第八章静电场中的导体和电介质(精)

1、第八章 静电场中的导体和电介质一、基本要求1 .理解导体的静电平衡，能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强 分布和电势分布的特点。2 . 了解两种电介质极化的微观机制，了解各向同性电介质中的电位移和场强的 关系，了解各向同性电介质中的高斯定理。3 .理解电容的概念，能计算简单几何形状电容器的电容。4 . 了解电场能量、电场能量密度的概念。二、本章要点1 .导体静电平衡导体内部场强等于零，导体表面场强与表面垂直；导体是等势体，导体表面是等 势面。在静电平衡时，导体所带的电荷只能分布在导体的表面上，导体内没有净 电荷。2 .电位移矢量在均匀各向同性介质中D=£ E=£

2、0 e rE介质中的高斯定理D? ds=EQi自si3 .电容器的电容C=电容器的能量Q ?U1Q2W= 2C4 .电场的能量电场能量密度w=电场能量1 E? D 2W=? VwdV三、例题8-1下列叙述正确的有(B)(A)若闭合曲面内的电荷代数和为零，则曲面上任一点场强一定为零。(B)若闭合曲面上任一点场强为零，则曲面内的电荷代数和一定为零。103(C)若闭合曲面内的点电荷的位置变化，则曲面上任一点的场强一定会改变。(D)若闭合曲面上任一点的场强改变，则曲面内的点电荷的位置一定有改变。(E)若闭合曲面内任一点场强不为零，则闭合曲面内一定有电荷。i解：选(B)。由高斯定理E?ds=Eqi/ ,

3、c由Eq=0?小=0但场强则 不一定为零，如上题。(C)不一定，受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。(D)曲面上场强由空间所有电荷产生，改变原因也可能在外部。(E)只要通过闭曲面电通量为0,面内就可能无电荷。8-2如图所示，一半径为R的导体薄球壳，带电量为 -Q1,在球壳的正上方距球 心O距离为3 R的B点放置一点电荷，带电量为+Q2。令8处电势为零，则薄球壳上电荷-Q1在球心处产生的电势等于 , + Q 2在球心处产生的电势等于,由叠加原理可得球心处的电势U 0等于;球壳上最高点A处的电势为 解：由电势叠加原理可得，球壳上电荷-Q1在。点的电势为U1=-点电荷Q 2在球心的电势为

4、Q14t £ 0RU2=所以,O点的总电势为 Q2Q2 =41e?3R12兀£ 0RU0=U1+U2=由于整个导体球壳为等势体，则 Q2-3Q1 12 e 0RUA=U0=Q2-3Q1 12 & 0R8-3两带电金属球，一个是半径为2 R的中空球，一个是半径为R的实心球，两 球心间距离r ( >>R),因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的，空心球电 势为U1,实心球电势为U 2,则空心球所带电量Q 1=,实心球所带电Q2=o若用导线将它们连接起来，则空心球所带电量为2两球电势为o解：连接前，空心球电势 U1=Q1,所以带电量为4兀 e 02R 104Q

5、1=8兀£ 0RU®心球电势 U2=Q24九£ 0所以带电量为Q2=4兀 & 0RU2连接后，两球电势相等，但总电量不变。有'=U2'=U'或 U1Q1'8 兀 £ 0R='Q24九 e 0RQ'1+Q'2=Q1+Q2联立解得Q1'=8 兀 £ 0R2U1+U2(2U1+U2 U'= 338-4 一不带电的导体壳，壳内有一个点电荷 q0,壳外有点电荷q1和q2。导体壳 不接(A) q1与q2的电量改变后，壳内场强分布不变。(B) q1与q2在壳外的位置改变后，壳内的

6、场强分布不变。(C) q0的电量改变后，壳外的场强分布不变。(D) q0在壳内的位置改变后，壳外的场强分布不变。8-5如图，半径为R的不带电的金属球内有两个球形空腔，在两个空腔中分别放 点电荷q1和q2,在金属球外放一点电荷q3,它们所带电荷均为q。若q1和q2 到球心距离都是地，下列说法中正确的是(A、B、D);若导体壳接地，下列说 法中正确的是(A、B、C、D) 。 R/2, q3到球心距离r>>R,则q1受力为 , q2受力为, q3受力约为。解：q1、q2受力为0o球为等势体，球外表面感应电荷均匀分布，电场在球外也呈径向对称分布。由高斯定理球外场强为E=所以，q3受力约为q

7、1+q2 4兀£ 0r2q3(q1+q2)2q2F=224 兀 £ 0r4 tt £ 0r8-6半径分别为R 1和R2 (RKR2 )互相绝缘的两个同心导 体球壳，内球带电+Q。取地球与无限远的电势均为零。求(1)外球的电荷和电势。105(2)将外球接地后再重新绝缘，此时外球的电荷和电势。(3)再将内球接地，此时内球的电荷。解：(1)由于内球带电+Q,由静电平衡条件和高斯定理知，外球壳内表面带 电-Q,外表面带电+Q。因为外球壳外面的场强为E=所以，外球的电势为 Q4冗£ 0r2(r>R2)U=?ooR2 87 dr=? Q4兀 & 0r2

8、R2dr=Q4 兀 8 0R2(2)外球接地，内表面电量不变，外表面电量变为零，电势为零。(3)将内球接地后，内球电势为零。设内球电量变为q,则U=q4 九 & 0RQ4兀 & 0R2=0 q=R1Q R28-7在半径为R 1的均匀带电Q的金属球外有一层相对介电常数为&均匀电介质，外半径为R 2,画出电势Ur关系曲线和场强Er关系曲线（r是球心到场 点之间的距离）。解：利用高斯定理2D? ds=D? 4 兀 r=Qft 自 sD=Q内自4兀r曲于D=e E,且? 0? Q 内自=? Q?Q?所以，场强分布为r<R1R1<r<R2 r>R2? 0?

9、 Q? E=? 2? 4 兀 e0 £ rrQ? 4兀 e r20? r<R1R1<r<R2 r>R2106下面求电势分布：r>R2 时U=?0°rooE? dr=?RQ4九 & 0r2dr=Q4兀 £ 0rR1<r&R2寸U=? = oo rR2E? dr=? rQ4 兀 £ 0 £ rrQ +2 dr+?Q ooQ4兀 £ 0r2R2drQ4 兀 £ 0 £ rr -4 九 e 0 e rR24 兀 & 0R2 r &R时U=?OOR1R2E?

10、dr=? 0dr+? rR1Q4 兀 £ 0 £ rrQ2 dr+?Q ooQ4兀 £ 0r2R2 drQ4 兀 £ 0 £ rR1 -4 九 e 0 e rR24九 e 0R2Ur曲线和Er曲线如图所示：8-8如图，一无限大均匀带电介质平板A ,电荷面密度为 (7 1,将介质板移近导体 B后，B导体外表面上靠近P点处的电荷面密度为6工P点是B导体表面外靠近导体的一点，则P点的电场强度大小为 o解：仅知P点附近电荷面密度，其它地方不知，不能用场强叠加方法。做如图所示的高斯面，其底 面面积s很小，可认为s面上各点场强相等。由于导体表面是等势面，所

11、以 s面 上各点场强垂直于导体表面。P点在底面上，另一底面在导体内部，面上各点场 强为零。由高斯定理，得EPs=(r 2s/ £ 0 EP=(T 2/ £ 08-9107A两侧的面电荷密度分别为(H和6%则B的面电荷密度 繇于将一带电导体平板A和一电介质平面B平行放置，如图所示。在真空中平衡后,解：在导体平板内任找一点 P,则(T(T(T EP=E1-E3=0=1-2-3=0 2 8 02g 02 e 0所以3 3= C- IcT 28-10半径为R、相对介电常数为 e均匀电介质球中心放一点电荷Q,球外是真空，在距中心r>R的P点场强大小为 解：利用高斯 定理容易求得

12、P点场强E=Q4九 e 0r2 8-11平行板电容器中充满某种均匀电介质，电容器与一个电源相连，然后将介质 取出，则电容器的电容量C、电量Q、电位移 D、电场强度E、板间电压U与取 出介质前相比，增大的有 ,减小的有,不变的有 解：介质取出前，有E=Ue Ue s £ s D= e E= C= Q=U dddd 介质取出后，有E=£ Ue s £ sU D=0 C=0 Q=0U dddd所以，各量均无增大，减小的有 C、Q、D,不变有E、U。8-12 一球形电容器由半径为R的导体球壳和与它同心的半径为4 R的导体球壳所 组成，R到2 R为相对电容率为er=2勺电介

13、质，2 R到4 R为真空。若将电容器两极板接在电压为U的电源上，求(1)电容器中场强的分布；(2)电容器的电容。-Q,由高斯定理容易求得场强分布 解：不妨先设内外球壳电量分别为+Q、Q? 4 兀 e 0 e rr2E=? Q? 2? 4 兀 e 0rR<r<2R2R<r>4R电容器两极板之间的电压为4R 2R4RQ QQ =U=? E? dr=? dr+dr? 2R4兀 6 0r2RR4 兀 & r r28 兀 e 0R0r所以Q二8 九 6 0RU108(1)电容器中场强的分布?RU?2E=?r2RU?2?r(2)电容器的电容 R<r<2R 2R&

14、lt;r>4RQ=8兀 & 0R UC=8-13半径分别为R 1和R 2的同轴导体圆筒间充满相对电容率为e的均匀电介质。现使圆筒带电，单位长度电荷 各为+入1（内筒）和十入2（外筒），如图所示。（1）求两筒间的电压；（2）设轴线上电势为零，分别求P点和Q点的电势。（P和Q与轴分别相距rP和rQ）解：（1）场强分布为? 0? E=?入 1? 2 兀 e 0 £ rr两筒间电压r<R1R1<r<R2U=? R2R1 R2E? dr=? R1 入 1 入 1dr=lnR2/R1 2 兀 e 0 e rr2 兀 e 0 e rUP=0 （2）设轴线上电势为零，则UR1-UQ=? Edr=? RlrQrQRI入 1 入 1dr=lnrQ/R1 2 兀 e 0 e rr2 兀 e 0 e rUQ=-入 1lnrQ/R1 2 tt £ 0 £ r8-14将一空气平行板电容