高中数学圆锥曲线知识点总结

1、高考数学圆锥曲线局部知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系：假设曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P°(x0,y°)在曲线C上yf(x0,y0)=0；点Po(xo,y°)不在曲线C上仁f(xo,y0)*0.两条曲线的交点：假设曲线C,C2的方程分别为fi(x,y)=0,f2(x,y)=0,那么点

2、品仪.,丫.)是.,G的交点ufl(x0'y0)=0方程组有n个不同的实数解,两条f2(x0,y.)=0曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有交点.二、圆：1、定义：点集M|OM|二r,其中定点O为圆心,定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程：当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=CPU做圆的一般方程,圆心为(号音半径是近耳三.配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0t为(x+D)2+(y+|)2=D2

3、E2-4F当D2+E2-4F=0时,方程表示一I(广)；22当C2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.(3)点与圆的位置关系圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),那么|MC|<ru点M在圆C内,|MC|=ru点M在圆C上,|MC|>ry点M在圆C内,其中|MC|二v'(xo-a)2+(yo-b)2.(4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交u有两个公共点；直线与圆相切之有一个公共点；直线与圆相离u没有公共点.直线和圆的位置关系的判定：判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0勺品巨离dAa+

4、Bb+q与半径r的大小关系来判定.、A2B2三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),那么动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0<e<1时,轨迹为椭圆；当e=1时,轨迹为抛物线；当e>1时,轨迹为双曲线.四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1 .到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|FE|)的点的轨迹2 .与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0<e<1)1 .到两定点F

5、i,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|FF2|)的点的轨迹2 .与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：M|MF+|MF|=2a,|F1F2|<2a=点集：M|MF|-|MF|.=±2a,|F2F2|>2a.点集M|MF|二点M到直线l的距离.图形方程标准方程221=1(a>b>0)ab22_=i(a>0,b>0)ab参数方程2222,x-2pt(t为参数)y=2pt'/范围axa,byb|x|a,yRx0中央原点O(0,0)原点O(0,0)顶点(a,

6、0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x轴,y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴,y轴；实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点Fi(c,0),F2(c,0)Fi(c,0),F2(c,0)准线2x=±c准线垂直于长轴,且在椭圆外.2x=±c准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.x=-2准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.焦距2c(c=ja2b2)2c(c=v'a2+b2)离心率e=1【备注11双曲线：等轴双曲线：双曲线x2.y2=±a2称为等轴双曲线,具渐近线方程为y=±x,离心率e=.2.共钝双曲线：以双曲线的虚

7、轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做2222双曲线的共钝双曲线.与一冬=£与与2=4互为共钝双曲线,它们具abab22有共同的渐近线：、-4=0.a2b22222共渐近线的双曲线系方程：与.4=,口#0)的渐近线方程为'_彳=0如果abab22双曲线的渐近线为二旦=0时,它的双曲线方程可设为4一七=“0).aba2b2【备注2】抛物线：(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(R,0),准线方程x=-,开口向22右；抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=卫,开口向22左；抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,R),准线

8、方程y=-E,开口向22上；抛物线x2=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-卫),准线方程y=上,开口向下.22(2)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF=x0十*;抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离|mf|=：-x0(3)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),那么抛物线的焦点到其顶点的距离为£,顶点到准线的距离|,焦点到准线的距离为p.(4)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,那么线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么弦长|AB=&

9、quot;+x?+p或2ABI=二(%为直线AB的倾斜角),y1y2=-p2,x1x2=,AFI=x1+(AF叫sina42做焦半径).五、坐标的变换：(1)坐标变换：在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意1点M,耳在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x'O'y'中看坐标是(xy&

10、#39;).设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),那么x=x'hf或y=y'kx'=x-hy'=y-k叫做平移(或移轴)公式.(4)中央或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方程焦点焦线对称轴椭圆(x-h)2+(y-k)2_12.21ab(土c+h,k)x=±+hcx=hy=k(x-h)2+(y-k)2=11221ba(h,土c+k)y=±-+kcx=hy=k双曲线22(x-h)(y-k)=1a2b2(土c+h,k)x=±+kcx=hy=k22(y-k)_(x-h)=1a2b2(h,土c+h)y=±+k

11、cx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(£+h,k)x=-p+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-卜h,k)x=±+h2y=k(x-h)2=2p(y-k)(h,£+k)y=-p+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-t+k)y=±+k2x=h六、椭圆的常用结论：1 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2 .PT平分APFIF2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

12、225 .假设皿x0,y.)在椭圆、+与=1上,那么过Po的椭圆的切线方程是笔十阴=1.abab226.假设B(x°,y.)在椭圆与+与=1外,那么过Po作椭圆的两条切线切点为R、也ab那么切点弦P1P2的直线方程是笺+肉=1.ab227 .椭圆与+3=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任ab、.,CV意一点NF1PF2=¥,那么椭圆的焦点角形的面积为S&PF2=b2tan鼻.228 .椭圆与+与=1(a>b>0)的焦半径公式ab|MFi产aex0,|MF2尸a-ex)(Fi(-c,O),F2(c,0)M(x°

13、,y°).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于MN两点,那么MFLNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、4为椭圆长轴上的顶点,AiP和AQ交于点MAP和AiQ交于点N,那么MFLNF.2211.AB是椭圆与+冬=1的不平行于对称轴的弦,Mx°,y°)为AB的中点,那么abkOMkAB=一-2,即KABa12.假设F0(xo,y°)在椭圆_b2X0=_2°aV.22勺+与=1内,那么被Po所平分的中点弦的方程是ab22XoXy°yX0

14、y0.-2-,2=-2-,2,abab【推论】：221、假设F0(X0,y°)在椭圆三十匕=1内,那么过P0的弦中点的轨迹方程是ab2222斗+%=萼+誓.椭圆勺+%=1(a>b>0)的两个顶点为A(a,0),A2(a,0),ababab22与y轴平行的直线交椭圆于P1、R时AR与AP2交点的轨迹方程是冬4=1.a2b2222、过椭圆勺+4=1(a>0,b>0)上任一点A(X0,y0)任意作两条倾斜角互补ab的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且kBc=b%(常数).aV.223、假设P为椭圆q十七=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,

15、F1,F2是焦aba-c工点,/PF1F2=a,PF2F1,贝U=tancot.ac22224、设椭圆冬+4=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)ab为椭圆上任意一点,在PRF2中,记NF1PF2=,NPF1F2=%nff2P=尸,那么有sin;sin:sinc=e.a225、假设椭圆与+与=1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,左准线为L,ab那么当0<ew点.1时,可在椭圆上求一点巳使得PF是P到对应准线距离d与PE的比例中项.226、P为椭圆二+1=1(a>b>0)上任一点,Fi,F2为二焦点,A为椭圆内一ab定点,

16、那么2a-|AF2|WPA|+|PFi|«2a+|AFi|,当且仅当AJP三点共线时,等号成立.227、椭圆史*+位手=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是ab22_22_2A2a2B2b2_(Ax0By0C)2.228、椭圆二十冬=1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,ab224a2b2.-272,ab(3)S用PQ的最小值是2,2ab22.ab且OPOQ.(1)+=工+；(2)|OP+|OQ|2的最大值为|OP|2|OQ|2a2b2229、过椭圆与+斗=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两ab点,弦MN的垂直平分

17、线交x轴于P,那么比匕=W.|MN|22210、椭圆力+夫=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段ABab2_.22_.2的垂直平分线与X轴相交于点P(x0,0),那么-曳二L<x0<a.2211、设P点是椭圆三abaa=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F22b2为其焦点记NF1PF2=日,那么(1)|PF1|PF2|=.(2)S.ff2=btan.1cos-22212、设A、B是椭圆与+冬=1(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一ab点,NPAB=",/PBA=P,/BPA=T,c、e分别是椭圆的半焦距离心率

18、,贝U22,22ab|cos：|22ab有(1)|PA|=方22.(2)tan=tan：=1-e.(3)Spab=2cot.a-ccosb-a2213、椭圆3"+4=1(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆ab右焦点F的直线与椭圆相交于AB两点,点C在右准线l上,且BC_Lx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的

19、焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分APFFz在点P处的内角.2、PT平分PRF2在点P处的内角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)225、假设Bx0,y.在双曲线与一与=1a>0

20、,b>0上,那么过Po的双曲线的切ab线方程是注_誓=1.ab226、假设Bxo,y°在双曲线与一与=1a>0,b>0外,那么过Po作双曲线的ab两条切线切点为R、P2,那么切点弦PiP的直线方程是建一邛=1.a2b2227、双曲线与一4=1a>0,b>o的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲abC7线上任意一点ZF1PF2,那么双曲线的焦点角形的面积为S1PF2=b2cot-.228、双曲线1=1a>0,b>o的焦半径公式：F1-c,0,F2c,0当abMX0,y°在右支上时,|MF1|=ex0+a,|MF2|二e%-a；当Mx&

21、#176;,y°在左支上时,|MF1|=YR+a,|MF2|=ex0a.9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点,贝UMFLNF.10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,Ai、从为双曲线实轴上的顶点,AP和AQ交于点MAP和AQ交于点N,那么MFLNF.2211、AB是双曲线、-与=1a>0,b>0的不平行于对称轴的弦,Mx°,y°abb2b2v一为AB的中点,那么KomKAB=a,即Kab=W.ay.ay.2212、假设P0x0,y0在双曲线勺-4

22、=1a>0,b>0内,那么被Po所平分的中ab22点弦的方程是当一誓二空一.abab2213、假设P0x0,y°在双曲线与-4=1a>0,b>0内,那么过Po的弦中点的ab22轨迹方程是与一冬二萼一谆.a2b2a2b2【推论】：221、双曲线与1=1(a>0,b>0)的两个顶点为Ai(a,0),A2(a,0),与y轴ab22平行的直线交双曲线于R、P2时AR与AP2交点的轨迹方程是号+左,.222、过双曲线>一4=1(a>0,b>o)上任一点A(x°,y0)任意作两条倾斜角互ab补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC

23、有定向且kBc=-整(常数)aV.223、假设P为双曲线二一%=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任ab点,F1,F2是焦点,ZPF1F2=«,ZPF2F1=P那么c_a=tancot(或ca22P=tancot-)224、设双曲线4=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端ab点)为双曲线上任意一点,在PFF2中,记4产2=.,/pF1F2=0,/FRP=了,那么有一.s：nB、=£=e.-(sin-sin-)a225、假设双曲线与-4=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线ab为L,那么当

24、1<ew无+1时,可在双曲线上求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PE的比例中项.226、P为双曲线)-4=1(a>0,b>0)上任一点,F1F2为二焦点,A为双曲ab线内一定点,那么IAF2I-2aM|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立.227、双曲线与一1=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条ab件是A2a2-B2b2<C2.228、双曲线7V=1(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两2.2(1)口；(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为"I;(

25、3)Smpq|OP|2|OQ|2a2b2b2-a22,2的最小值是b29、过双曲线与a2冬=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支b于M,N两点,弦MN勺垂直平分线交x轴于P,那么1PF!=f|MN|210、双曲线2,2ab=1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段2.2AB的垂直平分线与x轴相交于点P(Xo,0),那么x°之或x°Ma2211、设P点是双曲线勺冬=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点F、ab2b2F2为其焦点记在P-那么1PFi-1二E.讦尸嘴.2212、设A、B是双曲线勺-七=1(a>

26、;0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线ab上的一点,“AB=U,NPBA=P,/BPA=¥,c、e分别是双曲线的半焦距离2心率,那么有(1)|PA|=22ab2cos21.|a-ccos|22(2)tan:tan：=1-e2.(3)Spab=a2cot.ba2213、双曲线今-4=1(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过ab双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于AB两点,点C在右准线l上,且BC,x轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e离心率.注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e