平面几何：有关三角形五心的经典考题及证明-(中考提分助力)

1、1 / 8平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心 、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 1 .过等腰厶 ABC底边 BC上一点 P弓 I PM / CA交 AB于 M ;弓| PN / BA交 AC于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P点在 ABC 外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）分析：由已知可得 MP =MP=MB, NP =NP=NC，故点 M 是厶 P BP 的外心，点N 是厶 P PC 的外心.有/ BP P=1/ BMP =丄/ BAC，2 211/ PP C= / P

2、NC= / BAC.22/BP C=ZBPP+ZPPC=ZBAC.从而， P点与 A， B， C 共圆、 即卩在厶 ABC 外接圆上. 由于 P P 平分ZBPC,显然还有P B: P C=BP: PC.例 2.在 ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P，Q，S.证明以 APS,ABQP， CSQ 的外心为顶点的三角形与 ABC 相似.（ B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：设 01，02，03是厶 APS，BQP， CSQ 的外心，作出六边形01PO2QO3S 后再由外 心性质可知ZP01S=2ZA，ZQ02P=2ZB，ZSQQ=2ZC.ZP01S+ZQ02P+ZSQQ=360 .

3、从而又知Z01P02+Z02Q03+Z03S0I=3600将厶 02Q03绕着 03点旋转到厶 KS03，易判断厶 KS01BA02P01，同时可 得厶010203 01K03.1 Z020103=ZK0103=Z0201K21=(Z0201S+ZS0iK)21=(Z0201S+ZP0102)1=丄ZP01S=ZA;2同理有Z010203=ZB.故 010203sABC.2 / 8、重心AD, BE, CF 是厶ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在厶 PAD,APBE,APCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.第 26 届莫斯科数学奥林匹克)设 G ABC 重心，直线 PG 与

4、AB,BC 相交.从 A, C, D ,作该直线的垂线，垂足为D , E, F.易证 AA =2DD , CC EE =DD +FF .有 SPGE=SPGD+SAPGF.两边各扩大 3 倍，有SAPBE=SAPAD+SAPCF.例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成 的新三角形相似其逆亦真分析：将厶 ABC 简记为，由三中线 AD, BE, CF 围成的三角形简记为 .G 为重心，连 DE 至 U H , 使 EH=DE，连 HC, HF,贝 U就是厶 HCF.(1)a2, b2, c2成等差数列 “.若厶 ABC 为正三角形，易证 不妨设 abc,有CF=1

5、, 2a22b2c2,2BE, 2c22a2b2,2AD= 2b22c2a2.2将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CFa, BE=2 , ADc.2 2 2 CF: BE: AD =3a:3b:3c2 2 2=a: b: c.故有“.(2)“a2, b2, c2成等差数列.当中 abc 时，中 CFBEAD.严=(圧)2S a三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心掌握重心将每 条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题.例 3.(分析:B=2FF ,AEE, F 分别A, C,P3 / 83据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的-”，有4S=3T=4.a2+

6、c2=2b2.二、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外 接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利例 5设 A1A2A3A4为OO 内接四边形，Hi, H2, H3, H4依次为 A2A3A4， A3A4A1， A4AiA2，AA1A2A3的垂心.求证：Hi， H2， H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接 A2H1，A1H2，HiH2,记圆半径为 R.由厶 A2A3A4知=2RA2Hi=2RcosZA3A2AA3由厶 A1A3A4得AiH2=2RcosZA3A1A4.但/ A3A2A4=ZA3A1A4，故 A2Hi=

7、AiH2.易证 A2H1/ A1A2，于是,A2H1=AiH2，故得 HiH2=A2Ai.设 HiAi与 H2N2的交点为M,故 H1H2与 A1A2关于M点 成中心对称.同理，H2H3与 A2A3, H3H4与 A3A4, H4Hi与 A4Ai都关于M点成中心对称. 故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全 等四边形，Hi, H2, H3, H4在同一个圆上.后者的圆心设为 Q, Q 与 O 也 关于 M 成中心对称.由 O, M 两点，Q 点就不难确定了 .例 6. HABC 的垂心，D, E, F 分别是 BC, CA, AB 的中心.一个以 H

8、为圆心的。H 交直线 EF, FD , DE 于 A1, A2, B1, B2, C1, C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC仁CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题分析：只须证明 AA1=BB1=CC1即可.设BC=a,CA=b,AB=c,AABC 夕卜接圆半径为 R,OH 的半径为 r.连 HA1, AH 交 EF 于 M.AA2=AM2+A1M2=AM2+r2- MH2=r2+(AM2-MH2),CFa23a2=4CF2=2a2+b2- c2A2H1sinA2A3H1AiA2O4 / 8又 AM2- HM2=(-AH1)2-( AH-丄AH1)2 25 / 82 2=A

9、H AHI-AH2=AH2 AB-AH2=cosA bc-AH2,而=2RAH2=4R2COS2A,sin ABH=2R a2=4R2sin2A. sin AAH2+a2=4R2, AH2=4R2-a2.由、有2 2 2AA2=r2+bC bc-(4 R2- a2)2bc=丄（a2+b2+c2）-4 R2+r22同理，BB；=丄（a2+b2+c2）-4 R2+r2,2CC12=-（a2+b2+c2）-4 R2+r2.2故有 AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心对于内心，要掌握张角公式，还要记住 下面一个极为有用的等量关系：设 IABC 的内心，射线 AI 交厶 ABC

10、 外接圆于 A,则有 A l=A B=AC.换言之，点 A必是 IBC 之外心（内心的等量关系之逆同样有用）. 例 7. ABCD为圆内接凸四边形，取DAB， ABC，BCD，CDA 的内心 01，02，03，04.求证：OQ2O3O4为矩形.（1986，中国数学奥林匹克集训题）证明见中等数学1992; 4DCA与OO 内切.试证：EF例 8.已知OO 内接 ABC，OQ 切 AB，AC 于 E，中点 P 是厶 ABC 之内心.（B 波拉索洛夫中学数学奥林匹克）分析：在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.当 ABMAC,怎样证明呢？

11、如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，BC 中点 K 都在/ BAC 平分线上.易知rAQ= .sin QK AQ=MQ QN，.QK=MQQNAQ(2R r) r=si nr/si n由 RtAEPQ 知 PQ=sin(2Rr).C6 / 87 / 8 PK=PQ+QK=sin r+sin (2R r)=sin 2R . PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是厶 ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起, 旁心还与三角形的半周长关系密切.例 9.在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc

12、=2p.式中 r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与 a，b，c 相切的旁切圆半径, p 表示半周.( 杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设 RtAABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：P(P-c)=( p-a)( p-b).11p( p- c)=(a+b+c) (a+b- c)22=-(a+b)2- c24=-ab；211(p-a)( p- b)=(- a+b+c) (a- b+c)22=-c2-( a- b)2=丄ab.42 p( p-c)=( p-a)( p- b).观察图形，可得ra=AF- AC=p- b， rb=BG- BC=p- a， rc=CK=p.1而 r= (a+b-

13、 c)2=p- Gr+ra+rb+rc=(P-+( p- b)+( p- a)+ p=4 p-( a+b+=2 p.由及图形易证.例 10. M 是厶 ABC 边 AB 上的任意一点.r1, r2，r 分别是 AMC， BMC，ABC 内切圆的半径，q1, q2，q 分别是上述三角形在/ ACB 内部的旁切圆半径.证明:r1Dr- - -qiq2q(IMO-12)分析：对任意AB C,由正弦定理可知8 / 8六、众心共圆这有两种情况：（1）同一点却是不同三角形的不同的心； （2）同一图形出现了 同一三角形的几个心.例 11.设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB=BC,CD=DE, EF=

14、FA.试证：（1） AD，BE, CF 三条对角线交于一点；（2）AB+BC+CD+DE+EF+FAAAK+BE+CF.（1991 ，国家教委数学试验班招生试题）分析：连接 AC, CE, EA,由已知可证 AD, CF , EB 是厶 ACE 的三条内角平分线，IACE 的内心.从而有 ID=CD=DE,IF=EF=FA, IB=AB=BC.再由 BDF，易证 BP,DQ ,FS 是它的三条高，I 是它的垂心，禾用等式有：Erd6sBI+DI+FI 2 (IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP , IA=2IQ , IC=2IS. BI+DI+FI IA+IE+IC. AB+BC+CD+

15、DE+EF+FA=2( BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+( BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I 就是一点两心.例 12.AABC 的外心为 O, AB=AC, D 是 AB 中点，E 是厶 ACD 的重心.证明tg2tg -CMAtg-CNBtgBq22222riqB rA _tgitgi=qAOD=OA sin2C=AB=ABB sin2sinAOBsidO E= A.OD亦即有.A . B sinsin2 2 .A B sin2B.tg 今 tgABcos cos22A Bsin2OOAD9 / 8OE 丄 CD.（加拿大数学奥林匹克训练题）分析：设 AM 为高亦为中线，取

16、 AC 中点F，E 必在 DF 上且 DE: EF=2:1.设 CD交 AM 于 G， G 必为 ABC 重心. 连 GE，MF，MF 交 DC 于 K.易证：11 1DG: GK=DC:（ ）DC=2:1.32 3 DG: GK=DE: EF GE/ MF. OD 丄 AB, MF / AB, OD 丄 MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是 ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.例 13.AABC 中/C=30, O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的E 点使得 AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE，OI=DE.（1988，中国数学奥林匹克集训题）分析

17、：辅助线如图所示，作/ DAO 平分线交 BC 于 K.易证 AIDAIBEIB，/AID=ZAIB=ZEIB.利用内心张角公式，有1/ AIB=90 +- / C=105,2/DIE=360 -105 X3=451vZAKB=30 +/DAO2=301+- (ZBAC-ZBAO)2=30+丄(ZBAC-60)2=11ZBAC=ZBAI=ZBEI.2 AK/ IE.由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK， DO 丄 IE，即 DF 是厶 DIE 的一条高.同理 EO 是厶 DIE 之垂心，OI 丄 DE.由ZDIE=ZIDO，易知 OI=DE.例 14.锐角 ABC 中，O, G，H 分别是外心

18、、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d外，重心到三边距离和为 d重，垂心到三边距离和为求证：1 d垂+2 d外=3 d重.分析：这里用三角法.设厶 ABC 外接圆半径为 1,三个内角记为 A, B,10 / 8C. 易知 d外=OO1+O2+OO3=cosA+cosB+cosC, 2d外=2(cosA+cosB+cosC).11 / 8/ AHi=sinB AB=sinB (2 sinC)=2sinB sinC, 同样可得 BH2 CH3. 3d 重= ABC 三条高的和=2 (sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB) HHi=cosC BH=2 cosB cosC.同样可得 HH2, HH3. d垂=日日汁HH2+HH3=2(cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)欲证结论，观察、，须 证 (cosB cosC+cosC cosA+cosA cosB)+( cosA+ cosB+cosC)=sinB sinC+sinC sinA+sinA sinB.即可.练习题1. IABC 之内心，射线 AI, BI, CI 交厶 ABC 外接圆于 A,B,C.则 AA+BB+CCAABC 周长.（1982