高阶线性微分方程常用解法简介

1、摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常用方法如。关键词：高阶线性微分方程求解方法在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.dnXdn1xdx讨论如下n阶线性微分方程：-+31(t)后+an_L(t)一+an(t)x=f(t)dt出dt(1),其中at)(i=1,2,3,，n)及f(t)都是区间aEtEb上的连续函数，如果dnn1xdxdxf(t)三

2、0,则力柱(1)艾力-7V+ai(t)-y+an(t)二十an(t)x=0(2),出出出称为n阶齐次线性微分方程，而称一般方程(1)为n阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性微分方程.1 .欧拉待定指数函数法此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如nn1dxdxdxLx三r+a1rz+an一+anx=0,(3)其中a1但an为常数，称为ndtdtdt阶常系数齐次线性微分方程。dtndn4e4de，,aiy仁不漫F(')二('na1'n"anJ-nJan)e'F(')e

3、t其中F(九)三儿n+a1V+an二九n+an=0(4)是上的n次多项式.为特征方程，它的根为特征根.1.1 特征根是单根的情形设入1J0，4是特征方程f(九)三九n+ai九n+an5+an=0的n个彼止匕不相等的根，则应相应地方程(3)有如下n个解：ee”，e%(5)我们指出这n个解在区间a<t£b上线性无关，从而组成方程的基本解组.如果(i=1,2,，n)均为实数，则(5)是方程(3)的n个线性无关的实值解，而方程(3)的通解可表示为x=Ge.t+626')+0”其中c,c2,，0n为任意常数.如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共腕的出现.设儿=

4、0（+iP是一特征根，则入2=口-田也是特征根，因而于这对共腕复根对应的，方程（3）有两个复值解e（o+Rt=e&（cos0十isin°）,e（u邛t=e0t（cos°-isin'）.对应于特征方程的一对共腕复根儿="土iP,我们可求得方程（3）的两个实值解etc0sletsin'.1.2 特征根有重根的情形设特征方程有k重根九=%，则易知知F（1）=F1（1）=F（kJ）（-1）=0,F的（J=0.1.2.1 先设%=0,即特征方程有因子九k,于是an=an="*=an书=0,也就是特征根方程的形状为人n+a/n，+an，J=0

5、.而对应的方程（3）变为,n,n1.k雪+为T+anX=0，易见它有k个解1,t,t2,tk,且线性无关.出dtdt特征方程的k重零根就对应于方程（3）的k个线性无关解1,t,t2,tk.1.2.2 当k1重根飞#0,对应于特征方程（4）的K重根%，方程（3）有k1个解e2teVt处.徇样假设特征方程（4）的其他根七%，%的重数依次为k2k3km;ki之1,且k+笈+km=n,%#,力（当i#j）,对应方程（3）的解有e'tteNfe”，tk2,e®.e",te叫t2e",，心e'mt。上述解够成（3）的基本解组.1.2.3 特征方程有复根九=a+

6、iP,且为k重特征根。则（3）有2k个实解e骁cos,teacos,t2eacos',，tk'e”cos口,e0tsin',te"sin,t2easin"L,tkeatsin.要点是把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题。下面介绍两个例子.例1.求万程y3y+9y+13y=0勺通解.解：特征方程为九33九2+9九+13=0或(九+1)(九24九+13)=0由此得箱=-1,=2+3i,九3=2-3i因止匕，基本解组为e',e2xcos3x,e2xsin3x通解为y=C1e,e2x(C2cos3xC3sin3x).yr.r、.、一ri(4、_

7、一、"匚一例2.求方程y-4y+5y-4y+4y=0的通解.解：特征方程为4_4352-44=0由于，4-4352-4'4=('-2)2(-21)故特征根是1,2=2,3=i,4=-i它们对应的实解为：e2x,xe2x,cosx,sinx.所求通解为2x,y=e(C1C2x)C3cosxC4sinx.2.比较系数法用于求常系数非齐次线性微分方程的特解.类型1设f(t)=(b0tm+btm'+-+bmt+bm)e丸,其中九及bi(i=0,1，m)为实常数，那么常系数非齐次线性微分方程有形如=tk(B0tm+B1tm'+Bm)e九的特解，其中k为特征方程F

8、(Q=0的根九的重数(单根相当于k=1；不是特征根时，取k=0),而Bo,Bi,，Bm是待定常数，可以通过比较系数来确定.如果人=0,则此时f(t)=b0tm+b1tm,十+bm,t+bm。现在分为两种情况讨论.(a)九=0不是特征根的情形，以=B0tm+B1tm“+Bm代入方程，并比较t的同次幕的系数，可以唯一的逐个确定Bo,Bi,，Bm.(b)九=0是k重特征根的情形，以x=tk("tm+Ztm'+。)为特解如果九#0,同样分为两种情况讨论：K不是特征方程的根的情形，有=(B°tm+B1tm'+Bm)e比特解；K是特征方程的k重根的情形，有=tk(B0t

9、m+B1tm,+Bm)e比特解.1例1求万程y"_y='ex的通解.2解易见，对应齐次方程的特征方程为2-1=0特征根是=1,对应齐次方程的通解为y二CexCze，由于覆=1是特征方程的根，故已知方程有形如xy1=Axe的特解.将它代入原方程，得2AexAxW-Axeex2.1.1从而A=,故y1=xe,由此得通解44y=CexC2e=1xex4例2求方程y"-5y'=-5x2+2x的通解.解对应齐次方程的特征方程为2-5-=0,<-5)=0特征根为%=0,九2=5,齐次方程的通解为y=C1C2e5x由于值=0是单特征根，故已知非齐次方程有形如y1=x

10、(Ax2BxC)的特解.将它代入已知方程，并比较x的同次幕系数，得1r-cA=一，B=0,C=03故y1=1x3，最后可得所求通解3y=1x3C1C2e5x3类型2设f(t)=A(t)cosPt+B(t)sinPteat其中隼P是常数A(t),B(t)是带实系数的多项式，一个次数为m,另一个不超过m.则非齐次线性微分方程有形如=tkPcosPt+QsinPteat的特解，这里k为特征方程的根a+iP的重数。而P(t),Q(t)均为待定的带实系数的次数不高于m的t的多项式，可以通过比较系数的方法来确定.例求方程y"十y-2y=ex(cosx_7sinx)的通解.解先求解对应的齐次方程：

11、y“y，2y=0我们有、2一_20,1=.1,2u2y=C1exC2e?x因为数a土iP=1±i不是特征根，故原方程具有形y1=ex(Acosx+Bsinx)的特解.将上式代入原方程，由于y1=ex(AcosxBsinx)y1=ex(AB)cosx(B-A)sinxy2=ex(2Bcosx-2Asinx)故yy-2y=ex(2Bcosx-2Asinx)ex(AB)cosx(BA)sinx=cosx-7sinxx=e(cosx-7sinx)或(3B一A)cosx一(B3A)sinx=cosx-7sinx比较上述等式两端的cosx,sinx的系数，可得-A+3B=1,-3A-B=-7因此

12、，A=2,B=1.故y1=ex(2cosx+sinx).所求通解为y=ex(2cosxsinx)CexCze".3.常数变易法只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程的基本解组.1例：求非齐次方程y+y=的通解.已知y1=cosx,y2=sinx是对应齐次方cosx程的线性无关解.解：则它的通解为y=C1cosx+C2sinx现在求已知方程形如y1=C1(x)cosx+C2(x)sinx的一个特解.由关系式，C1'(x),C2(x)满足方程组cosx|sinxsinxCi'(x)cosxC2(x)一011或写成纯量方程组_cosx-''Ci(x)cosxCz(x)sinx=0,1解上述方程组，得-C1(x)sinx+C2(x)cosx=,cosxC；(x)=sn%,C2(x)=1积分得cosxC1(x)=lncosx,C2(x)=x故已知方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+cosxlncosx+xsinx除以上方法外，常用的还有拉普拉斯变换法，用拉普拉斯变换法则首先将线性