行列式的几种求法

1、行列式的求法有多种，以下简单进行总结。、逆序定义法行列式的逆序法定义如下：如a12'ana21a22"a2n-*-an1an2"annj1,j2,(1).(j1,j2,，jn)aijia2j2anjn这里，ji,J2,.,jn为1,2,.,n的任一排列,T(jl,j2,.,jn)为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有n!项，每项都是n个数相乘，并得计算用于求行列式。但是,以下举例如下：逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少如果行列式的项中有大量的0,那么用逆序法计算可能会很简单。a11a22anna11解答

2、:a22、(_1)(j1,j2,，jn),a1j1a2j2anjnj1，j2,，jnann只当j1=1,jn=n,其项才可能非零。因此,(1,2,.,n)0=(-1)a1,1a2,2an,n=(-1)a1,1a2,2an,n=a1,1a2,2an,n例2、求解答:d1j1,j2,jn只当J1=n,J2=n1,(-1).(j1,j2.,jn)a1j1a2j2anjn,jn=1,其项才可能非零。因此,dnd2din(n_1)an,i=(-1)2did2dn。did2例3、求工dndndid2解答：dndn、(-i)(ji，j2,一1炉2'2anjnji,j2,jn只当ji=2，j2=3,，

3、jn,=n,jn=i时，其项才能非零，于是did2八裔，3,4,.,n,n,i)一(一1)ai,2a2,3an,nan,i_(_1)d1d2dndndndn、按任意行或任意列展开a-iiai2a2ia22anian2ainGnna-n=Z(-1产Mij=£AjjmjMannnn='(-1)Mj='Aji=1i=1其中，Mj是原行列式划去第i行和第j列所成的行列式，称为i行j列位置上的余子式,Aj=（-11十M0则称为i行j列位置上的代数余子式。至于各个Mj的计算，则继续按照此递归定义计算下去。当然，必须说的是，如果单纯这样做，计算量也是相当之大的。不过，如果行列式中有

4、大量零，可以考虑这种方法（没有零，就利用行列式性质弄出大量零）。以下举几个例子：438例4、951。27643解答：952751=4765=423-352853=3607解答:例5、641545173032614145575=3父7276527656=2乂464345=-6父217这样，|0"173=1父32634父523+4工27=1父356-53452163+2父52236+73=3-17）-43211-416=2x28-12+5x（-6）=144-1X736-5345214=-6父11+4父133=1756+736445=1乂（-41）-5父14+7父（-17）=-23017三

5、、利用初等变换求行列式利用初等变换求行列式是最常用的行列式求法。以下简单举几个例子:例6、120011003004解答:1111例7、0abca100bc0010011-111111-1-101-11-2.001-22000-1-2-20abc2-a0bc2.2-a-b00c2,22-a-b-c000a100a100a100a100b010b010b010b010c001c001c001c001解答:222-(abc)四、递归法求行列式用递归法求行列式，必须寻找行列式的自相似结构。以下讲解几个例题:例8、求解范德蒙行列式为2X111X2X322X2X31Xn2Xnn4n4n4X1X2X3n1X

6、nDnX12为X22X2X32X3Xn2XnX2-'X12X2-X1X2X3-'X12X3-X1X3n1X1n1X2n1X3nA.Xnn1X2n_2'X1X2n1n.2X3X1X3nn_2Xn一2X2-X1X2(X2-X1)X3-X1X3(X3-X1)Xn-KXn(Xn-X1)x2(X2-X1)X3(X3-x1)Xn(XnX1)=(X2-X1)(X3-X1)(Xn_X1)X2X3XnKX2-X1)(X3-X1).(Xn-X1)X2n_2X2n_2X3n_2XnX3Xn三%X1)(X3-X)(XnX.)Dnn-2X2n_2X3n-2Xn利用上述递推公式，有Dn(X2-X1)(X3-X1)(f)Dn=(X2-)(X-X1)(Xn-)(X-X2)(X4-X2)(Xn通/二=区-X)(X3-X1)(Xn-Xj(X3-X2)(X4-X?)(人一%)(X-X3)(Xn-X3)(4=口(Xj-X)13.;:jn1X1X例9、求解行列式1Xa0a1an工an1X1X,则Xa。解答：记Dn书=一二工1anania.-x-x-x1-x+1=1m-xa0an1-x+1an/a11-x+