电大《微积分初步》复习题及答案

1、微积分初步复习试题、填空题(每小题4分，本题共20分)1L 函数 f (x) =+ J4-x 的定义域是 _(-2,-1)= (-1,4ln(x 2)一2 .若1而也如=2,则k = 2.J0 kx3 .曲线y =ex在点(0, 1)处的切线方程是 y = x + 1.,d e 24. 1n(x 1)dx = dx 15.微分方程y = y, y(0) = 1的特解为 y = ex：、单项选择题(每小题4分，本题共20分)L设函数y=xsinx,则该函数是( A).A.偶函数 B.奇函数 C,非奇非偶函数D.既奇又偶函数2.当 k = ( C )时，函数 f(x)=<x2 2,k,x =

2、 0x 0,在x = 0处连续.x = 0A. 0 B. 1C. 2D. 33.下列结论中(C )正确.A. f(x)在x = x0处连续，则一定在x0处可微.B.函数的极值点一定发生在其驻点上.C. f(x)在x =x0处不连续，则一定在x0处不可导.D.函数的极值点一定发生在不可导点上4.下列等式中正确的是(D)A . sin xdx = d(cosx)C. axdx = d(ax)1、B. ln xdx = d() xD.dx = d(2 . x) x5.微分方程(y')3+4*丫*=丫5$*的阶数为(B)A. 2;B. 3;C. 4;三、计算题(本题共44分，每小题11分)2L

3、计算极限lim x2 -6x 8 .x)2x2 -3x 2D. 5(x -4)(x -2)(x-2)(x-1).x -4 limi x -12 .设 y = ln x +cos3 x ,求 dy.1c 2 ,、y = - 3cos x( sin x) x, 12 、dy = (- -3s i nxc o sx)dx x3 .计算不定积分(2x -1)10dx(2x -1)10dx= 1 (2x -1)10d(2x -1) = (2x-1)11 c222e24 .计算止积分In xdx-1ee2e xo oolnxdx=xlnx-f -dx = 2e e +1 = e +11" x四、

4、应用题(本题16分)欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料 最省？解：设底边的边长为x ,高为h ,用材料为y ,由已知x2h =108,h =等8 xy = x2 4xh = x2 4x 衅 x=x2驾 x.432.令y' = 2x-3-=0 ,解得x = 6是唯一驻点,x口2 432且 y”二23x>0, x 6说明x = 6是函数的极小值点，所以当x = 6,hi=336、填空题(每小题4分，本题共20分)L 函数 f (x+2) = x2+4x2 ,贝tj f(x)=x2 -6 1 .2 .当xt 0 时，f(x) = xsin为无分小事.x

5、3 .若 y = x (x -1)(x - 2)(x - 3),则 y'(1) = -2 134 .式5x3 -3x 1)dx =25 .微分方程y =y,y(0) =1的特解为 y =ex二、单项选择题(每小题4分，本题共20分)1 L函数f(x) =的定义域是(C).ln( x -1)A. (1*) B. (0,1)51尸)C. (1,2) = (2,)D. (0,2)= (2,十9)2.曲线y =e2x+1在x = 2处切线的斜率是(D ).A. 2 B. e2 C. e4 D. 2e43.下列结论正确的有(B ).A.若f '(X0)= 0,则xo必是f (x)的极值点

6、B. X0是f (x)的极值点，且f'(X0)存在，则必有f'(x0)= 0C. x0是f (x)的极值点,则x0必是f (x)的驻点D.使f'(x)不存在的点xo, 一定是f (x)的极值点4.下列无穷积分收敛的是(A ).A.心,2xo e dxB.二 1dx1 x5.微分方程(y )3 - y(4)cosx = y2 ln x的阶数为(Dx2 3-x2 - cos x + c34,计算定积分-sin xdx 0 2- x . sin xdx = 0 21一 一 xcosx 21 二 cosxdx =2 0一十 - sin x222_，一、，一 x -x -6 (x

7、 -3)(x 2) x -3 lim 2 二 lim 二 lim x x2 一4 x T(x -2)(x 2) x >x-2A. 1; B. 2; C. 3; D. 4三、计算题(本题共44分，每小题11分)2 - Y - 6L计算极限lim x 2 x 6 .X a x2 -42 .设 y = sin 5x +cos3 x ,求 dy . -2y =5cos5x 3cos x(-sinx)2=5c o5x -3s i nxc o sx2dy = (5c o5x -3si nxc o sx)dx、上竹寸工口八3 - x3xsin x ,3 .计算不止积分 dxp3-Jx +xsinx d

8、dx= 3ln xx四、应用题(本题16分)用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10 元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ,高为h ,表面积为S ,且有h =-4;x所以 S(x) = x2 4xh = x2 1616S (x) =2x x令 S，(x) = 0,得 x = 2, 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当 x = 2,h=1时水箱的表面积最小.此时的费用为S(2)x10 +40 = 160 (元)一、填空题(每小题4分，本题共20分)L 函数 f (x+1) = x2 +2x,贝(

9、J f(x)=x2 -1.1)4 . lim xsin- = 1f ：x5 .曲线y =jx在点(1, 1)处的切线方程是y =-x + -.226 .若 Jf (x)dx =sin2x+c,贝U f'(x) =4si n 2 x .7 .微分方程(y ")3十4xy(5) = y7cosx的阶数为 5.二、单项选择题(每小题4分，本题共20分)L设函数y=x2sinx,则该函数是(D).A.非奇非偶函数B.既奇又偶函数C.偶函数 D.奇函数2 .当xt 0时，下列变量中为无穷小量的是( C ).A 1sin xxA. B. C. ln(1+x)D. 2xxx3 .下列函数在

10、指定区间(-00,2)上单调减少的是(B ).A. cosx B . 5-x C . x2D .22 x - 6ln x 一.4 .设 Jf(x)dx =+c ,则 f (x) = ( C ).x l l I - ln x - 1 ln x - , 2A. ln ln x B. C.2D. ln xx(A=y ln xx5,下列微分方程中,Ax , y sin x -yeC. y " + xy ' = ey是线性微分方程.B. y y + xy2 =exD . yx2 + lny = y'三、计算题(本题共44分,每小题11分)21.计算极限则x2 -3x 2(x -

11、1)(x -2)x - 1煤式二 hm 二 limx 2(x 2)(x 3) x 祥 x 32.设 y = cos、. x 2x ,求 dy .- 1y - -sin , x 2 In 22 . xx s i n x dy=(2xln2 -)dx2. x3 .计算不定积分(2x -1)10dx_101_10_1_11(2x -1)10dx= 5 (2x1) d(2x 1) =9(2x1) c4 .计算定积分2 xsin xdx0un -52 xsin xdx = -xcosx2 + f2 cosxdx = sin x =1均0 Joo四、应用题(本题16分)欲做一个底为正方形，容积为108立方

12、米的长方体开口容器，怎样做法用 料最省？解：设长方体底边的边长为x,高为h,用材料为y,由已知x2h = 108,h=108 xy = x2 4xh = x2 4x 等=x2 誓 xx令yZx-432：。，解得x = 6是唯一驻点, x因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以 x = 6是函数的极小值点，即当 h=108=3时用料最省.36、填空题(每小题4分，本题共20分)L 函数 f (x+2) = x2 +4x+7 ,贝lj f(x) =x2+3x2+2 x=05 .若函数f(x)=x 2, x 0,在x=0处连续，则k=_2.、k, x=06 .函数y =2(x+1)2的单调增加区间是 -

13、1.+叼/0 2x7 . e dx =5.微分方程(y)3 +4xy(4) = y5sinx的阶数为 4.、单项选择题(每小题4分，本题共20分)L设函数y=xsinx,则该函数是（B ）A.奇函数 B.偶函数 C,非奇非偶函数D.既奇又偶函数2 .当XT +时时，下列变量为无穷小量的是（ AA sinx1xA. B. ln(1+x) C. xsin D. xx1 x3 .若函数f （x）在点x0处可导，则（D ）是错误的.A.函数f （x）在点x0处有定义C.函数f （x）在点x0处可微B.函数f (x)在点x0处连续D. lim f(x) = A，但 A¥ f(x0)4 .若 f

14、 (x) = x+A(x >0),则 Jf'(x)dx= ( C )3n 2322A. x x2 cB. x x c2c厂1 22 IC. x x cD. x -x2 c235 .下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. dy = ln(x y) ;B. dy = ey"；dxdxC. dy = e sinxdy = (2 ln 2 - )dx2. x3.计算不定积分xedx解：xedx= -xe - ie*dx = -xe" -e" c3 e4.计算定积分1dx1 x< 1 ln x.e31e31.L. e3解：ddx =d（1 + l

15、nx） =2,1 +ln x =21 xV1 +ln x1 V1 +ln x1四、应用题（本题16分）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为+ey；D. dy=ln(x +dxdx三、计算题(本题共44分，每小题11分)L 计算极限 lim 2x .x)2x2 -3x 2原式二 lim (x 2)(x _2)=lim 2 =4 x 2 (x -2)(x -1) x 总 x -12.设 y = 2x + cosv'x ,求 dyy' = 2xln 2sin，-1=.2. x多少时可使用料最省?解：设容器的底半径为r,高为h,则其表面积为S,由已知V=nr2h,于是h =工，则其表面积为了c22 2VS=2 Ttr2 +2兀由=2曲2 + r2 VS = 4 冗- 一2r令s，= 0,解得唯一驻点r = 3工，由实际问题可知，当r =3-V-时可使用料最 2九 2冗省，止匕时h=f4V,即当容器的底半径与高分别为3：母与