实数与向量的积一

1、课题：实数与向虽的积(一)教学目标：1. 掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2. 掌握实数与向量的积的运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：、复习引入:1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2. 向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.平行向量定义：方向

2、相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a/b/c.3. 相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.4. 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。6. 向量加法的交换律：+=+7. 向量加法的结合律：(+)+=+(+)8. 向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a+(b)差向量的意义：=a,OB=b,贝UBA=aa的终点的向量。)+()即ab可以表示为从向量b的终点指向向量二、讲解新课：示例：已知非零向量，作出+和()+(OC

3、=OAABBC=+=3PN=PQQMMN=()+()+()=1. (1)3与方向相同且|3|=3|;(2)3与方向相反且|3|=3|实数与向量的积：实数入与向量的积是一个向量，记作：入（DI入l=l入III（2）入0时入与方向相同；入0时入与方向相反；入=0时入=运算定律结合律：入（片（入第一分配律：（入+（1手入+虐第二分配律：入（+）=入+入结合律证明：如果入=0,|F0,=至少有一个成立，则式成立如果入o,uo,有：|入（）|=|入IIHT入II切II1（入训=1入UIIT入II冲II入（。1=1（入m-D如果入、p同号，贝U式两端向量的方向都与同向；如果入、p异号，则式两端向量的方向都

4、与反向。从而入（）=（入I）第一分配律证明：如果入=0,呻0,=至少有一个成立，则式显然成立如果入0,0,当入、（1同号时，贝U入和H同向，.1（入+训=|入4-411=（1入|+|4）11I入+闷入1+14=1入III+I讪1=（1入|+|聊.入、同号两边向量方向都与同向即|（入+。|户|入+M当入、（1异号，当入H时两边向量的方向都与入同向；当X时两边向量的方向都与同向，且1（入+（!|）=|入+叫.,式成立第二分配律证明：如果=,=中至少有一个成立，或X=0,入=1则式显然成立当，且入0,入1时（1）当入0且入1时在平面内任取一点O,作OA=AB=OA1=入AB1=X则OB=+OBi=入

5、+入由作法知，AB/A1B1有OAB=OAiBi|AB|=入|A1B1|OA1|A1B1|=入.oabsOAiBi|OA|AB|A?|竺|=入AOB=AiOBi2. 因此，O,B,Bi在同一直线上，|O昌|=|入OB|OBi与入OB方向也相同入（+）=入+入当入0时可类似证明：入（+）=入+入.式成立向量共线的充要条件若有向量（）、，实数入，使=入，则与为共线向量。若与共线（）且|：|=j则当与同向时=区当与反向时=卬从而得向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使=入。三、讲解范例：例i若3m+2n=a,m3n=b，其中a,b是已知向量，求m,n.分析：此题可把已

6、知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.解：记3m+2n=am3n=bi 3X得3m9n=3b3-一碍iin=a3b.-n=abii32将代入有：m=b+3n=abiiii评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2凸四边形ABC啪边ADBC的中点分别为E、F,求证EF=】（AB+DC）.2解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决过点C在平面内作CG=AB,贝U四边形ABG虚平行四边形，故F为AG中点.£是左ADG勺中位线，.EF=1DG

7、,.EF=1DG.2 2而DG=DC+CG=DC+AB,EF=1(AB+DC).2解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EBEC,则有=+AB,EC=ED+DC,又E是AD之中点，.有+ED=0.即有+EC=AB+DC;以与EC为邻边作平行四边形EBGC则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.EF=EG=(+EC)=(AB+DC)222四、课堂练习：1. 错例分析判断向量a=2e与b=2e是否共线?对此题，有同学解答如下：解：a=2e,b=2e,-b=a,，.a与b共线.分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任

8、何限制，那么就应允许e=0,而当e=0时，显然a=0,b=0,此时，a不符合定理中的条件，且使b=入a成立的入值也不惟一(如入=1,入=1,入=2等均可使b=入a成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e=0时，贝Ua=2e=0由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时a与b共线.(2)当e乒0时，贝Ua=2e乒0,b=2e乒0b=a(这时满足定理中的a乒0,及有且只有一个实数入(入=一1),使得b=入a成立)-a与b共线.综合、(2)可知，a与b共线.2. 用向量法解决几何问题向量是数学中重要

9、概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快,许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练1如图，MN是ABC的中位线，求证：M吐一BC2且MN/BCAN=1AC,MN=AN2AB=1(AC-AB)=1BC.22证明：MN分别是ABAC边上的中点，所以AM=1AB,2AM=1AC-122BC且MN/BC1因此，NM=-2五、小结：通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用六、课后作业：.当入EZ时，验证：入(+)=入+入证：当入=0时，左边=0?(+)=右边=0?+0?=分配律成立当入为正整数时，令入=

10、n,则有：n(+)=(+)+(+)+(+)=+-+=n+n即入为正整数时，分配律成立当为负整数时，令入=-n(n为正整数)，有n(+)=nT+)=n()+()=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n分配律仍成立BbD综上所述，当入为整数时，入(+)=入+入恒成立。1 2.如图，在ABC中，AB=,BC=,AD为边BC的中线,GABC的重心，求向量AG解法一：.AB=,BC=则BD=-BC=12aD=aB+bD=+1而AG=2aD23-AG=2+13解法二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、FAE=2AB=2EF=2Bc=-EG=1EF=1323.AEFAABC,33-AG=AE+EG

11、=-+133.在QABCD中，设对角线AC=,BD=试用，表示AB,BC解法一：AO=OC=1BO=2BD=12-一11.AB=AO+OB=AO-BO=一2BC=BO+OC=OC+BO=1+2解二：设AB=,BC=y则AB+Bc=Ac，即+y=；A-AB=BD，即-y=-=1（-）,y=；（+）即AB=_（-）BC=（+）22lrII.*to-*3 .设e,e2是两个不共线向量，已知AB=2e+ke2,=ei+3e2,I目CD=2ee2,若三点A,B,D共线，求k的值。-FP-»*射解：BD=CD=（2ei-e2）-（e+3佥）=e-4佥a,b,d共线AB,BD共线.存在入使AB=入Bd一一一一"2=九即2e+ke2=入