阿基米德螺旋线

1、(1.M)正文§1.平面.阿基米谯螺旋线的介绍在普通平面物处标中，定义关系式:r-aO图中O为极坐标原点，篮包的线为根据阿基米德螂嫉我方科，二出出的舞旋线.其中有平面上任意一点A(r.O),连结AO(图中黑嫔，艰段人。与/*=。曲线,火点中离A最近的交点为A'(r',®).建立新坐标系对于这行螂线,我们可以基于它建立一个坐标系.对于平面上的任意一个点A,连结AO.今税收入O与场旋或离川最近的一个支点为A(如田所示).我们用点4与点A或立映射关系.这样，平面上的点都可以用阿从米德蟋旋线上的点去示，而何从米独蛛就级满足=”6(1.101),所以平面上的点就与实效

2、集建立了多对一的映射关系，我们用了表示这种映射关系。谈公在极坐标系中的坐标为(匚0),按照上面的思路，我们可以在阿县米德螺线上面芋凭焉的标上刻段来表示螺拱上每个点的坐标，根据极坐标中曲战长度/的计算公式我们有：/=随而而=W(汾+a21)又因为r=0(LI().l)所以：/=JJ/+。,(10ln(0+J.。+0,)+/(r+02(1.2.2)1122我们现靠列，(1.2.2)式过于警城,JL：(12.3)所以我们考虑直拄使用夕对该螺旋线上的点进行搭逑，即时塔线上每一点(厂。)用一个实数。2来表示.对平面上任意一点A(小a)这里04av2;r,都可以得到前之提到的.第一个交点A'坐标为

3、(匕0),其中A(r,a)、A，(r'C)满足关系:L=0=2/r1+a(1.2.4)u27r«从而：«2=(2lJ+rr)2(1.2.5)Ina这样便可以通过。2表示点A,干是我们发明了用一个实数相咯的和示平面上所有点的方法。在这种方法中，每个实效表示一条长为的戏段，如图所示，性中绿色残段长为2允a：我们籽这种新建立的坐标系起名为珂基米座场线坐标女.下文中简称'【类坐标系.片中的点用(小)表示.§13径向误差的计算在NI坐标系中，一个实效装示长为2不。的线段上面的所布,点,所以良示平面上的点时必然会产生径向误差：Ar=2万"(1.3.1

4、)这个误差的存在是用一个实效我示一个二维平面所不可避免的，但可以通过(11.0.1)的a的选择把4*控制在可按受的范围之内.对某一个确定的点八(厂,a).在N1中为A(0),因为有：(1.2.5)(13.1)0?=(2足工+"-InaAr=2/ra所以有：伊=(2加二+a)2(13.2)Ar为7减小4.必须要用更大的数值02未描绘点A.§14NI中的两点间距离公式及距离误差分析对于平面中任意两点A.B,在极生标中有4(%)、A(%a«),在NI中有(1.2.4)A),B(琉),如图.我们可以用：r*r=0=2(+aa2兀“寻使用：(13.5)2rr朵表示6勺极限汉

5、星,A/表示d的极限误潼.表示人和月的距离.根据误是合成的公式：对多元击散：y=/(4巧广"，/)(13.6)绅=之4乂(1.3.7)Iex.岸中Ax,Ay表示相应数值的法星°在NI处标系中,、/表示用度时没本议差.表示长度时久和%可能有2江的误£故：/>2M="：|0、-gcqs(O,-0$)|+|仇-0、cos(?.t-。8)|(13.8)将，4(U.O.l)代人得到：«=宁。Fcos(Q0/十匕一口cos©-)|(13.9)注意到：d=rxrHcos(,)|(1.3.10)同理：d之鼠jcos(Z"")

6、|(13.11)代人上式有:AJ447T”(1.3.12)当JL仅当/一%=A区伏wZ),即A、B、O共线时等号成立，误差救大.其中Ad与“正相关.又由于r=，所以Ar/与，黄相关.我们便可以得出“住用更大的球对于点老什描述可以减小误是Ad”,这样我们就把在§131中“为了减小Ar,必须要用我大的数值少女描绘点人”推广到任意/V.我们就得出了通过减小N【坐标系中的"的值.增大湍绘点的小的值，减小误差.并可以由上面的公式进行定量的计算,并讨论了误差了大小的大况.§1.5.原点设置与误笄分析由于注息到，不同的原点设置对于NI生标系中的点的径向误是/和两点问的极限法差A

7、d也都会有影响.为了方便法差的讨论.我们淮备洋NI坐标系放入平面直角坐标系之中，并从商单的彤势到复杂的彩式进行计算.在式(131.1)中，我们存知在向误差为定值，即无论原点设置在什么地方都无法迎免由4，=2打产生的最大径向误差.对于多个点的情况,我们可以用各个点产生最大径向误甚的和表猫述产生误差的人小.如果我们命名个点为A，4,A,"其中，二123,.各个点产生的最大误差为，4、勺,A/,即总最大误差之和力：.£纣=n-Ina(1.5.1)式(】.5.1)在原点设置在平面任一位五时都成立.我们发现,如果仪仅使用径向深差林速由NI坐标系原点设五所市表的俣爰并不直§2

8、.球面.球面螺旋线介绍在研究完NI生标系后，我们自然而然的联想到，在球面上是否也存在若像阿基米他蛛旋畿一样的可以用来描绘整个球面的戏呢？通过阿基米便螺旋线的表达式我们非常自然的联枳到可以从经度、纬度的轨念出发.利用类似的表达式、来构造这样的曲线从而建立新的坐标系,就像在§1中建立坐标案基于的平面极坐标系.q,正向度表示北纬,负纬度如上图，我们准各基于该种坐标系来也立我们自己的球面坐标系。该球面上每一个点都可以用经纬坐标（a.。）来描述、其中。表示经度，是图中的/BOC,尸表示纬度,即为图中的/AOB.我们可以用奥似§1.1中（l.l.l），=a®的参数方程来柏述我

9、们建立坐标系的基阻线.如下：a=a/3（2.1.1）关中“为常致，用于描述螺正战间距高的大小；衣示南玮.我们均另得到.如果用任意一个经线截到院线所得相邻两个更点纬度角相差.事实上，如果设两点坐标为（a./“，（a+2m/4）,由螺旋线方程得到：a="什a+2乃=aflz2n两式机减有：儿-八二十（2.1.2）所以我们知道,在定义场发线如果使用的。越大则、爆发线越塞，反之a越小，如厚旋线越焦.建立球面螺旋坐标系对于球面上任意一点（a,。）,aeo,2;r卜我们用孩点所在的经线9煤货线曷该点it近的文点表现略进行柘纷，这样.珞会线上一点.将代我一小段经浅上的氟这样，球面上的点标可以用该好

10、货线上的点表示.而螺发线上的点用它的纬度/?来A示，我们便可以得到新的史标系Nlh为了与N1坐标系统一，我们使用（0）来柏绘球而上的所有的点.。大小与前文中经纬坐标.条中的纬度”相等.对于球面上任意一点（a.口）按里前五叙述0应淹足：。=a+2k八,keZ万汗(a+2&k).Qn.“代人得到：P一一<-</?+,XreZ.(2.2J)(2.2.2)afl-a+乃Ina+27r0=a/i-a+rtIn(2.2.3)(224)U这洋我们就得到了Nil坐标系与球面经注止标系的柠拽公式，相应地，在Nil生标系中的，表示经纬度满足：a=u0-2万(2.2.5)(2.2.6)的所有点.

11、§23球面坐标中的距离公式为了计算在NTI坐标系中的两点距离，我们准备先知出在经纣，生标系中球面两点距点公式.设经纬坐标系中有两点从%J4），如图:cos设OA'=g,ON=0ON=r为球半役.则：OA=rcosAi£+rsinq-e3，OB=rcos/Ae2+rsini2-e3(23.1)=(cosA%+sinfiCj>(cosfl2-e2+sinfl2/)=sinflsinp2+cos仰cosftcos(a2一1)由弧长公式得距离：d=rarccosfsinesin"：+cospcosp：cos(a2-a)(2.3.2)相应地，在Nil史标系中已

12、知两点人“),(。2),可得到距离:d=r,arccossin0sin024-cosQcos02cos(a02-uOj(2.3.3)§24误差分析当我们使用NII坐标系表示里面上的点的纬度时会产生误差，根据公式(2.2.6):rrjr0一一"<+二，可以得到误差为：aaAd=土马(2.4.1)(2.4.2)所以当误差要求5时需要4>-根据(1.3.7)Av=9At可以得到:_刀.|cos4sin0y-sin0lcos仇cos(a02a0l)|4|cos%sin耳-sin%cosqcos(a02af)x)|事实上.我们关心的是距离的放大俣差.这可以通过几何关系简单

13、地求出，如上图两点是螺我段上的点，它实际表示的点可能在A到4和闽到8,的劣弧上.A8'分别为弧兀兀、麻上任意两点，显然有如下不等式成立：|cos|sin3.-sin6lcos02cos(o02)|+|cossin-sin8sqcos(幽-仇)|A因5、/、yjr/'A'8WA8+A'A+8BVA8+(2.4.4)a当且仅当A、B在同一挣线上时等号成立.同理：而N赢-0-后2AB-(2.4.5)a/y所以在NII坐标系中计算距离时最大误差为土里.这个结果与式(2.4.1)一致。a如果我们对距离误差的要求为±5,则需要空43,即型，(2.4.6)ab

14、67;25NH坐标与经纬坐标在计算机中表示所需位数比较我们虽然建立了只用一个实数描述一个球面的Nil坐标系，但它与旧有的狂结型标系相比是否其有优越性呢？这是有他于讨论的，我们基于一个朴素的思想，将在下文子以分析，我们在经他坐标系和Nn坐标系拈度相同忖，比皎它们描述同一个点所需要的数据占用的位数来物定两个坐标系在空间更杂度上面的差异.设在经纬坐标系中经度和结区所加有的最小分度值为气，叫(单位弧度).为达到分度值G.(7，需要有2个经度值，二个纬度值，期需要球面上的点6个数：%方«=(2.8.1)C04相应地在Nn金标系中，为了保证精确度杓同,也需要有个实敢与球面上的点梢对应.如果把NI

15、I坐标系中的点表示为(0),。-py,则的分度借b2为：在二法制表示中，考虑及示经度a所需要的位数：±ubcdcfg算中第一位表示正负，由于kl<g,，卜数点之前只需安一位，设小数点后需要位，应有公式：2"力>/22代2),即总位数勺=2+-logbJ.同理可以得到纬度有勺=B+J-loge”位.表示。需要号=2+一1。4%|位.小<T父代入后有:2斤心=3+一log?J-log,j+log2元5十卜log?j.log2bJVka+kp相应地可以得到原>ka+-20可见,经纬坐标系在精确位数上与NII坐标系相比并不具有伏势。特别的，在计算机的存毋中.

16、分配给每个数据的存储空间并不由数据本身在二进制下有效数字而定,而是一个给定的空间，实际位用中一般不能占满,使用Nil坐标系可以减少变量数,提高存毋空间使用效率.的确立与地球上的的范围我们在查阅资料以后.发现一段大城市的面积大小约在100平方公里数量级左右，这样我们就要求我们有10千米左右的精硝度，查友得用地球的平均半径为6371千米，"一"代人不等式(246)2位我们可以得到:r=63713(251)2丝4先之400302单位千米5这样我与就估算出了在讨论地球上的城市的位行的叶候可以选用的a的取信危困，又由于久(2.4.l)Ad=±»我们可以看出与最大误

17、差的大小负相关。a这个结论可以帮助我们在进行NH坐标系设计时更好的确定u的信.通用转化程序设计为了更好地让Nil球面坐标系普及，我们根据式(2.2.5).(2.2.6万丈计了球面经纬坐标与Nil史标系之间的转换程序.薮困如下：在揄人以及球半径以后，该程序可以进行双向的坐标转换.科序的右手部分是根据式(2.3.3)编写的球面距离计算工具，在榆入两个地&的Nil坐标后，便可以计算出两地的大致死需，共精确度由左上角的”的取值进行调控.应用实例在查阅了也r系大城市经委坐标以后，根据经纬坐标通过式(2.2.4)或使用该程片可以计算出NII坐标系中的坐标，我们取a=450(k结果见下表(经纬坐标以

18、市中心为准):城市所在国家(地区)城市名称经纬坐标Nil坐标中国北京(116°2339°54,)39.86586英国伦敦(-0。7151。30)51.51997德国柏林(13°2552°3r)52.48298俄罗斯莫斯科(37°3755°45')55.76836美国波士侦(-71°03',42。22')42.38421南非开普敦(18°25-33055,)-33.83591澳大利亚悉尼(151012,-33052,)33.8()640阿根廷布宜诺斯艾利斯(-58°25,-34°37,)34.57298南极昆仑站(中国)(77°07-80025')-80.30286我们也可以刊用该程序计算出城市之间的球面用离，计算结果如下去:起始城市终止城市通过Nn坐标算出的球面距离通过经纬坐标算出的球面距离北京波士顿1083910836莫斯科开普敦1012910134布宜诺斯艾利斯昆仑站（中国）696()6945悉尼伦敦1698816993这样.我们便为地球建立了一个以Nil坐