解三角形角度、高度问题

1、第2课时角度、高度问题【学习目标】1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见方法3能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题预匀新知夯实基删问题导学知识点一测量仰角（或俯角）求高度问题思考 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点 C,D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度 AB?（已知测角仪器的高是h）答案所以ACm解题思路是：在 ACD中,sin 3 sin( a 3)AC =msin Bsin (a肛在 RtAEC 中，AE = ACsin a, AB=AE+h.梳理 问题的本质如图，已

2、知 /AEC为直角，CD = m，用“，8 m表示AE的长，所得结果再加上h.知识点二测量方向角求高度A处时测得公路北侧远处一山顶思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到D在北偏西75°的方向上，行驶 5 km后到达B处，测得此山顶在北偏西 65°的方向上，仰角为8°,怎样求此山的高度 CD? .一一、一,5sin 15 °.答案先在 ABC中，用正弦定理求BC=高彳再在RtA DBC中求DC = BCtan 8 .梳理 问题本质如图，已知三棱锥D ABC, DC，平面ABC, AB=m,用& & m, 丫表示DC的长.思考辨

3、析判断正误1 .在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针.(X)2 .在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.")题型探究启迪思维探究重点类型一测量仰角（或俯角）求高度问题例1如图所示，D, C, B在地平面同一直线上，DC =10 m,从D, C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高 AB等于（）A.10 mB.5 . 3 mC.5（5一1） mD.5（V3+ 1） m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 D解析 方法一 设AB=x m,则BC = x m.BD = (10+x) m. tan

4、/ ADB = AB-=亚DB 10+x 3 .解得 x= 5( 3+1) m.A点离地面的高 AB等于5(43+ 1)m.方法二 . /ACB = 45°,ACD = 135°,/ CAD = 180° 135° 30° = 15°.CD10.sin 15 s 1n 3020，AB = ACsin 45 = 5(73+ 1) m.反思与感悟(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.跟踪训练1某登山队

5、在山脚A处测得山顶B的仰角为35。，沿倾斜角为20。的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°,则山的高度为 m.(精确到1 m)答案 811解析如图，过点D作DE/AC交BC于E,因为 ZDAC = 20°,所以 ZADE = 160°,于是 ZADB = 360 - 160 - 65 = 135°.又/BAD = 35°20°=15°,所以 ZABD = 30°.在4ABD中，由正弦定理，得ADsinZ ADB 1 000 x sin 135AB=. / A_sin / ABDsin 30&#

6、176;=1 000 2(m).在 RtABC 中，BC=ABsin 35811(m).答山的高度约为811 m.类型二测量方向角求高度问题例2如图所示，A, B是水平面上的两个点，相距 800 m,在A点测得由正弦里,得AC=sinDsin /ADC山顶C的仰角为45°, / BAD = 120°,又在B点测得/ ABD=45°,其中D点是点C到水平面的垂足，求山高 CD.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度解 由于 CD,平面 ABD, /CAD=45°,所以 CD = AD.因此只需在 4ABD中求出AD即可,在4ABD 中，/BDA =

7、180°45°120 =15°,AB AD田sin 15 丁 sin 45 °2得 AD="800 X年-=800(73+1)(m).V6-V24即山的高度为 800（ .3+ 1） m.反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点 所在直线不经过 “目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题 .跟踪训练2如图，为测得河对岸塔 AB的高，先在河岸上选一点 C,使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m

8、到位置D,测得/ BDC= 45°,则塔AB的高是（）A.10 mC.10 .3 m考点解三角形求高度B.10 . 2 mD.10 . 6 m题点 测量方向角、仰角求高度答案 D解析 在 4BCD 中，CD=10 m, Z BDC = 45°,Z BCD= 15 +90 = 105°, /DBC = 30°,由正弦定理，得BCCDsin/BDC sin/DBCBC =10sin45sin 30°,= 10 2(m).,一 AB一在 RtABC 中，tan 60 =由，AB=BCXtan 60 = 10V6(m).类型三航海问题例3如图，在海岸A

9、处发现北偏东45°方向，距A处($31)海里的B处；有一艘走私船.在A处北偏西75。方向，距A处2海里的C处的我方缉私产船奉命以10班海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30。方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求 出所需时间.考点解三角形求距离题点测量方向角求距离 解 设缉私船应沿 CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD= 10433 BD =10t,在4ABC中，由余弦定理，有BC2= AB2 + AC2-2AB ACcos A=(731)2+222(731) 2 cos 120 = 6.bc = 6.又

10、- -BC- sin AACsin/ABC'./a AC sin A 2 sin 120 。啦sin/ABC = = +，又/ABCC(0； 60 ),ABC = 45°, .B点在C点的正东方向上, ./ CBD = 90°+ 30 =120O,在ABCD中，由正弦定理得BDCDsinZ BCD sin/CBD' .sin / BCD =BD sin/ CBDCD10t sin 12010 3t又/ BCD C (0 °,60 ), ./ BCD = 30°,.缉私船沿北偏东60。的方向行驶又在 4BCD 中，/CBD=120°

11、;, Z BCD = 30°,./D = 30°,，BD = BC,即 10t=/6.t=迪小时=15分钟.10.缉私船应沿北偏东 60。的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角（方向角），二要弄清不动点（三角形顶点），然后根 据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练3甲船在A点发现乙船在北偏东 60。的B处，乙船以每小时 a海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时 Wa海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 考点解三角形求距离题点测量方向角求距离解 如图所示 设经过t小时两船在C点相遇,则在4ABC中

12、，BC= at（海里）,AC=V3at（海里）,ACsin BB = 90°+ 30 = 120°, BCrh sin / CAB3BCsin B at x sin 120 ° 21Sin/CAB= AC =F30 一飞=2,0°<ZCAB<60° , . CAB =30°, ./ DAC =60 - 30 =30°,甲船应沿着北偏东 30。的方向前进，才能最快与乙船相遇检测评价达标过关A H达标检测1.某公司要测量一水塔 CD的高度，测量人员在地面选择了 A, B两个 观测点，且A, B, C三点在同一直线上，

13、如图所示，在 A处测得该水塔顶端D的仰角为 %在B处测得该水塔顶端 D的仰角为3若AB =a,0<火”<2,则水塔CD的高度为（asin (a 3 yin aBasinsinj3.sin(a 3)asin C.一"一3,in 3sin aasin aD.sin(a 3sin 3考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案解析根据题意知，在4ABD中,/ADB=a 3,由正弦定理，得 a二sin（ a 3）蚂即AD sin 3asin 6 . sin (a 3)在 RtAACD 中，CD = ADsinasin asin 3 a=.sin( a 3)2.如图所示，在坡度

14、一定的山坡 A处测得山顶上一建筑物 CD的顶端C 对于山坡的斜度为 15°,向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD = 50 m,山坡对于地平面的坡度为a则cos 0E等于（A虫AA. 2B.-22 C. ,3-1 D. 2-1考点解三角形求角度题点解三角形求角度答案解析 ABAC在AABC中，由正弦定理得snA3r三行改，. ac=100m,AC在ADC 中，C- . ysin(。+ 90°) sin 15CD .cos 0= sin( 0+ 90 ) = AC sin 15 =V31. CD3.一架飞机在海拔 8 000 m的高度

15、飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30 °和则这个海岛的宽度为m.(精确到0.1 m)考点解三角形求宽度题点已知高度、俯角（仰角）求宽度答案5 856.4A， sin 3解析tan 308 000 tan 45=5 856.4(m).4 .甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60。，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30。,则甲、乙两楼的高分别是 .考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案20J3米，40费米 3解析 甲楼的高为20tan 60 =20X/=20，3（米），乙楼的高为20,3 20tan 30 = 204320X乎=生斗3（米）. 335 .某船开始

16、看见一次T塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东 60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.考点解三角形求距离题点测量方向角求距离答案 15,3解析设灯塔位置为A,船的初始位置为 O,船的终止位置为 B,由题意知 /AOB=30°, ZOAB=120°,则/OBA = 30°,所以由正弦定理，得 AB=1543,即此时船与灯塔的距离是15 ,3 km.规律与方法-11 .在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐,如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题

17、目条件来选择最佳的计算方式.2 .测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.注重双基强化落实课时对点练、选择题1.为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°俯角为45°,那么塔AB的高为（A.20 / mB.20 1 +C.20(1 + 小)mD.30 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案解析塔的高度为 20tan 30 + 20tan 45 = 20J1 +,故选A.继续

18、在3 .在某个位置测得某山峰仰角为以对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2 H地面上前进200y3 m以后测得山峰的仰角为 4仇则该山峰的高度为（）A.200 m B.300 m C.400 m D.100 ,3 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 B解析 如图，ABED, 4BDC为等腰三角形，BD = ED = 600 m, BC= DC = 20073 m.在ABCD中，由余弦定理可得cos 2 0=6002+ (200* j (20073 22X 600X 200v30°<2长90°,2 0= 30°, 4 0= 60°

19、;.在 RtAABC 中，AB = BCsin 4 0= 200mx 乎=300(m),故选B.B岛望C岛4 .海上有A, B两个小岛相距10 n mile ,从A岛望C岛和B岛成60 °的视角，从和A岛成75。的视角，则B, C间的距离是（）A.10 3 n mileB. 3n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile考点解三角形求距离题点测量方向角求距离答案 D解析 在 ABC 中，C= 180°60° 75 =45°.BC AB . BC 10由正弦7E理,住F . . 一 小， ，仁 ,。s sin A sin C sin 60s

20、in 45 '解得 BC = 5m n mile.5 .已知两座灯塔 A, B与海洋观察站 C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔8的（）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°考点三角形中角度的求解题点三角形中角度的求解答案 B解析 如图，因为4ABC为等腰三角形，1所以 ZCBA = 2（180 -80 ）=50 ,60 -50 = 10°,故选 B.5.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30 °,看正南方向有一只

21、船俯角为45 °,则此时两船间的距离为（）A.2h米B.亚米C.gh米D.2V2h 米考点解三角形求距离题点测量俯角（仰角）求距离答案 A解析如图所示,L/ i_u 产、BC=73h, AC=h,4y必f 广二I-1 -. AB = #h2+ h2 = 2h（米）.a6 .某人在C点测得某塔在南偏西 80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东400方向前进10 m到D,测得塔顶A的仰角为30。，则塔高为（）A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 C解析如图，设塔高为h,在 RtAAOC 中，/ACO = 4

22、5°, 则 OC = OA=h.在 RtAAOD 中，Z ADO = 30 °, 则 OD = q3h.在OCD 中，/OCD = 120°,CD = 10,由余弦定理，得 OD2=OC2 + CD22OC CDcosZ OCD ,即h/3h)2=h2+1022hx 10X cos 120 ；h2-5h- 50=0,解得 h = 10 或 h=5(舍).即塔高为10 m.7 .一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30分钟后到 达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔

23、, 其方向是北偏东65°,那么B, C两点间的距离是（ ）A.102海里B.10V3海里C.20y3海里D.20血海里考点解三角形求距离题点测量俯角（仰角）求距离答案 A解析如图所示，易知，在 ABC 中，AB=20, /CAB = 30°, /ACB=45°,根据正弦定理得BC AB=一sin 30 sin 45 '北解得BC=10叵8 .要测量河流一侧某建筑物的高度，在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点，在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45。，30。，在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两地连线所成的角为120。，甲、乙两地相距 500 m,

24、则该建筑物的高度是（）A.100 ,2 mB.400 mC.200 ,3 mD.500 m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB = h,在RtABC中，由已知得 BC = h.在 RtABD 中，A 由已知得BD = d3h."卜，t，人e在4BCD中，由余弦定理C号7口乙BD2=BC2+CD22BCXCDXC0S/BCD,得 3h2=h2+ 5002+hx 500,解得h= 500（m）（负值舍去）.故选D.、填空题9 .如图所示为一角槽，已知 ABXAD, ABXBE,并测量得 AC = 3 mm, BC=2/ mm, AB= &g

25、t;/29 mm,贝U/ACB =.考点解三角形求角度题点解三角形求角度 答案 解析 在 ABC中，由余弦定理，得cos/ ACB =32+ 2 2 2 129 22X3X2m一一一 .3 兀因为/ACB （0,女 所以/ ACB=7.10 .如图，测量河对岸的塔高 AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个 测点C与D,测得/ BCD = 15°, /BDC = 30°, CD = 30米，并在点 C测 得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB =米.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度答案 15 6解析在 BCD中， /CBD= 180° 15

26、76;30°= 135°.由正弦定理，得BCCD, _ , _sin/BDC sin/CBD也'30sin 30 ,大 所以BC=*k三15也 在 RtABC 中，AB=BCtan/ACB=15/2xtan 60 =15m（米）.11 .如图，A, B, C, D都在同一个与水平面垂直的平面内，B, D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A处测得B点和D点的仰角分别为75°, 30°,于水面C处测得B点和D点 的仰角均为60°, AC=0.1 km.若AB=BD,则B, D间的距离为 km.考点题点答案解析解三角形求距离测量俯角（仰

27、角）求距离3 ；2+、620在 ABC 中，7BCA = 60°,ZABC=75°-60 =15O, AC=0.1 km,由正弦定理,得SinABCAMgCBC,所以AB =Olsin 60 sin 15 °3班十加20（km），又因为BD = AB,所以BD =3 ；2+、620(km).三、解答题12.如图所示，在地面上共线的三点A, B, C处测得一建筑物的仰角分别为30°, 45°, 60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度解设建筑物的高度为 h,由题图知，PA= 2h, P

28、B= V2h, PC=233h, 在4PBA和PBC中，分别由余弦定理,602+2h24h2cos/ PBA=l,2X 60X 2h '602+2h24h2 cos/ PBC=F-.2X60X/2h . / PBA+ / PBC=180°, .cos/PBA+cos/ PBC = 0.d由，解得h=30%或h=30乖（舍去），即建筑物的高度为3076 m.13.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15。方向行驶，若甲船以 28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？考点解三角形求距离题点测量方向角求距离c解 如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在 C处相遇.在 ABC 中，AC=28t, BC = 20t, AB = 9,/ ABC= 180 -45 - 15 =120°.由余弦定理得 AC2= AB2+ BC2-2AB BCcos/ ABC,即(28t)2 = 92 + (20t)2-2X 9X 20tx 丁 223 ,、9 128t60t27=0, .= 7或 t=茄(舍去),432甲船用3小时能最快追上乙船 四、探究与拓展14.某人在塔的正东沿着南偏西 60。的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°,则塔高为 m.考点解三角形求高度题