定积分换元法与分部积分法

1、 6.3 定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法定理定理 6.4一、定积分的换元积分法)156(d)()(d)(, )(, )()3(),(,)()2(,)(,)1()(,)( tttfxxfbatbatxttxbaxfba则则；内保持定号内保持定号上连续且在上连续且在在在；上变化上变化在在上变化时，上变化时，在在当当满足条件满足条件上连续，上连续，在在设设注注，变变到到也也单单调调地地从从，时时到到变变单单调调地地从从保保号号的的条条件件是是保保证证当当 tbaxt)(.1 ；仍仍然然正正确确值值处处成成立立时时换换元元积积分分法法且且等等号号只只在在有有

2、限限个个或或另另外外当当0)(0)( tt .)156()3(.2分法中很重要分法中很重要这一点在定积分换元积这一点在定积分换元积中积分上、下限对齐，中积分上、下限对齐，是保证公式是保证公式条件条件 证明证明上连续，上连续，在在因因,)(baxf )(d)()(tFtttf )()( FF )()(aFbF 又又babaxFxxf)(d)( )()(aFbF 因此它的原函数存在，因此它的原函数存在，的一个原函数，的一个原函数，为为设设)()(xfxF的一个原函数，的一个原函数，是是那么那么)()()(ttftF 莱莱布布尼尼茨茨公公式式可可得得由由牛牛顿顿 所以所以.d)()(d)( tttf

3、xxfba例例1求下列定积分求下列定积分 ：;d23)1(10 xxx;dsin)2(202 xxx;dln11)3(e1xxx . )0(d)4(022 rxxrr解解；，时时30 tx，令令xt23)1( 132210d)(3(21d23tttxxx.dd, )3(212ttxtx 则则.1,1 tx时时 3143d)3(21ttt315312102tt .5233 2022202dsin21dsin)2(xxxxx202cos21x .4cos21212 注意注意 402022dsindsinttxxx，中也可以令中也可以令在在22022dsinxtxx 402cost .4cos12

4、相应的变化，这时相应的变化，这时但是积分上下限必须作但是积分上下限必须作，令令xtln)3( .1e tx时，时，；时，时，01 txttxxxttde1e1dln1110e1 .dedetxxtt ，则则 10d11tt1012t ).12(2 ，令令trxsin)4( .cos22trxr 这这时时；时时，00 tx.2 trx时，时， 2022dcosttr原式原式 202d22cos1ttr20222sin44trr .42r .dcosdttrx 则则例例2.d)(2d)()(,0d)(,)(d)()(d)()0(,)(00 aaaaaaaaxxfxxfxfxxfxfxxfxfxxf

5、aaaxf是偶函数时，是偶函数时，当当是奇函数时是奇函数时当当并由此证明：并由此证明：上连续，证明上连续，证明在在设设证明证明由于由于 00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf，则则中中令令在在txxxfa 0d)( 00d)(d)(aattfxxf axxf0d)(因此因此 aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(.d)()(0 axxfxf是奇函数时，是奇函数时，当当)(xf; 0d)( aaxxf是偶函数时，是偶函数时，当当)(xf.d)(2d)(0 aaaxxfxxf，,0)()(aaxxfxf ，,)(2)()(aaxxfxfxf 例例 3.d)(d)()0()(0

6、TTaaxxfxxfaTTxf，有，有试证明：对任何常数试证明：对任何常数为周期的连续函数，为周期的连续函数，是以是以设设证明证明可知可知由性质由性质2.6 TaTTaTaaxxfxxfxxfxxfd)(d)(d)(d)(00，则，则中令中令在在TtxxxfTaT d)( axxf0d)( attf0d)( aTaTtTtfxxf0d)(d)(0d)(d)(00 aaxxfxxf因此因此.d)(d)(0 TTaaxxfxxf由于由于例例 4)(dcossinsind)(sind)(sin)2(;d)(cosd)(sin)1(1, 0)(02222002020为正整数为正整数，并由此计算，并由此

7、计算：上的连续函数，证明上的连续函数，证明是是设设nxxxxxIxxfxxxfxxfxxfxfnnnn 证明证明，令令tx 2)1(.02 tx时，时，；时时，20 tx.ddtx 则则 0220d)(cosd)(sinttfxxf 20d)(costtf.d)(cos20 xxf 2200d)(sind)(sind)(sin)2(xxxfxxxfxxxf，则则中中令令由由txxxxf d)(sin2 022d)(sin)(d)(sinttftxxxf 20d)(sin)(xxfx 20200d)(sin)(d)(sind)(sinxxfxxxxfxxxf,d)(sin20 xxf，注意到注意

8、到xx22sin1cos 型的函数，型的函数，是是因此因此)(sincossinsin222xfxxxnnn 可可知知由由)2( 0222dcossinsinxxxxxInnnn 20222dcossinsinxxxxnnn可知可知再由再由)1( 2022220222dsincoscosdcossinsinxxxxxxxxnnnnnn因此因此 2022220222dsincoscosdcossinsin2xxxxxxxxInnnnnnnxxxxxnnnndcossincossin2202222 .42 例例 5. )(1ed)(),()(0 xfxtttxfxfxx求求内的连续函数，且满足内的

9、连续函数，且满足是是设设 解解，中中令令在在txutttxfx 0d)(；时时，xut 0 00d)(d)(xxuuxuftttxf xuuxuf0d)(.ddtuuxt ，则则.0 uxt时，时，1ed)(d)(00 xuuufuufxxxx求导得求导得等式两边关于等式两边关于 x1ed)(0 xxuuf满足满足因此因此)(xf xxuuufuufx00d)(d)(求导得求导得两边再关于两边再关于 x.e)(xxf 定理定理 6.5公公式式成成立立导导，则则下下面面的的分分部部积积分分上上连连续续可可在在区区间间设设,)(, )(baxvvxuu )166(d)()()()(d)()( ba

10、babaxxuxvxvxuxxvxu二、定积分的分部积分法例例 6求下列定积分求下列定积分 ：;de)1(10 xx.darcsin)2(210 xx解解,)1(xt 令令；时，时，00 tx.11 tx时，时， 1010de2dettxtx 10de2tt)dee(21010 tttt 10ee12t.e42 .d2d2ttxtx ，则则 2102210d1arcsin)2(xxxxx原原式式)1(d11211222102xx 2102112x .12312 例例7求定积分求定积分 20dsinxxInn), 3, 2, 1(dcos20 nxxn解解 201dsinxxI1 2022dsinxxIxxd22cos120 4 递推公式递推公式时，用分部积分法建立时，用分部积分法建立当当3 n 20dsinxxInn 201)cos(dsinxxn 201201)(sindcossincosxxxxnn 2022dsincos)1(xxxnn 20202dsindsin)1(xxnnnnnInIn)1()1(2 因此因此,12 nnInnI由此可得由此可得32121222 mmImmI52)32)(12()42)(22( mImmmm135