用几何画板画双曲线

1、键入文字图 10-2图 10-3用几何画板画双曲线一.双曲线的定义：1 .在平面内，到两个定点Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|FiF2|)的点的轨迹 叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。2 .双曲线的标准方程：设M(x, y)是双曲线是上任意一点，双曲线 的焦距为2c (c>0),则如图建立直角坐标系，又Fi、F2 的坐标分别是 Fi(-c, 0), F2(c, 0),若 M 点与Fi、F2两点的距离的差的绝对值等于2a(c>a>0),则 |MFi|-|MF2|=2a,J(x +c)2 +y2 -y(x _c)2 + y2 =2a ,

2、整理化简，并且设b2= c2 a2得双曲线的2 2标准方程 x_ _y_ =i.a b3 .双曲线的第二定义：设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到2定直线i ： x = a-的距离的比是常数 cc (c>a>0),则点M的轨迹是双曲线。点F是a双曲线的一个焦点，直线l是双曲线中对应于c焦点F的准线。常数e= (e>i)是双曲线的离 a心率。4.双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以 a、b (a, b>0)为 半径作两个圆，QA| = a, |OB|=b，点P是以 a为半径的圆上的一个点，点C是OA与半径为bd圆的交点，过点 C作CNXOx,交 直线OP

3、于N,过点N作OX轴的平行线， 过点P作PRXOP,交Ox轴于R,过点R 作直线RM交过点N的x轴的平行线于点 M,当点P在圆上运动时，M点的轨迹是双 曲线。设点M的坐标是(x, y),()是以Ox为始 边，OP为终边的正角，取。为参数，那么x= |OR|= OP |sec(j)= asec 4 , y=RM|=|CN|=|OC|tg(f)=btg(f), x=asece双曲线的参数方程是 (力是参数).y = btgJ二.双曲线的画法：画法1:图 10 41 .在x轴上取两点Fi、F2,使|OFi|=|OF*用它们作为两个焦点；2 .在图形外作一条线段 AB,使 |AB|=2a, (|AB|

4、<|FiF2|);3 .以O为中心，在x轴上取两点 Ai、A2,使|AiA2|= |AB|;4 .在AB延长线上分别取 C',使|BC'|= |AiFi|;在ABC'的延长线方向上作射线 C'C,并用 “作图”菜单中的“对象上的点"功能在 C'C上作点C;5 .分别以Fi、F2为圆心，用|BC卜|AC|为半径作圆，两圆相交于 Pi、P2两点；同样方法 分别以Fi、F2为圆心，用|AC|、|BC|为半径作圆，两圆相交于 P3、P4两点；并将这四个点定义 为“追踪点”；6 .依次选中点C、点Pi(或点C、点P2 ,或点C、点P3,或点C、点P

5、3),用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出双曲线。理论根据：点Pi是两圆的交点，点Pi到Fi与F2的距离的差等于两圆的半径的差，即 l|PF i| |PF2|= |AC|- |BC|= |AB|= 2a.说明：点C不要直接在BC上取，那样画出来的双曲线将在x轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际上是由若干条小线段形成的，这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点 C在BC上运动时，当点 C非常接近点B时，两圆没有交点，于是画出 来的图形就不好看了。画法2:1 .在x轴上取两点Fi、F2,使OFi|=|OF*用它们作为两个焦点；2 .在图形外作一条线段，使它的长度为2a, (2

6、a<|FiF2|);图 10 53 .以Fi为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点 P;4 .连接PFi、PF2,作PF2的中垂线与直线 PFi交于点M,连接MF2；5 .将点M定义为“追踪点”，分别选中点M、点P,用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。理论根据：点 M 在 PF2 的中垂线上，|MP|=|MF2|,|MFi|-|MF2|= |MFi|- |MP|= |FiP|= 2a.即点M到两个定点Fi和F2的距离的差等于定长 2a。点M的轨迹是一个双曲线。画法3: i.在平面直角坐标系中取点Fi、F2,使|OFi|=|OF2|,把它们作为焦点，在 OFi上取一点Ai,使它作为双

7、曲线的顶点；2,度量OFi、OAi,把它们的长分别作为 c和a,使a<c;a2a26 .计算 c ,在Ox轴上取一点 N,使ON尸 c,过点N作Ox轴的垂线作为双曲 cc线的准线；7 .选中Ox轴，用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点 P;8 .计算e= c ,并度量|NP|的长，计算|NP| £ ; aa9 .以点F2为圆心，|NP|Xc为半径作圆，此圆与过点P且垂直于Ox轴的直线相交于 Mi,M2两点；7,分别选中点 Mi和点P（或点M2和点），用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出双曲理论根据:点Mi到点F2的距离是|NP| >c，点点M1到F2的距离点M1到

8、直线l的距离ac-=e. a图 10 6Mi到准线l的距离|MiD|= |NP|,点M1在双曲线上。画法4:1 .以坐标原点 。为圆心，分别以a、b（a, b>0）为半径画两个圆2 .圆OA与x轴的正方向交于点 C,过C 作x轴的垂线，3 .在圆OA上取一点P,连接OP,直线 OP与过点C且和x轴垂直的直线交于点 N, 过点N作x轴的平行线NM;4 .过点P作PR垂直于OP ,交x轴于点 R；5 .过点R在x轴的垂线交直线NM于点 M;6 .分别选中点M和点P,用“作图”菜 单中的“轨迹”功能，画出双曲线。理论根据：设/ xOP = 4 ,则|OR|= |OP|sec（f）=asecj

9、, |RM|= |NC|= |OC|tg（）=btg（f）,根据双曲线的参数方程知，点三.双曲线中动弦的画法（一）.双曲线焦点弦的画法:图 10 81 .在坐标系中作出两个焦点 Fi、F2,在图形外作一条线段，使它的长等于2a（2a<|FF2|）；2 .以Fi为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P,连接PF2,作PF2的中垂线交直线PFi于点M;选中点M和点P,用“轨迹”功能作出双曲线；3 .连接PFi延长与圆交于点 Q;4 .同样方法作出点 Q在双曲线上的对应点 N;5 .连接MN,则线段MN 一定过焦点Fi,且点M、N都在双曲线上；6 .保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦MN,隐藏其

10、它的内容，这时选中点M,在双曲线上拖动它，则点 N相应在双曲线上移动，且 MN始终经过点Fi.理论根据：7 曲线上的点 M、N是由圆上的点 P、Q得到的，线段PQ在大圆上经过定点 F1，则相应 的线段MN在双曲线上也经过定点 Fi.8 二）双曲线中过定点M的弦：图 i0 91 .用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点D;2 .在以a为半径的圆上取一点 M,作出它在双曲线上的相应点P;3 .作DEL Ox轴，垂足是E,过点E作以a为半径的圆的切线 ER、ES,连接RS;4 .过点D作RS的垂线，垂足是 D'5 .连接MS',延长与圆交于 N,作出点N在双曲线上的对应点 Q;6

11、.连接PQ,则PQ始终经过点D,且P、Q都在双曲线上；7 .保留坐标系、双曲线、定点 D和过定点D的弦PQ,隐藏其它的内容，这时选中点P,在双曲线上拖动它，则点 Q相应在双曲线上移动，且PQ始终经过点D;.理论根据：双曲线上的点P、Q是由大圆上的点 M、N得到的，线段MN在大圆上经过定点 D,则相 应的线段PQ在双曲线上也经过定点 MD。问题的关键是怎样由点 D得到点D',我们看到， 点D和点D'的纵坐标是一样的，另外在双曲线中过点D且垂直于x的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是 R、S,所以点D'.一定在RS上，这样就彳#到了点 D'.（三）双曲线中平行弦的画法

12、：1 .用参数方程的画法画出一条双曲线,图 10- 10计算两圆半径的比2 .在图形外画一条斜率为k的线段，过点P作斜率为b2 ，一3 .选中a, b, k,用“计算”算出-by的值；ka2a, b,在双曲线上取一点 P; k的线段的平行线；b24 .过原点O作斜率为 一7的直线，与过点 P斜率为k的直线相交于点 M;ka25 .以点M为中心，将点P旋转180° ,得到点Q,则点Q在双曲线上；6 .连接PQ,则PQ就是斜率为k的双曲线中的平行弦；7 .保留坐标系、双曲线、斜率k和PQ,隐藏其它的内容；选中点P在双曲线上拖动点 P, 则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在双曲线上；8.作

13、PQ的中点，标记为“追踪点”，则点P运动时，就可以得到中点的轨迹。理论根据：x2设p(Xi, y1), Q(x2, y2)都在双曲线 ab2二1上，且PQ的斜率为k,若PQ的中点为 M（Xo,2 Xi yo),有 a2江-1b2 一122X2y2.血Xo(Xi -X2)ba2b2i2 b2两式相减得(XiX2)(Xi - X2)(必丫2)(丫1 - 丫2)b2/、 2, 2 ,(y -y2)aka中点M在过原点且斜率为b2三的直线上。ka2四.双曲线切线的画法:（一）过双曲线上一个定点 P的切线：1 .在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点Fi、F2；2 .在双曲线上标出定点 P;图

14、 10113 .以F1为圆心，双曲线的实轴 2a为半径作圆；4 .连接F1P交圆于点M;5.连接F2M,作F2M的中垂线，这条中垂线过点 P,并且是双曲线的切线。理论根据：,一点P在双曲线上，IPF1|-|PF2|=2a,又|FM| = 2a,|PF2|=|MP|,点P在F2M的中垂线上，直线 MP经过点M且与双曲线有且仅有一个交点，所以直线 MP是双曲线过点P的切线。（二）过双曲线外一点作双曲线的切线：1 .在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点FF2；2 .在双曲线外标出定点 T;3 .以点F1为圆心，双曲线的实轴 2a为半径 作圆；4 .以点T为圆心，|TF2|为半径作圆，交圆 F1于点M、