高中数学抛物线点差法

1、点差法抛物线中点弦问题中的妙用定理在抛物线y22mx(m0)中,假设直线l与抛物线相交于M、N两点,点P(x0,y0)是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,那么kMNy0m.证实：设M、N两点的坐标分别为(xyj、(x2,y2),那么有2y12y22mx2.(1)(2),得yi22y22m(x1x2).y2y1x2x1(y2yi)2m.又kMNy2x2x1y1,y2y1kMNy.注意：能用这个公式的条件:(1)直线与抛物线有两个不同的交点;(2)直线的斜率存在.同理可证,在抛物线x22my(m0)中,假设直线l与抛物线相交于M、N两点,点P(x0,y0)1是弦MN的中点,弦MN所在

2、的直线l的斜率为kMN,那么x0m.kMN(2)直线的斜率存在,且注意：能用这个公式的条件：(1)直线与抛物线有两个不同的交点;不等于零.典题妙解例1抛物线4x的过焦点的弦的中点的轨迹方程是(A.2_B.y2(x1)c.y2D.2y2x1解:(1,0)在x轴上.设弦的中点M的坐标为(x,y).由kMNym得：一y2,x1整理得:y22(x1).一2所求的轨迹方程为y2(x1).应选b.例2抛物线y2x2上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是(1 1、-11、A.x(y>)B.y(x>)C-y2x(x>1)D.y2x122222 一211斛：由y2x得xy,m一,焦点在y轴上.

3、设平行弦的中点M的坐标为(x,y).24,111由xm得：一x-,kMN241x-.22.1.1在y2x中,当x时,y-.221 1、点M的轨迹万程为x一(y>).2 2故答案选A.例3(03上海)直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是.解：m2,焦点(1,0)在x轴上.设弦MN的中点P的坐标为(x,y),弦MN所在的直线l的斜率为kMN,那么kMN1.由kMNym得：yo2,2xo1.从而xo3.所求的中点坐标是(3,2).例4抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,它和直线yx1相交,所得的弦的中点在22xy5上,求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为y22mx(m0),直线与抛物

4、线的两个交点为M、N,弦MN的中点P的坐标为(xo,yo).由kMNy.m得：yom,xoyo1m1.又点P(m1,m)在圆x2y25上,22(m1)m5.解之得：m2,或m1.yx1,9由,得：x22(m1)x10.y2mx直线与抛物线有两个不同的交点,2.4(m1)4>0.mv2,或m>0.m1.故所求的抛物线方程为y22x.例5.抛物线y212x上永远有关于直线l:y4xm对称的相异两点,求实数m的取值范围解：设抛物线上A、B两点关于直线l对称,且弦AB的中点为p(xo,yo).根据题意,点P在直线l上,ABl,kABAB又y212x,y22mx,m6.1由kAByom/v.

5、y06,y024.4m24又由y°4x0m,得：x0.4点P(x0,y°)在抛物线的开口内,(24)2<12(m24).4解之得：mv216.故实数m的取值范围(,216).例6.(05全国出文22)设A(x1,yJB(x2,y2)两点在抛物线y2x2上,l是AB的垂直平分线.(I)当且仅当xx2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证实你的结论.(n)当x113时,求直线l的方程.111解：(I)x-y,p-,F(0,-).248设线段AB的中点为P(x0,y0),直线l的斜率为k,那么x1x22x0.假设直线l的斜率不存在,当且仅当Xix20时,AB的垂直平分线l为

6、y轴,经过抛物线的焦点F.假设直线l的斜率存在,那么其方程为yk(xx0)y0,kAB由1x0P得：kx0-,X0kAB414k111右直线l经过焦点F,那么得：一kx0y0一y0,y0一,与y00相矛盾.844当直线l的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述,当且仅当XiX20时,直线l经过抛物线的焦点F.八_x1x2y1y2_(n)当1,x23时,A(1,2),B(3,18),%二一21,y0一丝10.,1,口.1由x°p得：k-.kAB41一所求的直线l的方程为y(x1)10,即x4y410.421.直线xy20与抛物线y4x交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是金

7、指点睛22 .直线ykx2与抛物线y8x交于不同的两点P、Q,假设PQ中点的横坐标是2,那么|PQ|=3 .抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线l:y4x1被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为2,那么抛物线C的方程为.4 .设P1P2为抛物线x2y的弦,如果这条弦的垂直平分线l的方程为yx3,求弦pP2所在的直线方程.25 .过点Q(4,1)作抛物线y8x的弦AB,假设弦AB恰被Q平分,那么AB所在的直线方程为.26 .抛物线y2x上有不同的两点A、B关于直线l:yxm对称,求实数m的取值范围.27 .(05全国出理21)设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x

8、上,l是AB的垂直平分线.(I)当且仅当Xx2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证实你的结论.(n)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.28 .(08陕西文理20)抛物线C:y2x,直线ykx2交C于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.(I)证实：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(n)是否存在实数k使NANB0,假设存在,求k的值；假设不存在,请说明理由.参考答案.221.解：y4x,y2mx,m2.直线的斜率为1.由kMNy.m得：y02.代入x0y020求得x04.线段AB的中点坐标是4,2.2.解:28x,y2mx,m4.kx2中,x02时,y

9、2k2,假设PQ中点的纵坐标是y02k2.由kABy0m得：k(2k2)4,即k2解之得：k2或k1.kx8x.2,cc得：k2x24(k2)x直线与抛物线交于不同的两点,k20,_2216(k2)16k0.解之得：k>1且k0.k2.40.即4x10.y2x2,.由.得：4x216xy28x.设P(xi,yi),Q(x2,y2),那么xx24,x1x21.|PQ|.(1k2)(x1x2)24x1x2,5(164)215.223.解：y8x,y2mx,4.由kABy°m得：kAB4.AB所在的直线方程为y4(x4),即4xy150.24.解：设抛物线的方程为y2mx(m>

10、0)在y4x1中,斜率为2时,3弦AB的中点M的坐标为一,2.4由kABy°m得：4(8.一2所求的抛物线的方程为y16x.x21.弦P1P2所在直线的斜率为1.设弦P|P2的中点坐标为2x.,y.由一kX0m得:X0P1P2弦PlP2的中点也在直线3上,y.39.弦P1P2的中点坐标为22,2).弦PiP2所在的直线方程为(Xy20.6.解：设弦AB的中点为Pxo,y.根据题意,AB又x2AB又由y.x0得：1x.x.x0m,得：y.点PJ.在抛物线的开口内,z21.1、(-)<-(-m).424解之得：m>3.8故实数m的取值范围8).7.解:2(I)x设线段AB的中

11、点为Px.,y.,直线l的斜率为k,那么x1x22x0.假设直线l的斜率不存在,当且仅当xx2.时,AB的垂直平分线l为y轴,经过抛物线的焦点F.假设直线l的斜率存在,那么其方程为yk(xx.)y.,kAB,1,口11由x0m得：kx.一,x0一1一,与y.相矛盾.4kAB44k假设直线l经过焦点F,那么得：kx0y0y0,y084当直线l的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述,当且仅当x1x2.时,直线l经过抛物线的焦点F.(n)当k2时,由(i)知,X0它在y轴上的截距b直线AB的方程为y代入y2x2并整理得:y.y.1,直线l的方程为y2x8b-.4y02(xX.)y.,即b

12、E164x20.直线AB与抛物线有两个不同交点,5116(2b-)>0,即32b9>0.8b>.32故l在y轴上的截距的取值范围是(二,32).211,一,、8.(I)证实：x-y,mp-,设点M的坐标为(x0,y0).24当k0时,点M在y轴上,点N与原点O重合,抛物线在点N处的切线为x轴,与AB平彳T.,一,1当k.时,由kABx0p得:Xo2yN2x0幺.得点8N的坐标为(:k2).设抛物线C在点N处的切线方程为yk2m(x4)代入y一2一2x,得:2x2m(xk2整理得:c22xmxkmk28(2kmk2m2km22k(mk)mk,即抛物线c在点N处的切线的斜率等于直线故抛物线C在点N处的切线与AB平行.(n)解：假设NANB0,那么NANB,即ANB|AB|2|AM|2|BM|2|MN|.MCNxk.m(x)4k20,yokx