求数列前N项和的七种方法

1、q1,Sn其他公式：1、Sn1，八n(n1)2、2Snk21-n(n1)(2n1)63、Snn312k3n(n1)223例1已知log3x，求xxxlog23xn的前n项和.解：由log3x1log23log3xlog32由等比数列求和公式得23nSnxxxx(利求数列前N项和的七种方法点拨：核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。公式法等差数列前n项和：n(OMna1虹皂d22特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)gak1

2、,即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，Snna1a11qn一,特别要注意对公比的讨论。1q用常用公式)n1(1)x(1x)_2(12n)=1_11122例2设Sn=1+2+3+n,nN,求f(n)Sn(n32)Sn1解：由等差数列求和公式得Sn12n(n1)，1.Sn1如1)(n2)(利用常用公式)f(n)Snn34当<nn(n32)Sn1n234n1=6482(.n)250n.n8,即n=8时，f(n)max一n641501501. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an-bn的前n项

3、和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列(2n1)xn123例3求和：Sn13x5x7xn1(2n-1的通项与等比数列X的n1解：由题可知，(2n1)x的通项是等差数列通项之积234设xSn1x3x5x7x(2nn1)x一得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn(错位相减)再利用等比数列的求和公式得:(1X)Snn11x2x(2n1x1)xnSn1)xn1(2n1)xn(1x)例4求数列2,，£,年前n项的和.222232“设Sn2462n2TT222232n1c2462nSn-2-3-4n122222解：由题可知,（设制错位）得2(112)Sn（|的通项是等差

4、数列（2n的通项与等比数列的通项之积22n-n-n122（错位相减）Sn12n1n2?n12n?n1练习：求：Sn=1+5x+9x2+2解：S=1+5x+9x+n-1+(4n-3)x+(4n-3)xn-1两边同乘以x,得xSn=x+5x2+9x3+-+(4n-3)xn-得，(1-x)S=1+4(x+x2+x3+(4n-3)当x=1时，S=1+5+9+(4n-3)=2n-n当x丰1时，Sn=十l-x4x(1-xn)1-x+1-(4n-3)xn2. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1an）.例5求si

5、n21sin22sin23sin288sin289的值解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289将式右边反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21.（反序）又因为sinxcos(90x),sin2xcos2x1（反序相加）+得2S(sin21cos21)(sin22cos22)22(sin89cos89)=89S=44.53. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1,1例6求数列的刖n项和：11,4,了7,aa11解：设Sn（11）（4）（二7）aa将其

6、每一项拆开再重新组合得c111、Sn（12nJ）（1aaa（分组）3n(n1a3n2)3n2)当a=1时，Snn（3n21）n=伽2加组求和）aa1n(3n1)na1214zo、当a1时，$弋气也1a例7求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设akk(k1)(2k1)2k33k2knnSnk(k1)(2k1)=(2k33k2k)k1k1将其每一项拆开再重新组合得Sn2k33k2（分组）=2(1323n3)3(1222n2)(12n)（分组求和）练习：求数列1解：sn12(121n(n2n(n1)2(n2)2111112,24,38,?,(n另)，?？?的前n项和。11123?(n)48

7、21111?n)(223?f)112n1)5.裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合,使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(3)(5)(6)anananf(n1)1n(n1)f(n)(2)sin1cosncos(n1)tan(n1)tannan(2n)2(2n1)(2n1)1 1(2n12nn(n1)(n2)12n(nan1)(n1)(n2)nn(n1)2(n1)n(n1)-，则Sn(n1)2(n-n1)2例9求数列（裂项）（裂项求和）的前n项和.Snan=(2.1)(.3、2)例10在数列an中,an2一

8、，求数列bn的前anan1解:an（裂项）（裂项求和）例11求证:解：设S（裂项）（裂项求和）1sin1(tan18(-n数列bn的前n项和11（23）Sn8(1=8(18ncos0cos1cos0cos1(3(1n土)n1cos1cos2cos88cos89cos1.2sin1cos1cos2cos88cos89sin1cosncos(n1)tan(n1)tannScos0cos1cos1cos2cos88cos89tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)tan89tan8811(tan89tan0)=cot1sin1sin1cos12sin1原等式成立练习：求13,115,135

9、,163之和。解：1311513516311313515717912(11)31(1231)512(151)71 (12 7-)912(113)1(315)1(517)1(719)6. 9）合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cosl°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.+cos179（找特殊性质项）解：设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+-+cos178cosncos(180n

10、)Sn=(cos1+cos179°)+(cos2+cos178°)+(cos3°+cos177°)+（合+(cos89°+cos91°)+cos90°并求和）=0例13数列an:a1且3,a32,an2an1an,求S2002.解：设S2002=a1a2a3a2002由a11,a23,a32,an2an1an可得a41,as3,a62,a71,a83,.a92,a01,a、3,a22,a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60（找特殊性质项）S20

11、02a1a2a3a2002(aia?asa6)(a7a8ai2)(a6kia6k2a6k6)(ai993ai994ai998)ai999a2000a200ia2002=ai999a2000a200ia2002=a6kia6k2a6k3a6k4=5例i4在各项均为正数的等比数列中，若asa69,求log3ailog382log3ai0的值.解：设Snlog3ailog3a2log3ai0由等比数列的性质mnpqamanapaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN得Sn(log3aiIog3ai0)(logsa2logsag)(log3aslogsae)7. (合并求和

12、)=(logsaiaio)(logsa?ag)(log3asa6)=log39logs9log39=10利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例is求iiiiiiiiii之和.n个i解：由于iiiii，-i一9999(i0i)(找:®k个i9k个i9项及特征）11111111119(10112131)：(1021)1(103991)l(10n1)9（分组求和）112=-(10109103c110n)1(1119n个11)=110(10n1)n91019=(10n1109n)81例16已知数列an:an(n,求3)(n1)(an1an1)的值.解：,(n1)(anan1)8(n1)(n1)(n13)(n2)(n4)（找通项及特征）8(n2)(n4)(n危（设制分组）、）8(n六）（裂项）(n1)(an1an1)土）（分组、裂项求和）=4(313843练习：求5,55,555，的前n项和。解