平行四边形培优讲义新打印版

1、平边四边形知识点平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边l,.w四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。二平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。-两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行丁三角形的第三边，且等丁第三边的一半。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形,有两条对称轴）矩形的

2、判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形（根据定义）。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等丁斜边的一半菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱应_?菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。S菱形=1/2冷b（a、b为两条对角线）或底x高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形

3、的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形;邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形；对角线相等的菱形;梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。梯形常用辅助线:精品资料平行四边形的判定及性质巩固练习题1、如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC,ZD=ZDCE.求证：四边形ABCD?是平行四边形.2、如图，在CABCD中，E、

4、F分别是BC、3、有一个四边形的四边长分别是a,b,c,d,且有a2+b2+c2+d2=2(ac+bd).求证：此四边形是平行四边形.4、口ABCD中,AC、BD交于点O,AE=CF，求证：BE=DF5、(变式练习2)口ABCD中,AC、BD交于点O,AE=CF,BM=DN求证：四边形MFNE是平行四边形CD上，且MF/EN,MN交AC于O。求证：EF与MN互相平分。7、（变式练习4）如图所示，CABCD的对角线AC、BD交于O,EF过点O交AD于E,交BC于F,G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.8、（变式练习）ABCD中，DE平分ZADC交BC的延长线于E

5、,BF平分ZABC交AB的延长线于F,求证：四边形DEBF是平行四边形CM,且AN、BM交于点P,CM、DN交于点Q.四边形10、（变式练习2）如图，E、F分别为口ABCD的边AD、BC的中点。求证:（2）O为GH的中点。(1)BE=DF;EB11、口ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF,M为DE中点，N为FB中点，求证：FM=NEME=NF12、已知如图：在口ABCD中，延长AB到E,延长CD到F,使BE=DF,则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.13、.如图所示，已知点D是ABC的边AB上的中点，点E是AC上的一点，DF/BE,EF/AB,证明:AE、DF互相平分EA14、

6、如图，已知AD是ZABC的边BC上的中线，BME是MMD绕点M按顺时针方向旋转180°得到的，连结AE,求证：DE=AC.15、如图，在CABCD中，ZDAB=60，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB.求证：四边形AFCE是平行四边形.16、如图所示，某城市部分街道示意图,AF/BC,ECdBC,BADE,BD/AE,EF=FC,甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B>AEF,乙乘2路，路线是BDCF,假设两车速度相同,途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由17、在平行四边形ABCD中，BN=DM,BE=DF,求证：四边形MENF

7、是平行四边形18、如图，在QABCD中，AB=2AD，延长AD至ijF,使DF=AD,再延长DA至ijE,使AE=AD,求证:BFJCE.F19、如图191-30,分别以ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE,等边三角形ACF，连接DE,EF。求证：四边形ADEF是平行四边形。E图19-1-3。图320、如图3，在ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点，CF/BE,连结BF,CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由。21、如图2,平行四边形ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF,BG=DH,试说明:EF与GH

8、相互平分.DFAEB矩形拓展题1、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD第1题2、如图，矩形ABCD,AB=12cm,AD=16cm，现将其按下列步骤折叠：（1）将ABAD对折，使AB落在AD上，得到折痕AF,如图（2）将AAFB沿BF折叠,AF与DC交点G,如图则所得梯形BDGF的周长等于（A.12+2,2B.24+2,2I2D.12+4.233、如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是A.2m+3

9、B.2m+6C.m+3（第3题）4、如图，矩形ABCD中,DM±AN于M,CN±AN于点N.贝UDM+CN的值为（用含a的代数式表示）（ao4八.2仁3A.aB,-aC.aD.a5、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与NBEG相等的角的个数为（）A.4B.3C.2D.16、矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的B'处，折痕为AE.在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为.7.小明尝试着将矩形纸片AB

10、CD（如图，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图）.如果第二次折叠后，M点正好在ZNDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为.A,DA-DND占ECMG._E七8、如右上图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D'重合，若BC=8,CD=6,则CF=。9、如图2,在矩形ABCD中，AD=4,DC=3,将AADC按逆时针方向绕点A旋转到AAEF（点A、B、EA'10、如图矩形纸片ABCD,AB=5cm,BC=10cm

11、,CD上有一点E,ED=2cm,Ar-ED(B在同一直线上），连结CF,则CF=F第11题图AD上有一点P,PD=3cm,过P作PFJAD交BC于F,将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，贝UPQ的长是cm.11、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分DEF的面积是cm2.12、如图所示，已知平行四边形ABCD,AC、BD相交于点O,P是平行四边形ABCD外一点，且ZAPC=ZBPD=90°.求证：平行四边形ABCD是矩形.13、如图自矩形ABCD的顶点C作CEJBD,E为垂足，延长CE至F,

12、使CF=BD,连接AF,求ZBAF的大小菱形的性质及判定巩固练习题1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A.对角线相等的平行四边形B.每条对角线平分一组对角的四边形C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形2下列命题中错误的是A.平行四边形的对边相等B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.矩形的对角线相等D.对角线相等的四边形是矩形3如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（AC_LBDNBAD=90AB=BCAC=BDA.B.C.D.4菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60,则两条对角线的长分别是（D.4cm5如图，菱形ABCD中，ZB=60F分别是

13、BC、CD的中点，连接AE、EF、AF,则AAEF的周长为（A.2、3B.6如右图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交4.3D.3则下列式子不成立的是（A.DA=DEB.BD=CEC.EAC=90D.ABC=2E7如右图，在麦形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点,OE=a,则菱形ABCD的周长为（8、如图，菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4cm.那么,菱形ABCD的面积是BD的长是29、已知菱形ABCD的面积是12cm，对角线AC=4cm，则菱形的边长是cm10、如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BCBF

14、CBDcm131412BD=?152AC=ABBD=A18精品资料B'CDDE垂直平分边AFDE是菱形，则要增加的条件12、如图ABCD中，。是对角线AC、BD的交点，AB=5cm,AO=4cm一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的13、如图所示DE/AB,DF/CA,要使四边形16、在菱形ABCD中，AB=4,AB边AC于F.求证边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想14、如图所示D,E,F分别是ABC的边BC,CA,AB上的点ABCD的周长为48cm,ZBAD:?ZABC=?1KBCD,AC,BD相交于点O,?添加

15、一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为E,DF1BC,交BC的延长线于F。请你猜想于点E、F,连接CE,贝UCE如图，AD平分ZBAC,DE/AC交AB于E,DF四边形AEDF是菱形.19、如图，四边形ABCD中，AB/CD,AC平分NBAD,CE/AD交AB于E.(1) 求证：四边形AECD是菱形；(2) 若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由.20、如图8,在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，连接DE,BF,BD.(1) 求证：ADEACBF(2) 若AD_LBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论.21、如图，在ABC中，ZBAC=90&#

16、176;,AD_LBC于D,CE平分ZACB，交AD于G,交AB于E,EFJBC于FDF,四边形AEFG是菱形吗？22、如图，三角形ABC中，AD是ZBAC的平分线，E是AC上一点，AE=AB,EF/BC交AD于F,BE与AD交与G,求证：四边形BDEF是菱形。A23、如图、在三角形ABC中，ZA=90o,ZB的平分线交AC于D,交高AH于E,DFJBC,F为垂足，求24、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,CH=4,AH=8(1) 求菱形的周长；(2) 求OE的长度.过点A作AH1BC,交BD于E,垂足为H,已知证：四边形AEFD为菱形。25、如图，在RtZABC中，ZB=90。

17、，BC=573,ZC=30。.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF1BC于点F,连接DE、EF.(1) 求证：AE=DF;(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.正万形练习题1、正方形ABCD的边长为1,它的两条对角线相交于点O,则AABO的周长为AE交CD于F,则ZAFC=.2、如图，E是正方形ABCD边BC延长

18、线上一点，EC=AC,6题图3、2题图如图，在正方形ABCD中,AB=8,AE=2,EF=2打.点E在AB上，点F在AD上，贝UCF=4、在正方形ABCD中，E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且S您be：S梯形aecd=1：5,AB=6,贝UAE=4、一，一，15、若正方形面积缩小为原来的-，则它的边长是原来边长的36、如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点A与点M重合，设折痕为EF,若正方形面积为64,那么EEM的面积是7、如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作正三角形BDE,过E作EFJAD,交DA的延长线于F,则ZAEF=;若正三角形BDE的周长是12J2,正方

19、形面积为7题图8题图10题图8、如图，在正方形ABCD中，P是AD上任一点，PE!AC,PFJBD,点E、F分别是垂足，BD+AC=14,贝UPE+PF=9、正方形ABCD边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，贝UDN+MN的最小值为10、如图，已知边长为1的正方形ABCD,E为AD中点，P为CE的中点，贝USpd=11、在AABC中，AB=AC,D是BC中点，DE±AB,DF1AC,垂足分别为E,F,只添加一个条件，使四边形AEDF为正方形（写出一个条件即可），一一，,-''.12、如图，将边长为1的正万形ABCD绕点A按逆时针万向旋转60，至正万形

20、ABCD，则旋转后两个正D'方形重叠部分的面积是求证：AN平分ZDAM14、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNJDM且交ZCBE的平分线于N,求证：MD=MN.若M是AB上任意一点，MD=MN还成立吗？若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。DCG,求证：BE=BG+CF16、如图，在正方形ABCD中，APAQ是正三角形，设AB=10,求PB的长17、如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BFJEF,求证：BF=EFF移到什么位置时,18、如图，正方形ABCD边长为1,E是CD的中点，点F在BC边上移动.试判断当点AE是ZDAF的平分线？EC=

21、BD19、如图，在正方形ABCD中，E是DB延长线上的一点，且ZECB=15。.求证:B四边形综合培优题1、以AABC的边AB、AC、BC为边作等边ABD、等边ACE和等边ABCF。(1) 求证四边形ADFE是平行四边形.(2) 当AABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形；(3) 当AABC满足什么条件时，平行四边形ADFE不存在；(4) 当AABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.2、如图：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点A作AMJBE,垂足M,AM交BD于点F.求证OE=OF如图2所示，若点E在AC的延长线上，AMJEB的延长线于点M,交DB的延长线于点F,

22、其他条件都不变，则结论Oe=of”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.3、如图，在梯形ABCD中，ZA+ZB=90°,AB/CD,M,N分别是AB,CD，1一的中点，求证：MN=§(AB-CD).4、已知：如图，在ABC中，AB=AC,AD±BC,垂足为点D,AN是ABC外角的平分线，CE±AN,垂足为点E,(1)求证：四边形ADCE为矩形;(2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若ZABC=90°,G是EF的中点(如图2)，求ZBDG的度数(3)若ZABC=

23、120°,FG/CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图3)，求ZBDG图3图16、已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE=PD.(1) 如图1,当点P在对角线AC上时，观察、猜想PE与PB有怎样的关？并证明你的结论。(2) 如图2,当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图3,当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系？并证明你的结论。精品资料图27、如图，梯形ABCD中，AD/BC,/DCB=45&

24、#176;,CD=2,BD±CD.过点C作CE±AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点，连结EG、AF.(1)求EG的长；(2)求证：CF=AB+AF.(用两种方法证明)BGC8、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点，得四边形EFGH.如图1,当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2,当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状并说明理由；如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ZADC=a(0<a<90°),试用含口的代

25、数式表示/HAE;求证:HE=HG;四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.9、如图，在梯形ABCD中，ADBC,E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4,ZB=60°求点E到BC边的距离；点P为线段EF上的一个动点，过P作PMJBC,垂足为M,过点M作MNAB交线段AD于点N,连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，ZPMN的形状是否发生变化？若不变，请求出APMN的面积和周长；若变化，请说明理由.10、将一副三角尺如图拼接：含30。角的三角尺(MBC)的长直角边与含45。角的三角尺(MCD)的斜边恰好重合.已知AB=2J3,P是AC上的一个动点.(1)当点P运动到ZABC的平分线上时，连接DP,求DP的长;(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时/PDA的度数;当点P运动到什么位置时，以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时CDPBQ的面积.11、如图1,在8BC中，AB=BC=5,AC=6.