点到直线距离公式的另外几种推导方法

1、点到直线距离公式的另外几种推导方法“点到直线的距离公式”是新课标人教版必修 2数学的重点内容，教材在推到公式之后给出“请 研究一下，如何用其它方法推导上面的距离公式”的伏笔，因此，笔者给出另外几种推导方法，供 大家参考。1点到直线的距离公式在平面直角坐标系中，已知点P (x,yo),直线I: Ax+By+C=O(A 0).设点P (x,yo)到直线I的距离为d,则J人伴于|v A2 + b2设点F0(xo，yo)为已知直线I : Ax By0外一点，如何求它到该直线的距离？解：设过点F0且与已知直线丨垂直的直线为，垂足为D x, y，点到丨点距离为d，则d二P0Dy0o P0d/D丨：Ax +

2、 By + C = 0/x/|/由 Ax By C = 0 =ki又因为|/ _I，所以,代入点斜式，得:y 一 y0即，Bx - Ay Ay0 - Bx0 Ax + By + C = 0，Bx - Ay + Ay 0 - Bx 0 :2B x 0 - ABy 0 - AC2 ，AJBB ；JAB(x - X。),A0,得：0，2A y - ABx 0 - BC y 二A2 B-A(Ax By0 C)22， y 一 y0A B(x - x)2 (y - y0)22 2 A2 B2-B (Ax By 0 C) A(Ax 坐 C)2FAXILA2 BIL A：0A2B2By。C) J(Ax Byo

3、 C)2 H A2 + B2Ax By C即，直线外一已知点 F0到已知直线I的距离公式为:Ax By C d =A2 B2当A=0或B=0，上面的公式依然适用。当然，也可以不用上面的距离公式，即当A=0且B工0时,Cc直线 I: y= -，d= _ _y = yB_c+；当A丰0，B=0时,Bx0ACC直线 I: x= - ，d=_X0AA直线r： Ax By （Ax。 By） =在直线i:令 y =0,MN得xM =Ax。By。Ax By C=0中,得XNXm-XNAx。 By。 C设直线i的倾斜角为A二，贝U tan，且.MNH 二二B日A 22t tan, sec v -1 tan ：

4、 -1B.-AA2 B2.2sin,si nJa2 + B2MH = MNsin MNHA2B2A2 B2. c4B2B2A2 B2 =MN sin（兀日）=Ax。+ By。+ C|A| JAJa2 + B2d 二Axo By。C A2B2Axo By。 Csin =说明：在证法二中，先将点 P到直线l距离转化成过点 P的且与丨平行的直线I与丨的距离，并 通过特殊位置一一 x轴上的线段 MN的长，利用三角函数解决了问题， 体现化斜为直的思想. 当然, 也可以对证法二进行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去试一试.2公式的另外几种推导方法方法1利用直角三角形的面积公式丁 A B

5、丰。，直线I必与两坐标轴相交，如图1,作PM | x轴交直线I于M ,作PN | y轴交直线I于N, 作PQ! I于Q,则d = I PQ I , d既是点P到直线I的距PM . PN离，又是Rt MPN的高. d=|mn I设 M (xi,yo), N (xo,y2),M、N l，易求出x1=-By0 -C-Ax0 -CA，y2=B/I PM I = I xi-xo I = IAx0 By0 CAI PN I = I y2-y0 I = I_ByC I B1 . 2 2/ 22 鶯 A + BMN I=PM +PN =ABI Axo+Byo+C I 将代入（探）得:d=Ax0 By0 C.A

6、2 B22 2(A +B 丰 0).方法2利用两点间的距离公式B教材指出，由PQ! I可知直线PQ的斜率为，可求出PQ所在直线的方程，从而可求出交点PA的坐标，再用两点间的距离公式求IPQ I。“这种方法思路自然，但运算较繁”，可是，如果在推导过程中注意运算技巧，也并不繁琐！方法2 1如图1,设Q ( a,b),则d= I PQ I =l(a x) *(b y)，易得直线PQ的方程yy0= A(x-X0),即卩 Bx-Ay=Bx 0-Ay0.从而有Ba - Ab = Bx()- Ay0Aa + Bb + C = 0解之,a=2B x -AByACd= I PQ IA2Ba-x0=-A(Ax。B

7、y。C)A2 + B2,b-y0=-B(Ax。By C)A2 +B2=,(a -x)2 (b - y)2AX0 By0 C，A2B222(A +B 丰 0).方法22如图1,由方法21有(1)(2)A(a-x0) B(b-y。)=(Ax。 By。 C)B(a - x) - A(b - y) = 0由(1)2+(2)2得：(A2+B2)(a-X0)2+(A2+B2)(b-y)2=(Ax 0+By+C)2,222(a-x0) +(b-y 0)=(Ax By C)A2 +B2d= I PQ I = (a -x)2 (b - y)2Ax By C22c、(A +B 丰 0).方法3利用换元法2 2在方

8、法 22 中，设 b-yo=B t, a-xo=A t,代入(1)得(A +B ) t=-(Ax o+B屮+C)Ax。+By。+C t=-a2b2图 d = I PQ I =a -x。)2 (b - y。)2 = A2 B2(a2+b2 0).=|Ax。+By。+CJa2 十b2方法4利用向量法显然，直线I的法向量n =（a , B），设Pi （xi,yi）是直线i上与q不重合的任意一点，当n, pp为锐角时,d= I PQ I = RP cos 日(如图 2);当n , RP为钝角时,d= I PQ I = PP cos(兀-e)P P COS 日=P P I cos 0 I（如图3）.无论直线I的法向量n =（a , B）的方向如何,均有RP cos日,d= I PQ I = RP I cos 日 I .又 nn P1P(A