 6解由特征多项式2-1 0AE-= _2 A-3-4-500 =U-l)U-3)U-6)2 6所以,A的特征值是=3,X=6o 注意:上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵的特征值就是主对角线元素。解 = 1,42 = 3过程略。对入=却由(6-)a=0(接上)500-230-4-507$X = 0T 2忑 +3乃=09:.x= 0是2 = 6的特征向量。歐九=6的特征向量是画空业-2例 3 求 4二 一2 14-4的特征值，特征向量。-2 -4 14解由特征多项式Z-17还川二22Z-1720不要息于展开，要把久变成因子提出来二-17242 10二仇_18)2(2_9)二口一18)(/-272 + 162)-822 2-542-54J1-124|000，故A的特征值是入二易=18,堪二9对兄二9,由（9E 4叶二095- = 0,r(9E A) = 29S-A=0, r(9E A)二 2令 i3 = 2 = x2 = 2 = 1心二2是2=9的特征向禹歹全部的特征向量七內（际= 0）。J2丿对 2

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