存在与恒成立

1、存在与恒成立1.包成立问题:(DD,均有f(x)A恒成立，则在区间D上f(x)minA；(2)D,均有f(x)B恒成立，则在区间D上f(x)maxB；(3)D,均有f(x)g(x)恒成立,UF(x)f(x)g(x),f(x)min0；(4)D,均有f(x)g(x)恒成立,UF(x)f(x)g(x),f(x)max0；(5)xiD,x2E,均有f(xi)g(x2)恒成立，则f(x)ming(x)max；(6)xiD,乂？E,均有f(xi)gg)恒成立，则f(x)maxg(x)min；(7)xi,x2D,均有g(x)gg)C(常数)包成立，则g(x)max(i)x0D,使彳(2)x0。,使彳(3)

2、x0。,使彳(4)x0。,使彳(5)xiD,x2(6)xiD,x22.存在问题:3.恰成立问题:卜等式f(x°)卜等式f(x°)卜等式f(x°)卜等式f(x°)A成立，则f(x)maxB成立，则f(x)ming(x°)成立，则f(x)g(x°)成立，则f(x)(1)不等式f(x)(2)不等式f(x)4.相等问题:(1)若x(2)若xia;b;f(x)f(x)E,均有f(xi)g(x2)恒成立，则f(x)maxE,均有f(xi)g(x2)恒成立，则f(x)minA在区间D上恰成立,B在区间D上恰成立,g(x),F(x)maxg(x),F

3、(x)ming(x)min；g(x)max；f(x)A的解集为f(x)B的解集为D,总x2E,使得f(xi)g(x2)成立，则f(x)0；0；D；D；g(x);D,x2E,使得f(xi)g(x2)成立，则f(x)g(x)；(i)若xiD,总(2)若xiD,总(3)xiD,x2(4)xiD,x2(5)xi,x2D,(6)xiD,x25.珠合问题:x2E,使得f(xi)g(x2)成立，则f(x)min9段孺；x2E,使得f(xi)g(x2)成立，则f(x)maxg(x)max；E,均有f(xi)gg)C(常数)包成立，则g(x)maxf(x)maxE,使得f(x)g(x2)C(常数)成立，则f(x

4、)minC；g(x)minCg(x)minf(x)maxCf(x)ming(x)maxC(%)gg)C(常数)包成立，则g(x)maxg(x)minC；E,使得f(xi)g(x2)C(常数)成立，则g(x)maxf(x)minC或f(x)maxg(x)minC；(7)知x2D,都有f(x)g(x2)C(常数)包成立，则g(x)maXg(x)minC;(8)xiD,总x2E,使得f(xi)g(x2)C(常数)成立，则g(x)minf(x)minCf(x)maxg(x)maxC(9)xiD,x2E,都有f(xi)g(x2)C(常数)包成立，则f(x)ming(x)maxC或g(x)minf(x)m

5、axC；(10)xiD,总x2E,使得f(xi)f(x2)C(常数)成立，则f(x)maxf(x)minC；考点一.恒成立问题命题点i.参变分离：简单最值(i) 设函数f(x)=x3+3x+2,若不等式f(3+2sin0)<m对任意。恒成立，求实数m的取值范围.解：令x=3+2sin0i,5，从而只需m>f(x)max,xCi,5,f'(x)=3x2+3,令f'(x)=0,x=±i,当xi,5时，f'(x)<0恒成立，即f(x)在i,5上为减函数，f(x)mauf(i)=4,则m>4(2)设函数f(x)x2bxc,若对任意xi,x2-i

6、,i,有f(xi)f(x2)4,求b的取值范围。解：由题：f(x)max-f(x)min4,f(x)开口向上，对称轴为xb2,最大值必为f(-i)=i-b+c或f(i)=i+b+c,(i)若-ib、bb2,则取小值为f(2)c宇ibcc4,即b2-4b-i20,则4，-2b6。4,得|b|2,矛盾(舍)。综合得b:-2,2若-：或-2-i,即b>2或b<-2，则|f(i)-f(-i)|=|2b|命题点2.参变分离：二阶求导与洛必达法则秒杀：洛必达法则操作步骤(分离构造求导抛弃判断洛必达结论)第一步：分离参数，得到a(x)第二步：构造函数g(x)r(x)；(x)第三步：证明g(x)单

7、调性；(求g(x),可能需要二次求导g(x),直到可以判断导数正负终止，写出g(x)单调区间，确定极值点xx0)第四步：判断当xx。时，g(x)里旦是否为0或一型)(x)0第五步：运用洛必达法则求g(x)在xx0处极限；(limr(x)=limr(x)=xx0(x)xx0(x)limr(x)A,直到代入x=a有意义可求出极限为止。)xx0(x)第六步：求出参数范围(1)已知f(x)x2在(1,)包成立,求a的取值范围。解：axlnxx2,令g(x)g(x)lnx13x2(单调性不确定则二阶求导)，g(x)0,1X企下(单减)，、6g(x)0,故g(x)在(1,)单减，g(x)0,故g(x)在(

8、1,单减,g(x)g(1)已知f(x)x(ex1)ax2,当x。时,f(x)o恒成立,a的取值范围。，令g(x)xe1,xx，/、e(x1)1/g(x)?,勺h(x)ex(x1)1(单调性不确定则二阶求导)，h(x)xex0(在x0时)，h(x)单增，则h(x)h(0)0,即g(x)0，故g(x)单调递增,g(x)»g(0)=00(3)已知函数1(由洛必达法则)，贝Ua1.解：由题意得当a2x，若当x0时f(x)0成立，求a的取值范围.x。时，aR,当x>。时，a上上Jmax,令g(x)xxf(x)=ex(ex-a)-32xg(x)2，令(x)(xxx1)e1，贝U(x)-(x

9、4xx)e<0，贝U(x)在(0,)上(1x2)ex1递减，故(x)v(0)0,故g(x)<0,故g(x)max<g(0),又limlimlax.x0xx0-ex(x22x1)1，故a1。1(4)设函数f(x)ln(1x),g(x)xf'(x),x0,其中f'(x)是f(x)的导函数，若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围。解：由题意得当x0时,aR,当x>0时，a(1x)ln(x1)(1x)ln(xmin，令g(x)x令(x)xln(x1),则(1g(x)min>g(0)，又lim-x01(x)1->0,则x1x)ln(x1)xln

10、(xlim一x0(x)在(0,)上递增，故(x)>(0)0,故g(x)>0,故广1,故a1。(1)设函数f(x)=lnxm一,右对任息xb>a>0,f(b)bf(a)a1恒成立，求实数m的取值范围.f(b)f(a)1饵牛：=k=bax1(2)设函数f(x)=x2m1mx2mlnx(m2xx2)x,1o4若对任意b>a>0,m恒成立，求实数2缺f(b)f(a):=k=x-ba2mcm2mmxx22x1o2ba命题点3.斜率型求参数m的取值范围.命题点4.直接法求参数(1)已知函数f(x)ex1ax,若x1,f(x)Inxa1恒成立，求a的取值范围。解：g(x)

11、exaxlnxx11(x1)g(x)e1,gxx1(x)e2x1/xe120x),g(x)>0,g(x)min=g(xo)g(1)0不符合题意，贝Ua-2.Inx1(2)设函数f(x)一-,如果当x>0时且xlnxk1解：设g(x)f(x)()(2lnxx1x1x_、(k1)(x2+1)+2xsm、h(x)2，吉k0时，h(x)x当k1时，h(x)0,x(1,),h(x)0,h(1)1当0<k<1时，x(1,),h(x)0,h(x)0,h1kg(x)在1,+单增，g(x)g(1)=a+2当a-2,g(x)0,单增g(x)g(1)=0，原式成立;当a<-2寸，存在x

12、°,使g(x°)=0,当x1,x°,g(x°)<0,当x(x°,Inxk1时，f(x)一恒成立，求实数k的取值范围.(k1)(x21),令h(x)2lnx(k1)(x21),0,x(0,1),h(x)0,x(1,),h(x)0,h(1)0g(x)0,0g(x)0；1)0g(x)0;综上k0。命题点5.两函数法(1)已知函数f(x)ex1ax,若x1,f(x)Inxa1恒成立，求a的取值范围。解：f(x)+lnxa1ex1lnxa(x1)1,令g(x)ex1Inx在1,+单增，ri!-111-11,5fc-Jh(x)=a(x1)1恒过(1,

13、1),ka,-a2,则a2。考点二。存在性问题(1)设f(x)=-+xlnx,g(x)=x3-x2-3.x(1)如果存在x1,x20,2使得g(x1)g(x2)>M成立，求满足上述条件的最大整数M;，1如果对任意的s,t2,2都有f(s)>g(t)成立，求实数a的取值范围.解：(1)存在xi,X20,2，使得g(x1)g(X2)>M成立，等价于：g(x1)g(x2)maxAM3222112I，券，最大整数岷4.g(x)=xx3,g'(x)=3x2x=3xx3,x02y232232g'(x)一0+g(x)-3递减85极（取）小值-五递增1由上表可知：g(x)mi

14、n=g2=H，g(x)max=g(2)=1,g(x1)g(x2)max=g(x)maxg(x)min=32711由题：在区间-,2上，函数f(x)»g(x)max怛成立，由(1)知，在区间2上，g(x)的最大值为g(2)=1.f(x)>1恒成立，即爻+xlnx»1恒成立，贝Uaxx2Inx，令h(x)=xx2Inxh(x)12xlnxx=0x,1在-,2±，恒有h(x)2(lnx1)12lnx30,则h(x)单调递减，令h(x)0,则x1,1(2)函数f(x)2ax2(2a1)x2lnx,g(x)x22x,若对任意f(x1)g(x2),求a的取值范围。解：由

15、题：f(x)g(x2)min,g(x2)ming(1)1,2x4lnx2，、f(x)在x(0,2,即a724x=h(x),则a>h(x)max,得h(x)令f(x)=4lnx-x-2,得f(x)=1=,当x£(0,2,f(x)>0得f(x)xxh(x)在21单倜递增，在(1,2)单倜递减，故h(x)max=h(1)=1，贝Ua»1.X0,2，均存在由0,2,使得2(x2)(4lnxx2)T2/2,(x4x)单调递增，则f(x)<f(2)=4In2-4<4Ine-4=0，当x0,2,h(x)>0,h(x)单调递增，h(x)max=h(2)=ln2

16、-1,则a>ln2-o222a,若对任意xe0,1总存在x。0,1,使(3)已知函数f(x)，设a>1函数g(x)=x33a2x2xg(x°)f(x)成立，求a的取值范围。解：实际上就是要求g(x)的值域包含(»)f(x)的值域:口寸"-、(42七7)=-(云建"),x£0,1，当-1x1,f(x)>0,f(x)增，(2-x)2(2-x)22当0x1,f(x)<0,f(x)减，当x=1,f(x)min=f(-)=-4,f(0)=-,f(1)=-3二f(x)值域：-4,-3;2222g(x)=3x23a2=3(x+a)(x

17、-a),xC0,1,a1,g(x)<0,g(x)单调递减,g(0)=-2a-3,a,g(1)=1-3a2-2a-4,2“53即a1或a-一综上1a。32(4)已知函数f(x)=(x36x23xt)ex，若存在实数t0,2,使对任意的x1,m,不等式f(x)vx恒成立，试求正整数m的最大值.解：不等式f(x)vx,等价于(x36x23xt)ex<x,即t<xexx36x23x.即当"0,2,使对任意的xC1,m,不等式t<xexx36x23x.则0vxexx36x23x在x1,m上.即0<exx26x3在xC1,m上.设4(x)=exx26x3，则4

18、9;(x)=-ex2x6，设r(x)=4'(x)=-ex2x6，则r'(x)=ex2.1<x<mr'(x)v0.所以r(x)在区间1,m上是减函数.又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(2) =-3-3v0,故存在x。C(2,3),使得r(x。)="(x。)=0.当1vxvx°时，有©'(x)>0,当x>x°时，有©'(x)V0.从而y=4(x)在区间1,x°】上递增，在区间x°,+勺上递减.又4(1)=e-1+4>0,力(2)=e-2+5>0,4(3)=e-3+6>0,4(4)=e-4+5>0,4(5)=e-5+2>0,4(6)=e-6-3v0.所以，当1vx<5时，恒有4(x)>0;当x>6时，恒有4(x)v0.故使命题成立的正整数m的最大值为5.(5)已知f(x)=ln(1