利用空间向量求角和距离

1、第二课时利用空间向量求角和距离【基础巩固】1.已知直线l1的方向向量S1=(1,0,1)与直线l2的方向向量S2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析：因为S1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以COS<Si,S2>="如J2X3=-2.又两直线夹角的取值范围为(0,司，所若时=2%则空间P,D两点以l1和l2夹角的余弦值为2.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),间的距离为(D)8户、方(A)(B)(C)(D)解析：设P(x,y,z),因为天=2瀛,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-

2、x,3-y,4-z),史3-T知以在正方体ABCD-AiCiD中,M是AB的中点，则sinv庭】，威>的值等于(B)I100E(A)(B)'(C):(D)解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则ID(0,0,0),Bi(1,1,1),C(0,1,0),M(1,0),I所以=(1,1,1),;=(1,-,0).TT二一h焰X所以cosv*",.>=»"w=、i=所以sinvD"m>=E=15.故选B.在长方体ABCD-A1C1D中,AB=2,BC=2,DD=3，则AC与BD所成角的余弦值为(A)3抑3例伊(A

3、)0(B)(C)-(D)1解析：建立如图坐标系，则D(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).BDyAC所以cosV'",>=C=0.所以AC与BD所成角的余弦值为0.已知正四棱柱ABCD-ABGD中,AA1=2AB,则CD与平面BDC所成角的正弦值等于(A)2Apa/21_(A)(B)(C)(D)解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设AA=2AB=2则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),Ci(0,1,2),TTT故De=(1,1,0),”】=(0,1,2),dc=(0,1,0)

4、.设平面BDC的法向量rtn-DBOf1T、rr-rt"DC为n=(x,y,z),贝尸+y=0,即侦+M=Q,令z=1,则y=-2,x=2,所以平面BDC的一个法向量为n=(2,-2,1).设直线CD与平面BDC所成的角为0,件DC|£则sin0=|cos<n,。"'>|=mNDC|项，故选A.2. aa已知点M(a,0,a),平面兀过原点O,且垂直于向量n=(J,a),则点M到平面兀的距离d为.OM-nJ6解析：。M=(a,0,a),则M到平面兀的距离d=6a.3. 答案：。a如图正方体ABCD-ABGDi的棱长为1,O是平面A1B1C1D的

5、中心，贝UBO与平面ABGD所成角的正弦值为.11解析：建立空间直角坐标系，如图，则B(1,1,0),O(Zj,1),T11眼】=(1,0,1)是平面ABGD的一个法向量.又。占=(2,2,-1),1T二2一二二麟”必所以BC与平面ABGD所成角的正弦值为M珥即】|=2'=6.答案:(2019福州高二期中)如图，已知正方体ABCD-/BCD,棱长为4,E为面ADDA的中心,CF=3FC,AH=3HD.求异面直线EB与HF之间的距离；(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.解：以D1为原点，。,"气站分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立直角坐标系Dxyz，则E(2,0,

6、2),Bi(4,4,0),H(1,0,4),F(0,4,1).(1)=(2,4,-2),=(-1,4,-3),=(-1,0,2),设平面EBFH的法向量为n=(x,y,z),rtjpEB=0.t(2+4y-2z=0,则SHFF即取x=1,则z=-3,y=-2,则n=(1,-2,-3),T|n-EH|-l+0-6|奶异面直线EB与HF之间的距离为网=E4=2.=(2,4,-2),=(2,0,-2),=(-1,0,2),设平面HBE的法向量为mi=(x',y',z'),ImEH=0*=0,建n加】即Ux+4y-2z=0,II取x'=2,则y'=-',

7、z'=1.所以mi=(2,-,1).Tm?EB=0,'诉三=n仔工+4伊-跪=0.设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),贝M'1'即i2x-2z=0-取x=1,y=0,z=1,则m=(1,0,1),mrm2q所以cos<m1,m2>=¥1='.因为二面角H-B1E-A1为钝二面角，所以二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值为-丁.【能力提升】在正方体ABCD-ABGD中,E为BB的中点，则平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)£2(A)(B)(C)(D)解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为

8、1,I则D(0,0,0),Ai(1,0,1),E(1,1,),TI所以=(1,0,1),'=(1,1,).设平面AiED的法向量为n=(x,y,z),TX+z=0n，DA=Oj则(g。，即I21I令x=1,得y=-z=-1,所以n=(1,-Z-1).又平面ABCD勺一个法向量为=(0,0,1),第H-EB：T一*所以cos<n,>=-.2所以平面AED与平面ABC断成的锐二面角的余弦值为专.故选B.已知矩形ABC齿ABE哇等,D-AB-F为直二面角,M为AB的中点,FM吏与BD所成角为0,且cos。=可，则AB与BC的边长之比为(C)(A)1:1(B)&:1(C)龙

9、:2(D)1:2解析：设AB=a,BC=b建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各a点坐标为F(b,0,0),M(0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),a=(-b,0),=(0,-a,b),TI8+T(22TT所以|曲|=4,|“|=&日8，函BD=-2,-序+竺底奇吏|cos<*">|T=9,b2ABa2整理得4X"、5x/-26=0,所以风'=2.故选C.(2019烟台高二检测)棱长为1的正方体ABCD-A1CD.中,E,F分别是BC,CC6勺中点，则点D到平面EFDB的距离为.解析:以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

10、I1则D(0,0,0),F(0,0),E(,1,0),Di(0,0,1).所以=(-，-,0),'=(-,-1,1).11“产矛E1-x-y+z=0,设n=(x,y,z)为平面EFDBi的法向量，则'I易求平面EFDB一个的法向量为n=(-1,1,*,TI|DFn|1又晶=(0,2,0),所以d=ET纹I答案：在直三棱柱ABC-AB'C'中，底面ABC边长为2的正三角形，D'是棱AC'的中点，且AA=2论试在棱CC上确定一点M,使A"平面AB'D'当点M为棱CC中点时，求直线AB'与平面ABM所成角的正弦值.解:

11、(1)因为直三棱柱ABC-AB'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形,D'是棱AC'的中点，所以BD'LAC，所以BD'L平面ACCA,所以B'D'MM,所以在棱CC上确定一点M,使A雄平面AB'D',只要过A'作A雄AD交CC于点M即可.如图以A为原点，以用，希为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为直三棱柱ABC-AB'C'中，底面AB决边长为2的正三角形，第7页D'是棱AC'的中点，且AA=2很.所以A(0,0,0),B'(相,1,2成),A(0,0,2点

12、),b(1,0),M(0,2,我),所以'=(,1,2)"=(0,2,-),=(,1,-2),设平面ABM的一个法向量为n=(x,y,z),n-A'M=0*Qt2y-0,则=即槌x+yf室=0,令y=1,则n=(相,1,我)，设直线AB'与平面ABM所成的角为0.sin0=|cos<n，徊>|=|milAB|=寸2x气另=3.所以当点M为棱CC中点时，直线AB'与平面ABM所成角的巫正弦值为.【探究创新】如图，在四棱锥P-ABCW,PAL平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,/DABNABC=90,E是CD的中点.证明:CDX平面PA

13、E;若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABC断成的角相等，求四棱锥P-ABCD勺体积.解：如图，以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则相关的各点坐标为A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).TTT易知8=(-4,2,0),"=(2,4,0),"=(0,0,h).因为济"=-8+8+0=0，击"=0,所以CEXAE,CaAP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CEX平面PAE.由题设和（1）知，允示分别是平面PAE,平面ABC前法向量，而PB与平面PAE所成的角和P