矩形菱形正方形能力提升训练

1、矩形菱形正方形能力提升训练矩形菱形正方形能力提升训练、选择题1. 在菱形ABCD中，AB=5cm,则此菱形的周长为（）9 / 16A. 5cmB.15cm2 .如图，矩形ABCD的对角线交于点C. 20cmD. 25cmO,若/ACB=30°, AB=2,贝U OC 的长为（A. 2B. 3C. 2.D. 43 . 如图，在菱形ABCD中，AB=8,点E, F分别在AB, AD上，且AE=AF,过点E作EG /AD 交CD于点G,过点F作FH /AB交BC于点H , EG与FH交于点O.当四边形 AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A. 6.5 B. 6 C.

2、 5.5 D. 54.如图，已知正方形 ABCD,点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F,连接BF,下 列结论： szabf=Saadf； Szcdf=4Szcef ；Szadf=2Sacef； Smdf=2Sacdf ,其中正确 的是（）A. B. C. D.5.如图，已知AABC, AB=AC,将AABC沿边BC翻转，得到的ADBC与原BBC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形 ABDC是菱形的依据是（）A. 一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形6. 如图，在菱形 ABCD中，AC=8, BD

3、=6,则4ABC的周长是（A. 14B. 16C. 18D. 207.中，E 为 AB 中点，FE4B, AF=2AE, FC 交 BD 于。，则/DOCD如图，正方形 ABCD 的度数为（A. 60B. 67.5C. 75D. 548. 如图，矩形ABCD的对角线 AC与BD相交于点 O, "DB=30°, AB=4,则OC=(A. 5B. 4C. 3.5D. 39. 如图，在矩形ABCD中BC=8, CD=6 ,将那BE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线 BD 上F处，则DE的长是（）A. 324 B.5C. 5D.891610.如图，点E、F、G、H分别为四边形四边形E

4、FGH ,下列说法正确的为(ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于 )A. 一定不是平行四边形C.可能是轴对称图形B. 一定不是中心对称图形D.当AC=BD时它是矩形二、填空题11 .如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE1BD,垂足为点E,若 ZEAC =2 ZCAD ,贝U ZBAE =度.12 .如图，已知菱形 ABCD的两条对角线长分别为 AC=8和BD=6,那么，菱形 ABCD的面 积为 .13 .如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则/CME 二14 .如图，菱形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点O,且

5、AC=8, BD=6 ,则菱形ABCD15 .如图所示，正方形 ABCD的边长为6,那BE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P,使PD + PE的和最小，则这个最小值为 .三、解答题16 .如图，在 Rt祥BC中，/B=90°,点E是AC的中点，AC=2AB, /BAC的平分线 AD交BC于点D,作AF/BC,连接DE并延长交 AF于点F,连接FC .求证：四边形 ADCF是菱形.17 .已知：如图，E为正方形 ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE = CF, 连接 DE , BF.求证：DE = BF.18.如图，DB /AC,且DB=

6、AC, E是AC的中点，(1)求证：BC=DE；(2)连接AD、BE,若要使四边形 DBEA是矩形，则给那BC添加什么条件，为什么?19.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点 A, C重合，过点P分别作边AB, AD的平行线，交两组对边于点E, F和G, H.(1)求证： APHCFP;(2)证明四边形 PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系.20.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知 AB=8.问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点，分别以 AP、BP为边在同侧作正方形 APDC、BPEF.(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗

7、？若是，请求出；若不是，请 求出这两个正方形面积之和的最小值.(2)分另I连接 AD、DF、AF, AF交DP于点K,当点P运动时，在AAPK、9DK、ADFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：(3)如图2,以AB为边作正方形 ABCD,动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且 PQ=8.若点P从点A出发，沿A-B-C-D的线路，向点 D运动，求点P从A到D 的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长.(4)如图3,在“问题思考”中，若点 M、N是线段AB上的两点，且 AM = BN=1,点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点 P从M至ij N的运动过程中，

8、GH的中点 O所经过的路径的长及 OM +OB的最小值.答案和解析【答案】1. C2, A3. C4. C 5. B 6. C 7. A8. B9, C10. C11.22.5 12. 24 13.45 14.4.8 15. 616.证明：上是AC的中点， .AE=CE, .AF /CD,jAFE = ZCDE , 在"FE和ACDE中，jZAFE = zlCDE ,乙AEF = ZCED ,I AE = CE EF0工ED (AAS). . AF=CD, .AF /CD, 四边形ADCF是平行四边形. 由题意知，AE=AB, ZEAD = /BAD, AD=AD, &EDM

9、BD (SAS). jAED=ZB=90 °,即 DF±AC. 四边形ADCF是菱形.17 .证明：.四边形ABCD是正方形， .BC=DC, /BCD=90° .E为BC延长线上的点， .zDCE=90°, ，zBCD=/DCE.在4BCF和4DCE中，Ubcd = dce , I CE = CF .-./BCFDCE (SAS), .DE=BF.18 . (1)证明：上是AC中点， 1 . ECdAC.1 .DB=-AC, J. DB 正C. ( 1 分)又.DB /EC, 四边形DBCE是平行四边形.（3分）. BC=DE.（4 分）（2）添力口

10、AB=BC.（ 5分）理由：.DB AE, 四边形DBEA是平行四边形.（6分） .BC=DE, AB=BC,.AB=DE. .?ADBE是矩形.（8分）19.证明：（1） .四边形ABCD为矩形, . AB /CD, AD/BC. PF /AB,. PF /CD, .CPF = ZPCH . . PH /AD, . PH /BC, ，zPCF = /CPH .在APHC和4CFP中，.CPF = ZPCH PC = CPUPCF =工 CPH.ZPHCCFP （ASA）（2） .四边形ABCD为矩形，.zD=ZB=90°.又.EF/AB 心D, GH/AD/BC, 四边形PEDH和

11、四边形PFBG都是矩形. .EF /AB, .CPF = /CAB.在 RtAAGP 中，ZAGP=90° , PG=AG?tan/CAB.在 RtCFP 中，/CFP=90°, CF=PF?tan/CPF.S 矩形 deph = DE ?EP=CF ?EP=PF ?EP ?tan /CPF ;S矩形 pgbf = PG?PF =AG?PF?tan/CAB=EP?PF ?tan/CAB . .tan/CPF=tan/CAB,. S 矩形 DEPH = S 矩形 PGBF .20.解：(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.设 AP=x,贝U PB=8-x, 根据

12、题意得这两个正方形面积之和=x2+ (8-x) 2=2x2-16x+64=2 (x-4) 2+32,所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32.(2)存在两个面积始终相等的三角形，它们是AAPK与4DFK.依题意画出图形，如答图 2所示.答图2设 AP=a,贝U PB=BF=8-a.PE/BF,PK AP PK a.：=,即 BF AB，8-a 8 '口一吟-PK=-JJ, 哪F /. DK=PD-PK=a-=, 88八 1 1 暇一力 _ a飞-a)八 1 1. S>aapk= PK?PA=? ?a=, Szdfk =- DK?EF =r - - ? (8-a)

13、=,2281622 g1.6- 'Sk：APK=SzDFK .(3)当点P从点A出发，沿A-B-C-D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上,若点P在点A,点Q在点D,此时PQ的中点。即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点 D,则点P在AB上，且不在点 A.此时在 Rt9PQ中，。为PQ的中点，所以 AO=PQ=4. 2所以点O在以A为圆心，半径为 4,圆心角为90。的圆弧上.PQ的中点O所经过的路径是三段半径为 4,圆心角为90。的圆弧，如答图3所示：答图3矩形菱形正方形能力提升训练所以PQ的中点。所经过的路径的长为：1*2兀><4=6兀4(4)点。所经过的路径

14、长为 3, OM+OB的最小值为币.如答图4-1,分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点 R、S、T,则四边形GRTH为 梯形.11 / 16AAfR PS T N B答图LI点O为中点，II. OS=; (GR+HT)=(AP+PB) =4,即 OS 为定值.点。的运动路径在与 AB距离为4的平行线上.MN=6,点P在线段 MN上运动，且点 。为GH中点，I.点。的运动路径为线段 XY, XY=MN=3, XY/AB且平行线之间距离为 4,点X与点A、点丫与点B之间的水平距离均为 2.5.如答图4-2,作点M关于直线XY的对称点M',连接BM',与XY交于点O.sr肛答

15、图L2由轴对称性质可知，此时 OM + OB=BM'最小.在RtBMM'中，MM' =2X4=8, BM=7,由勾股定理得：BM' =JmN/I日?=4手.OM+OB的最小值为 a13.【解析】1 .解：,.在菱形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA, AB=5cm, 菱形的周长=ABM=20cm； 故选C.根据菱形的四条边长都相等的性质、菱形的周长=边长必解答本题主要考查了菱形的基本性质.菱形的四条边都相等，菱形的对 角线互相垂直平分.2 .解：在矩形 ABCD 中，ZABC=90 °, ,. zACB=30 °, AB=2,. AC=2

16、AB=2 >2=4,四边形ABCD是矩形，1 _.OC=OA= AC=2. 2故选A.根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4,再根据矩形的对角线互相平分解答.本题考查了矩形的性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.3 .解：.四边形ABCD是菱形，. AD=BC=AB=CD, AD/BC, AB /CD ,. EG/AD, FH /AB,四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形,.AF=OE, AE=OF, OH=GC, CH=OG, .AE=AF,. OE=OF=AE=AF , .AE=AF, . BC-BH =

17、 CD-DG ,即 OH=HC=CG=OG,四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,. 4AE-4 (8-AE) =12, 解得：AE=5.5 , 故选C 根据菱形的性质得出 AD/EC, AB心D,推出平行四边形 ABHF、AEGD、GCHO ,得出AEOF与四边形CGOH是菱形.AF=FO=OE=AE和OH = CH=GC = GO,根据菱形的判定得出四边形 AEOF与四边形 CGOH是 菱形，再解答即可.此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的判定得出四边形4 .解：.四边形ABCD是正方形，. AD/CB, AD=BC=AB, /FAD = /

18、FAB,在FD和UFB中，AF = AF Z.FAD = ZFAB = ABAFDMFB,Ssbf=Saadf ,故正确，I 1.BE=EC=BCtAD, AD/EC, 22EC CF BF 1：= -= -= 7AD AF DF 2' Skcdf=2Sacef, Smdf=4Sacef , Szadf=2Sacdf , 故错误正确，故选C.由、5口0953,即可推出S3bf = Sadf,故正确，由BE=EC=BC= AD, AD /EC,推出22EC CF EF 1=，可得 Sacdf=2Sacef, Szadf=4Szcef , Saadf=2Sacdf ,故错误正确，由AD A

19、F DF 2此即可判断.本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.5.解：如图所示；人将"BC延底边BC翻折得到ADBC,/ '、. AB=BD, AC=CD,J'.AB=AC,.AB=BD=CD=AC,四边形ABDC是菱形；D故选B.根据翻折得出 AB=BD, AC=CD,推出AB=BD=CD=AC,根据菱形的判定推出即可.本题考查了菱形的判定和翻折变换的应用，解此题的关键是求出AB=BD=CD=AC,题目比较典型，难度不大.6 .解：.在菱形 ABCD 中，AC=8, BD=

20、6,. AB=BC, ZAOB=90 °, AO=4, BO=3 ,.BC=AB= ' =5, .ABC 的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18 .故选：C.利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案.AB是解题此题主要考查了菱形的性质、勾股定理，正确把握菱形的性质，由勾股定理求出 关键.7 .解：如图，连接 DF、BF. .FEAB, AE=EB,.FA=FB, .AF=2AE,. AF=AB=FB,，丛FB是等边三角形， .AF=AD=AB,.点A是 9BF的外接圆的圆心,矩形菱形正方形能力提升训练.zFDB=ZFAB=30°,.四边形ABCD是正

21、方形，. AD=BC, ZDAB = ZABC=90 °, ZADB = /DBC=45 °,.-.zFAD = ZFBC ,.-.ZFADFBC,.zADF = ZFCB=15°,. QOC=/OBC+/OCB=60故选A.解法二：连接 BF .易知 /FCB=15° , ZDOC = ZOBC + ZFCB=45° +15° =60°如图，连接DF、BF.如图，连接DF、BF.首先证明/FDB=1/FAB=30° ,再证明AFAD 0疔BC ,推出 "DF=/FCB=15° ,由此即可解决问

22、题.本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题.8 .解：.四边形ABCD是矩形，. AC=BD, OA=OC, ZBAD =90 °, jADB=30°,. AC=BD=2AB=8, 1. OC=fAC=4;故选：B.由矩形的性质得出 AC=BD, OA=OC , ZBAD=90° ,由直角三角形的性质得出 AC=BD=2AB=8, 得出OCAC=4即可.2此题考查了矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质.熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用.9 .

23、解：.矩形 ABCD, .,.zBAD=90°,由折叠可得ABEFBAE, .EFXBD, AE=EF, AB=BF, 在 RtAABD 中，AB=CD=6, BC=AD=8,根据勾股定理得：BD=10,即FD =10-6=4,设 EF=AE=x,则有 ED=8-x,根据勾股定理得：x2+42= (8-x) 2 ,解得：x=3,则 DE=8-3=5 ,故选：C.由ABCD为矩形，得到/BAD为直角，且三角形 BEF与三角形BAE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到 EF1BD, AE=EF, AB=BF ,利用勾股定理求出 BD的长，由BD-BF 求出DF的长，在RtAEDF中

24、，设EF=x,表示出ED,利用勾股定理列出关于 x的方程，求 出方程的解得到x的值，即可确定出 DE的长.此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.10 .【分析】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形.解决问题的关键是掌握三角形中位线定理.先连接AC, BD,根据EF=HG = AC, EH = FG= BD,可得四边形EFGH是平行四边形，当AC1BD时，ZEFG =90° ,此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD 时，EF=FG = GH = HE,此时四边形 EFGH是菱形，据此进行判断即可.【解答】解：如图

25、，连接AC, BD,F。点E、F、G、H分别为四边形 ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点, 11. EF=HG= AC, EH = FG= BD, 22 四边形EFGH是平行四边形， 四边形EFGH 一定是中心对称图形，当ACXBD时，ZEFG=90°,此时四边形 EFGH是矩形，当AC=BD时，EF=FG = GH=HE,此时四边形 EFGH是菱形， 四边形EFGH可能是轴对称图形.故选C.11.解：.四边形ABCD是矩形，.AC=BD, OA=OC, OB=OD,. OA=OB -OC,. QAD= /ODA , ZOAB=ZOBA ,BzAOE= JOAD + /ODA

26、=2 ZOAD , .zEAC=2/CAD, .zEAO=ZAOE, .AEXBD,jAEO=90 °, AOE=45°,1好. QAB=JOBA='=67.5 ； .SAE=/OAB-/OAE=22.5 :故答案为22.5.首先证明AAEO是等腰直角三角形，求出 ZOAB, /OAE即可.本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现小EO是等腰直角 三角形这个突破口，属于中考常考题型.12 .解：菱形的面积 二4X8=24,故答案为：24.直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可.本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一

27、切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半.13 .解：.四边形ABCD是正方形，.zB=90°, /ACB=45°,由折叠的性质得： ZAEM = ZB=90° ,CEM=90°,.©ME=90°-45 =45°故答案为：45°.由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果.本题考查了正方形的性质、折叠的性质；熟练掌握正方形和折叠的性质是解决问题的关键.14 .解：在菱形ABCD

28、中，AC1BD,.AC=8, BD=6,_ 1 _ _ _ 1_. OA= AC= = X8=4, OB= BD=_X6=3,2222在 RtAAOB 中，AB=JaO2 i BO3 =5,. DH 1AB,.菱形 ABCD 的面积= AC?BD=AB?DH ,2即-X6X8=5?DH ,解得 DH=4.8,故答案为：4.8.根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB,再根据勾股定理列式求出AB,然后利用菱形的面积列式计算即可得解.本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，根据菱形的面积的两种表示方法列出方程是解题的关键.15 .解：设BE与AC交于点P,连接BD,0口点B与D关于A

29、C对称，PD=PB,. PD + PE=PB+PE=BE 最小.即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；E 匕.正方形ABCD的边长为6, .AB=6.又./ABE是等边三角形， . BE=AB=6 .故所求最小值为6.故答案为：6.由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小, 而BE是等边那BE的边，BE=AB ,由正方形ABCD的边长为6,可求出AB的长，从而得出 结果.此题主要考查轴对称 -最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题.16. 先证明AAEF0工ED,推出四边形 ADCF是平行四边形，再证明 小ED09BD,推出 DFLAC,由此即可证明.15 /16矩形菱形正方形能力提升训练本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型.17. 根据正方形的四条边者防目等，四个角者B是直角，BC=CD、/BCF=/DCE=90。，又CE=CF,