幂函数的图像性质和应用

1、幂函数幂函数 分数指数幕 正分数指数幕的意义是： m an （a 0， m、n N，且 n 1） 负分数指数幕的意义是： m 1 a n （a 0， m、n N，且 n 1） n m 1、幕函数的图像与性质 幕函数y xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质 1 1 和图像分类记忆的方法.熟练掌握y xn，当 n 2, 1, -,- ,3 的图像和性质, 2 3 列表如下. 从中可以归纳出以下结论： 它们都过点 1,1，除原点外，任何幕函数图像与坐标轴都不相交，任何幕函 数图像都不过第四象限. 1 1 a丄，丄,1,2,3 时，幕函数图像过原点且在 0, 上是增函数. 3 2

2、 1 a 丄，1, 2 时，幕函数图像不过原点且在 0, 上是减函数. 2 任何两个幕函数最多有三个公共点. n y x 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 n 1 y p. q :y . p. r x x O x 0 n 1 y 厂 y J 1 y J x O x O x 规律总结 1 在研究幕函数的性质时，通常将分式指数幕化为根式形式，负整指数幕 化为分式形式再去进行讨论； 2 对于幕函数 y 二x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性， 由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 v 0, 0v v 1 和 1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意 二 0，1 三个曲线的形状；

3、对 于幕函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小 横”，即0 （胡）时图象是抛物线型； v 0 时图象是双曲线型； 1 时 图象是竖直抛物线型；0 v v 1 时图象是横卧抛物线型.3 2、幕函数的应用 例 1、 幕函数y x帀 n N，且 m、 n互质)的图象在第一，二象限，且 不经过原点，则有 (A) m、n为奇数且m 1 n (B) m为偶数，n为奇数，且 (C) m为偶数，n为奇数，且 m 1 n m 1 n (D) m奇数，n为偶数，且 例 2、 右图为幕函数 y 在第一象限的图像，则 a, b,c, d的大小关系是 ( (A) a b c (B)b (C)

4、a b d (D)a 例3、 (1 (3) 解：取 x 由图像可c,应选(C). 比较下列各组数的大1 1 1.53，1.73，1 ; 2 迈3 10 2 ， 7 1. 解：(1)底数不同, 指数相同的数比大小, b x c 3 可以转化为同一幕函数，不同函数值的大小问题. 1_ y x3在 0, 上单调递增，且 1.7 1.5 1， 1 1 1.73 1.53 1 . (2 )底数均为负数，可以将其转化为 7 10 点评：比较幕形式的两个数的大小，一般的思路是: (1 )若能化为同指数，则用幕函数的单调性; (2 )若能化为同底数，则用指数函数的单调性; (3)若既不能化为同指数，也不能化为

5、同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小. 解得：a , 1 U 2,3 . 3 2 2 例 3已知幕函数 y xm 2m3丄 m Z )的图象与上轴、y 轴都无交点，且关于 原点对称，3 3 7 3 y x7 在 3 0, 3 3 .5 7. 上单调递增，且 3 ,5 7 , 3 7 、乞，即,5 7 .5 . 3 3 歹 辽，辽， 3 -2 7， (3)先将指数统一，底数化成正数. 10 7 10 7 1. 0, 上单调递减, 7 10 1.21 , 1.2 即1. 例 4、 若a 1 2a ，求实数a的取值范围. a , r八 a 1 0 亠 有三种可能： 或3 3 2a 0 1

6、 0 2a 0 1 3 2a 1 2a 1 0 0 ， 3 2a 求m的值. 2 解：幕函数 y xm 2m 3 ( m Z )的图象与x轴、y 轴都无交点， 2 m 2m 3 0 ,. 1 m 3; m Z , (m2 2m 3) Z，又函数图象关于原点对称， m2 2m 3是奇数， m 0 或 m 2 . 例 4、设函数 f (x)= x3， (1 )求它的反函数； (2)分别求出 厂(x)= f (x)，厂1 (x) f (x)，厂(x)v f (x)的实 数 x 的范围. 1 解析：(1)由 y=x3两边同时开三次方得 x= 3 y，广(x)= x3. 1 (2 函数 f (x)= x

7、3和广(x)= x3的图象都经过点(0, 0)和(1，1). 1 f (x)= f (x)时，x=1 及 0; 在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知 f 1 ( x) f ( X)时，xv 1 或 0 V XV 1 ； f (x)v f (X)时，x 1 或一 1 v xv0. 点评：本题在确定 x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或 方程则较为麻烦. 2 1 例 5、求函数 y= x5 + 2x5 + 4 (x-32)值域. 1 2 2 解析：设 t = x5 , x 32,二 t 2,则 y = t + 2t + 4=( t + 1) + 3. 当 t =一 1 时，m

8、in = 3 .2 1 函数 y= x5 + 2x5 + 4 (x- 32)的值域为3, + ). 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法. 【同步练习】 1.下列函数中不是幕函数的是（ ） A. y 仮 B y 3 x C. y 答案：C 2.下列函数在 ,0 上为减函数的是（ 1 A. y x3 B. y 2 x C. y 答案：E 3.下列幂函数中疋义域为 x x 0 的是 （ 2 3 A. y x3 B y x2 C. y 答案：D 4.函数 y=(x2- -2x) 1 2 的定义域是（ A. X|XM 0 或 XM2 B.( %, 0) + 7 D. (0, 2) 2x D. y

9、 x 解析：函数可化为根式形式，即可得定义域. ) 3 2 x D. y x ) 2 3 X 空 D. y x 2 ) (2,+x) C. (-X, 0 门 2, 答案：B 1 5.函数 y=（ 1 x2） 2的值域是（ A. 0,+7 B. (0, 1) C. (0, 1) D. 0, 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令 t = 1 x2，则 l t . K x 1，二 0 t 1,二 0 y 1 B. a0 C. 1a0 D. 1 a0 解析：运用指数函数的性质，选 C. 答案：C 8. _ 函数 y= . (15+2x x2)3的定义域是 _ 。 2 a 解析：由(15 + 2

10、x x ) 0.二 15+ 2x xv20.A 3x0 . y0. (3) f ( x)= V( x)2 = 5； x2 = f (x)， 2 函数 y= x5是偶函数； 2 (4) v n= 0, 5 2 幕函数 y= x5在0,+ 上单调递增. 2 由于幕函数 y= x5是偶函数， 2 幕函数 y= x5在(，0) 上单调递减. (5) 其图象如下图所示. 12 .已知函数 y= 4152x x2 . (1) 求函数的定义域、值域； (2) 判断函数的奇偶性； (3) 求函数的单调区间. 解析：这是复合函数问题，利用换元法令 t 二 15 2x x2，则 y= 4t , (1) 由 15 2x x2 0 得函数的定义域为5, 3 ， .t = 16( x 1) 2 0，16.函数的值域为0, 2 . (2) v函数的定义域为5, 3且关于原点不对称，.函数既不是奇函 数也不是偶函数. (3) v函数的定义域为5, 3,对称轴为 x= 1 , .x 5, 1 时，t 随 x 的增大而增大；x (1, 3)时，t 随 x 的增