《运动定律new》

1、 一一 掌握掌握功的概念功的概念, 能计算变力的功，能计算变力的功，掌握掌握质质点的动能定理和动量定理，点的动能定理和动量定理，理解理解质点系的内力和外质点系的内力和外力，力，了解了解质心概念和质心运动定理质心概念和质心运动定理.二掌握二掌握机械能守恒定律及其适用条件，质点机械能守恒定律及其适用条件，质点系的功能原理，系的功能原理，理解理解守力作功的特点及势能的概念守力作功的特点及势能的概念.三三理解理解动量、冲量概念，动量、冲量概念，掌握掌握动量守恒定理动量守恒定理及其适用条件，及其适用条件，理解理解碰撞和力的成因碰撞和力的成因.四掌握四掌握质点的角动量守恒定律及其适用条件质点的角动量守恒定

2、律及其适用条件. . N个质点组成的系统个质点组成的系统- - 研究对象称为质点系研究对象称为质点系。内力内力：系统内部各质点间的相互作用力系统内部各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：成对出现；大小相等方向相反特点：成对出现；大小相等方向相反结论：质点系的内力之和为零结论：质点系的内力之和为零0iif外力外力: : 系统外部对质点系内部质点的作用力系统外部对质点系内部质点的作用力Fff约定：系统内任一质点受力之和写成约定：系统内任一质点受力之和写成iifF外力之和外力之和内力之和内力之和（一）（一） 质点的动量定理质点的动量定理、动量的引入、动量的引入在牛顿力学中，物体的质量可视为常数在牛

3、顿力学中，物体的质量可视为常数2112ttvmvmdtFdtvdmF故故 )( vmddtF即即力的瞬时效应力的瞬时效应力的积累效应力的积累效应动能定理力的空间积累动量定理力的时间积累加速度：牛顿定律加速度：牛顿定律dtvmd)(）式中）式中叫做动量，是物体运动量的量度。叫做动量，是物体运动量的量度。vm）动量动量 是矢量，方向与是矢量，方向与同；同；vmPv动量是相对量，与参照系的选择有关。动量是相对量，与参照系的选择有关。 、冲量的概念、冲量的概念 ） 恒力的冲量恒力的冲量)(12ttFI ） 变力的冲量变力的冲量dtFId 此时冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定。此时冲量的方向不能由某

4、瞬时力的方向来决定。 指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。传递着的物理量。力在某一段时间间隔内的冲量力在某一段时间间隔内的冲量 ttodtFI冲量的方向与力的方向相同。冲量的方向与力的方向相同。 作用力作用力F恒量，作用时间恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，力对质点的冲量，(1)(1)冲量的方向：冲量的方向： 冲量冲量 的方向一般不是某一瞬时力的方向一般不是某一瞬时力 的方向，而的方向，而是所有元冲量是所有元冲量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。IiFtF d 21dtttF(2)(2)在直角坐标系中将矢量方程改

5、为标量方程在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d 1221vmvmdtFItt即即其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。其表示：物体所受外力的冲量等于物体动量的增量。3、质点的动量定理、质点的动量定理(3)(3)动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力。t2t1t FF 打击或碰撞，力打击或碰撞，力 的方向保的方向保持不变，曲线与持不变，曲线与t t轴所包围的面积轴所包围的面积就是就是t t1 1到到t t2 2这段时间内力这段时间内力 的

6、冲量的冲量的大小，根据改变动量的等效性，的大小，根据改变动量的等效性，得到平均力。得到平均力。FFPtF21ttF tF tdtPF将积分用平将积分用平均力代替均力代替动量定动量定理写为理写为平均力写为平均力写为2121dttF tFtt平均力大小：平均力大小：例例 动量定理解释了动量定理解释了“逆风行舟逆风行舟”船船前前进进方方向向风吹来风吹来取一小块风取一小块风dm为研究对象为研究对象00PPPIPImPd00初初mPd末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前前进进方方向向风对帆的冲量大小风对帆的冲量大小PI方向与方向与 相反相反PtPF例题例题 质量质量m=3t的重锤，从高度的重锤，从高度h=

7、1.5m处自由落到受处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。试求锤对工件的平均冲力。 解：解：以重锤为研究对象，分析受力，作受力图以重锤为研究对象，分析受力，作受力图： 解法一：锤对工件的冲力变化解法一：锤对工件的冲力变化范围很大，采用平均冲力计算，其范围很大，采用平均冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。向上为正。0()NFmg tmvmv初状态动量为初状态动量为2mgh

8、末状态动量为末状态动量为0 0NFmg()2NFmg tmgh得得到到2/NFmg mgh t解得解得代入代入m、h、t的值，求得的值，求得：(1)(1)51 92 10 NNF.=61 9 10 NNF.=(2)(2) 解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个解法二：考虑从锤自由下落到静止的整个过程，动量变化为零。过程，动量变化为零。重力作用时间重力作用时间为为2 /th g支持力的作用时间为支持力的作用时间为t根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，(2 /)0NF tmg th g得到解法一相同的结果得到解法一相同的结果2/NFmg mgh t即即 物

9、体物体m与质元与质元dm在在t时刻的速度以及在时刻的速度以及在t+dt时刻时刻合并后的共同速度如图所示：合并后的共同速度如图所示：mdmvutttd m+dmvvd F 把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时把物体与质元作为系统考虑，初始时刻与末时刻的动量分别为：刻的动量分别为：uvmmd 初始时刻初始时刻)d)(d(vv mm末时刻末时刻对系统利用动量定理对系统利用动量定理uvvvmmmmd)d)(d( tdF vvvmmmddddtdF 略去二阶小量，两端除略去二阶小量，两端除dtFuv tmmtdd)(dd 值得注意的是，值得注意的是，dm可正可负，当可正可负，当dm取负时，取负时，表

10、明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，表明物体质量减小，对于火箭之类喷射问题，utmdd为尾气推力。为尾气推力。例例 质量为质量为m的匀质链条，全长为的匀质链条，全长为L，手持其上端，使，手持其上端，使下端离地面为下端离地面为h.然后放手让它自由下落到地面上，如然后放手让它自由下落到地面上，如图所示图所示.求链条落到地上的长度为求链条落到地上的长度为l时，地面所受链条时，地面所受链条作用力的大小作用力的大小. Lh 解：解：此题可用变质量物体运动微分方此题可用变质量物体运动微分方程求解，用链条为系统，向下为程求解，用链条为系统，向下为x正向，正向，x t时刻，落地面链段时刻，落地面链段ml速度

11、为零，即速度为零，即u=0，空中链段（，空中链段（m-ml）速度为）速度为v，受力，受力如图。如图。Llx()lmm gFd() ()dllmm vmm gFt 由由变质量物体运动微分方程可得变质量物体运动微分方程可得因在自由下落中因在自由下落中 ，所以上式化简为，所以上式化简为ddvgtd()dlvmmFt 22 ()vg lh 或或dd() ()()ddlllvvm mm mm m gFtt因因 , ,又又d,dlmlml vLt 所以所以22()mm lhFvgLL 地面所受链条的作用力的大小地面所受链条的作用力的大小2()g(32 )lm lhmlmFFmgglh gLLL（二）（二）

12、 质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律 若系统所受的合外力若系统所受的合外力01iniF常矢量iiivm系统总动量守恒系统总动量守恒 一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为一个孤立的力学系统（即无外力作用的系统）或合外力为零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保零的系统，系统内各质点动量可以交换，但系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。持不变。这就是动量守恒定律。 注意：动量守恒式是矢量式注意：动量守恒式是矢量式01iniF(1)(1)守恒条件是守恒条件是0)(21 dtFtti而不是而不是 若若 ，但若某一方向的合外力零，但若某一方向的合外力零， 则该方向上则

13、该方向上 动量守恒；动量守恒； 01iniF(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中；必须把系统内各量统一到同一惯性系中； (4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力，若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 运用动量守恒。运用动量守恒。01iniF(2)(2)若若 表示系统与外界无动量交换，表示系统与外界无动量交换，01niiF表示系统与外界的动量交换为零。表示系统与外界的动量交换为零。0)(211 ttniidtF则系统无论沿那个方向的动量都守恒；则系统无论沿那个方向的动量都守恒；例一弹性球，质量例一弹性球，质量m0.20 kg，速度，速度v5 m/s，与墙碰撞后

14、弹回，与墙碰撞后弹回.设弹回时速度大设弹回时速度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是，设球和墙碰撞的时间，设球和墙碰撞的时间t0.05 s，60 ，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.xfsinsin0tmvmv 解以球为研究对象.设墙对球的平均作用力为f f，球在碰撞前后的速度为 和 ，由动量定理可得1v2v21f tmvmvm v 将冲量和动量分别沿图中N和x两方向分解得：Nfcos(cos)2costmvmvmv 解方程得xf0N2cos2 0.2 5 0.5f200.05mvNt

15、按牛顿第三定律，球对墙的平均作用力和 的方向相反而等值，即垂直于墙面向里.Nf例如图所示，一辆装矿砂的车厢以例如图所示，一辆装矿砂的车厢以v4 m/s的速率从漏斗下通过，每秒的速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的矿砂为落入车厢的矿砂为k200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多，如欲使车厢保持速率不变，须施与车厢多大的牵引力大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦忽略车厢与地面的摩擦).2200 48 10FkvN 解设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m，经过dt后又有dmkdt的矿砂落入车厢.取m和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量定理为Fdt(mdm)v(mvdm0)vdmkdt v则 如果

16、系统所受的外力之和为零（即如果系统所受的外力之和为零（即 ），则），则系统的总动量保持不变。这个结论叫做系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律动量守恒定律. .0iF条件条件0iF定律定律0ixFixixvmp0iyFiyiyvmpizizvmp= =常量常量0izF直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的分量形式常矢量iiivmP3.自然界中不受外力的物体是没有的，但如果自然界中不受外力的物体是没有的，但如果系统的系统的内力内力外力外力，可近似认为动量守恒。，可近似认为动量守恒。2.若合外力不为若合外力不为 0 0，但在某个方向上合外力分量，但在某个方向上合外力分量为为 0 0，这个方向

17、上的动量守恒，这个方向上的动量守恒。1.对于一个质点系，若合外力为对于一个质点系，若合外力为 0 0，系统的总动量，系统的总动量保持不变，但系统内的动量可以相互转移。保持不变，但系统内的动量可以相互转移。明确几点明确几点例题例题 如图所示如图所示, ,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮车发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为，炮弹的出口速度为v，求，求炮车的反冲速度炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。解解: : 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力直方

18、向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而，而且且 ，在发射过程中，在发射过程中 并不成立并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。零，所以这一系统的总动量不守恒。NGNGNG vmM经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度度 ，按速度变换定理为，按速度变换定理为uVvu它的水平分量它的水平分量为为Vvux cos于是，炮弹在水平方向的动量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos -V)，而炮而炮车在水平方向的动量为车在水平方向的动量为- -MV。根据动量

19、守恒定理有。根据动量守恒定理有 cosvMmmV 由此得炮车的反冲速度为由此得炮车的反冲速度为 0cos VvmMV 解解: :物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即等于零，即例题例题 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块

20、的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。 所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。小相等方向相反，如图所示。因为因为v1 1和和v2 2相互垂直所以相互垂直所以0332211 vmvmvmm3v3m2v2m1v1 222211233)()()(vmvmvm 22312121.2m/s2vvv由于由于 和和 所成角所成角 由下式决定由下式决定：1v3v 0180,45, 101

21、2vvtg因因所以所以135即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内1353v1v2v由于由于 , ,所以所以 的大小为的大小为3vmmmmm2,321 例题例题 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面上用的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在何。问他们将在何处相遇？处相遇？解解: :把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右建立如图坐标系。以两个小孩的

22、中点为原点，向右为为x轴为正方向。设开始时质量为轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分，他们在任意时刻的速度分别别v1为为v2,相应坐标为相应坐标为x1和和x2由运动学公式得由运动学公式得Cm2m1x10 x20 xO10120200ddttxvtxvt11010dtxxv t22020dtxxv t在相遇时，在相遇时，x1=x2=xc，于是有，于是有即即1020210()dtxxvvt因动量守恒，所以因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式上式得代入式上式得1121020110022(1)

23、ddttmmmxxvtvtmm2202101012dtm xm xvtmm即令令x1=xc得得211012022110220210mmxmxmmmxmxmxxc 上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们上述结果表明，两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出律求出XOtt+dtvt 时刻时刻 火箭的速度火箭的速度Mt 时刻时刻 火箭的质量火箭的质量dmt +dt 时刻喷出气体的质量时刻喷出气体的质量ut +dt 时刻喷出气体相对于火箭的速度时刻喷出气体相对于火箭的速度M+dMt +dt 时刻火箭的质量时刻火箭

24、的质量v+dvt +dt 时刻火箭的速度时刻火箭的速度选地面参考系，并建立直角坐标系选地面参考系，并建立直角坐标系由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：由于火箭在喷出气体前及喷出气体后系统动量守恒：在火箭喷出气体在火箭喷出气体 dm 前前 ，系统动量，系统动量：喷出气体喷出气体 dm 后后 ，火箭的动量火箭的动量：喷出气体喷出气体 dm 的动量：的动量：选选 t t 时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系时刻火箭及内部气体为系统，对于地面参考系d(d )muvv(d)(d )MMvvMvMv(d)(d )MMvvd(d )muvv将（将（2 2）、（）、（3 3）式代入（）式代入（1

25、 1）式中并整理得到：）式中并整理得到：dd(2)mM dd0(3)Mv dd0(4)u MM v dd(5)MvuM d(d) (d )(d )m vv uMM vv(1)Mv设火箭在点火前质量为设火箭在点火前质量为Mi，初速度为，初速度为 vi设火箭在燃料烧完后质量为设火箭在燃料烧完后质量为Mf，速度为，速度为 vf 火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。dd(6)ffiivMvMMvuM ln(7)ififMvvuM提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一条是提高火箭

26、喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u第二条是加大火箭质量比第二条是加大火箭质量比M0/M( (选优质燃料选优质燃料 ) ) ( (采取多级火箭采取多级火箭) )F等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。rcosrFArFF（1 1）功是标量，有正负之分）功是标量，有正负之分（2 2）作功与参照系有关）作功与参照系有关静f1.恒力的功恒力的功明确几点明确几点ba 物体在变力的作物体在变力的作用下从用下从a运动到运动到b。 怎样计算这个力怎样计算这个力的功呢？的功呢？采用微元分割法采用微元分割法2.变力的功变力的功Fbadr（1 1） 位移内力所作的功为：位移内力所作

27、的功为：drddAFrdFr（2 2）整个过程变力作功为：）整个过程变力作功为：)()(baA积分形式：积分形式：rFdbaabA 在数学形式上，力的功等于力在数学形式上，力的功等于力 沿路径沿路径L从从a到到b的的线积分。线积分。FF rF- -r图，图，A= =曲线下的面积曲线下的面积直角坐标系：直角坐标系：ddddxyzAFxFyFzbbbaaa dddxyzabxyzxyzAFxFyFz总功总功(N)xyzFF iF jF kdddd(m)rxiyjzk元功元功受力受力元位移元位移自然坐标系：自然坐标系：ba dsabtsAF sd() dt tn ntFrFeF esedtF s解(

28、1)由点(0,0)沿x轴到(2,0)，此时y0，dy0，所以2221008()3xAF dxxdxJ 例例 质点所受外力质点所受外力 ，求质点由点，求质点由点(0,0)运动到点运动到点(2,4)的过程中力的过程中力F所做的功：所做的功：(1)先沿先沿x轴由点轴由点(0,0)运动到点运动到点(2,0)，再平行，再平行y轴由轴由点点(2,0)运动到点运动到点(2,4)；(2)沿连接沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；两点的直线；(3)沿抛物线沿抛物线 由点由点(0,0)到点到点(2,4)(单位为国际单位制单位为国际单位制).2yx由点(2,0)平行y轴到点(2,4)，此时x2，dx0，故442

29、00126481453yAF dyydyJAAAJjxyixyF3)(22(2)因为由原点到点(2,4)的直线方程为y2x，所以242422200003(4)402xyAf dxf dyxxdxy dyJ324422002()34215Axxdxy dyJ(3)因为 ，所以2yx（1）平均功率平均功率tAP（2） 功率功率ddAPt恒力的功率：恒力的功率：tAPt0limddAtddrFtvFvFp12d() dbbabnaaAFrFFFr12nniiAAAA3.合力的功合力的功4.功功 率率 功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力

30、叫做历的路径无关，这类力叫做保守力。保守力。不具备这种性不具备这种性质的力叫做质的力叫做非保守力。非保守力。 设质量为设质量为m的物的物体在重力的作用下从体在重力的作用下从a点任一曲线点任一曲线abc运动到运动到b点点。1. 1. 重力作功重力作功Ghbahh ahabcbhd 在元位移在元位移 中，重中，重力力 所做的元功是所做的元功是 sGsGAcossmgcoshmgAAhmghmgbamghmgh Ghbahh ahabcbhd 由此可见，重力作由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体置有关，而与运动物体所经历的路径无关。所经历的路径无关。bamgh

31、mghA 设物体沿任一闭合设物体沿任一闭合路径路径 运动一周，运动一周，重力所作的功为：重力所作的功为：abcdabaadbmghmghA)(babcamghmghAGhbahh ahabcbhd0bcaadbAAA0dsGA 表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。动一周时重力所作的功为零。Ghbahh ahabcbhd2. 2. 弹性力的功弹性力的功 弹簧劲度系数为弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系一端固定于墙壁，另一端系一质量为一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设的物体，置于光滑水平地面。设 两点两点为弹簧伸长后物体的

32、两个位置，为弹簧伸长后物体的两个位置， 和和 分别表示物分别表示物体在体在 两点时距两点时距 点的距离。点的距离。ba、ba、oaxbxXOXxbOxax0lXxbOxax0lbaxxxFAdbaxxxkxd222121bakxkx 由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。位置有关，与具体路径无关。221122abAkxkx=-3.3.万有引力的功万有引力的功 两个物体的质量分别为两个物体的质量分别为M和和m，它们之间有万有它们之间有万有引力作用。引力作用。M静止，以静止，以M为原点为原点O建立坐标系，研究建立坐标系，研究m相对相对

33、M的运动。的运动。rdrdbbrFraarmOMrFAddrrmMGdcos20)cos(dcosdrrrFAddrrmMGdcos20)cos(dcosdrrrdrdbbrFraarmOMrrmMGAdd20barrAAdbarrrrmMGd20)11(0barrmMG 由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。末位置有关，与具体路径无关。011abAG mM()rr= -)(12mgymgyA重)2121(2122kxkxA弹)()(12rMmGrMmGA引 这三种力对质点作功仅决定于质点运动的始末位这三种力对质点作功仅决定于质

34、点运动的始末位置，与运动的路径无关，称为置，与运动的路径无关，称为保守力保守力。 保守力的判据是：保守力的判据是：d0Fr任意 设有两个质点设有两个质点1 1和和2 2，质量分别为，质量分别为 和和 ， 为为质点质点1 1受到质点受到质点2 2的作用力，的作用力， 为质点为质点2 2受到质点受到质点1 1的作的作用力，它们是一对作用力和反作用力用力，它们是一对作用力和反作用力。1m1F2m2F1m2m1r2r2rd1rd1rdrdr1F2FrrdxyzO111ddrFA2211dddrFrFA222ddrFA)d(dd1211rrFrFrFrFFdd)(2122rFd2 表明：任何一对作用力和

35、反作用力所作的总表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质。功具有与参考系选择无关的不变性质。 保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对保守力的普遍定义：在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关。而与各质点的运动路径无关。 由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功由此可见，成对作用力与反作用力所作的总功只与作用力只与作用力 及相对位移及相对位移 有关，而与每个质点各有关，而与每个质点各自的运动无关。自的运动无关。2Frd摩擦力的功摩擦力的功 tfemgFbabaremg

36、rFAddtf 摩擦力作功与路径有关，摩擦力作功与路径有关，摩擦力是非保守力摩擦力是非保守力！ abbaSFsmgfd质量为质量为m的物体在桌面上沿曲线的物体在桌面上沿曲线路径从路径从a点运动到点运动到b点，设物体点，设物体与桌面的摩擦系数为与桌面的摩擦系数为 ， 其中其中Sab为物体经过的路程，与物体的运动路径有关。为物体经过的路程，与物体的运动路径有关。总结：总结： 根据各种力作功的特点，可将力分为保守力和根据各种力作功的特点，可将力分为保守力和非保守力。非保守力。 保守力（保守力（conservative force）：如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。如：重力、万有引力、弹性力以

37、及静电力等。 非保守力非保守力（non-conservative force）：如：摩擦力、回旋力等。如：摩擦力、回旋力等。 作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 作功不仅与始末位置有关，还与路径有关力。作功不仅与始末位置有关，还与路径有关力。 势能：势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动能。几种常见的势能：几种常见的势能：重力势能重力势能mghEp弹性势能弹性势能212pEkx=万有引力势能万有引力势能rMmGEp0 （1 1）势能既取决于系统内物体之间相互

38、作用）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。保守力的功保守力的功ppbpacEEEA 成对保守内力的功等于系统势能的减少（或成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。势能增量的负值）。注意：注意： （2 2）物体系统在两个不同位置的势能差具有）物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。 （3 3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意）势能差有绝对意义

39、，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。义。势能零点可根据问题的需要来选择。势能零点的选择势能零点的选择（1 1）重力势能）重力势能cmgyyEp)(重力重力0 势点一般选在物体运动最低点势点一般选在物体运动最低点y=0处，则处，则得到得到mgyyEp)(00)0(cmgEp0 c弹性弹性0 势点一般选在弹簧的原长势点一般选在弹簧的原长x=0 处。则处。则（2 2）弹性势能）弹性势能ckxxEp221)(（3 3）万有引力势能）万有引力势能crMmGrEp)(0)(cMmGEp得到得到rMmGrEp)(0 c得到得到221)(kxxEp0021)0(2ckEp0c 能量能量是各种

40、运动形式的一般量度，是物体状是各种运动形式的一般量度，是物体状态的单值函数，反映物体做功的本领。态的单值函数，反映物体做功的本领。根据功的积分形式根据功的积分形式 baabArFd basma d222121abmvmvstvmbaddd basF d bavvvmv d221mvEk 定义质点的动能为：定义质点的动能为：kkakbabEEEA 动能定理动能定理: :合外力对质点所做的功等于质点动合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。能的增量。 a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。点动能减小。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量，功是一

41、个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系它们之间仅仅是一个等量关系。 b.动能的量值与参考系有关。动能的量值与参考系有关。c.动能定理只适用于惯性系。动能定理只适用于惯性系。几点注意：几点注意： 例题例题 装有货物的木箱，重装有货物的木箱，重G980N，要把它运上，要把它运上汽车。现将长汽车。现将长l3m的木板搁在汽车后部，构成一斜面的木板搁在汽车后部，构成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角，角，木箱与斜面间的滑动摩擦系数木箱与斜面间的滑动摩擦系数 =0.20，绳的拉力，绳的拉力 与 斜 面 成与 斜 面 成 1 0

42、o角 ， 大 小 为角 ， 大 小 为 7 0 0 N ， 如 图 所 示 。， 如 图 所 示 。 求：（求：（1）木箱所受各力所作的功；（）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱）合外力对木箱所作的功；（所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功？不能少做些功？30300 0F解：解：木箱所受的力如图所示木箱所受的力如图所示（1 1）拉力）拉力F 所做的功所做的功A131cos102.07 10 JAFl重力重力G所做的功所做的功A232cos 180 601.47 10 JAFl（-） -FN10103030FGf正压力正压力 所做的

43、功所做的功A3NF3cos900NAF l 摩擦力摩擦力f所作的功所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第二定律得没有运动，根据牛顿第二定律得sin10cos300NFFGcos30sin10727NNFGF由此可求得摩擦力由此可求得摩擦力145NfN4cos180435JAf l （2 2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算出合力所作的功出合力所作的功1234165JAAAAA（3 3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 至

44、少要等于重力至少要等于重力 。在这个拉力的作用下，。在这个拉力的作用下，木箱移动的竖直距离是木箱移动的竖直距离是 。因此拉力所作的。因此拉力所作的功为功为FGol30sin3sin301.47 10 JAFl 与（与（1 1）中）中F作的功相比较，用了起重机能够少作功。作的功相比较，用了起重机能够少作功。我们还发现，虽然我们还发现，虽然F比比F大，但所作的功大，但所作的功A却比却比A1为为小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和位移的大小及位移与力之间的夹角有关。因此机械不位移的大小及位移与力之间的夹角有关。因此机械不能省功，但能省力或省时间

45、，正是这些场合，使我们能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们对功的概念的重要性加深了认识。现在，在（对功的概念的重要性加深了认识。现在，在（1 1）中推）中推力力F 所多作的功所多作的功 起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦力，用去擦力，用去435J435J的功，它最后转变成热量；第二，余的功，它最后转变成热量；第二，余下的下的165J165J的功将使木箱的动能增加。的功将使木箱的动能增加。3332.07 10 J1.47 10 J0.60 10 J 多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要考虑质点

46、间的相互作用力（内力）。要考虑质点间的相互作用力（内力）。1F2F12f21fm1m2 二质点组成的二质点组成的系统系统 多个质点组多个质点组成的系统成的系统 两个质点在外力及内两个质点在外力及内力作用下如图所示：力作用下如图所示：推推广广 对对m1 1运用质点动能定理：运用质点动能定理：对对m2 2运用质点动能定理：运用质点动能定理：111122111211 11 111dd22bbbaaaFrfrmvmv222222212222222dd1122bbaabaFrfrm vm v1F2F12f21fm1m2作为系统考虑时，得到作为系统考虑时，得到：推广推广: :上述结论适用多个质点。上述结论

47、适用多个质点。 质点系动能定理：质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点所有外力与所有内力对质点系做功之和等于质点系总动能的增量。系做功之和等于质点系总动能的增量。kkakbEEEAA内内外外1211211122121222221 12 21 12 2dddd1111()()222211bbbb12aaaabbaaFrFrfrfrmvm vmvm v 因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保因为对系统的内力来说，它们有保守内力和非保守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功守内力之分，所以内力的功也分为保守内力的功 和和非保守内力的功非保守内力的功 。 icAidAidiciAAApicEA

48、EEEAApkidekieEAA 系统的功能原理：系统的功能原理：当系统从状态当系统从状态1 1变化到状态变化到状态2 2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。的功的总和，这个结论叫做系统的功能原理。例题例题 在图中，一个质量在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从沿四分之一的圆周从A滑到滑到B，已知圆的半径，已知圆的半径R=4m，设物体在设物体在B B处的速度处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。擦力所作的功。 NGfrORAB

49、vdcosdvfmgmtdcosdvmgfmamt则则解：解：解法一，根据功的定义，解法一，根据功的定义，以以m为研究对象，受力为研究对象，受力分析分析. .dAf s阻9000cosddvmgRmv v 221mvmgR解法二，解法二，根据根据动能定理，动能定理，对物体受力分析，只有重力对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功，和摩擦力作功，21cos d2mgsAmv阻90201cosd2AmvmgR阻mgRmv221解法三，根据功能原理，解法三，根据功能原理，以物体和地球为研究对象以物体和地球为研究对象0eA,inAA阻pkEEA阻mgRmv2212142.4J2AmvmgR 代入已知数字得

50、代入已知数字得负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功作功42.4J42.4J 机械能守恒定律：机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内如果一个系统内只有保守内力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系力做功，或者非保守内力与外力的总功为零，则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。PKEEE常量常量或或PbPaKaKbEEEE或或条件条件0ideAAPbKbPaKaEEEE定律定律 一个孤立系统经历任何变

51、化时，该系统的所有能一个孤立系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。这就是就是普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律. .例题例题 起重机用钢丝绳吊运一质量为起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速的物体，以速度度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸物体因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？长？( (设钢丝绳的劲度系

52、数为设钢丝绳的劲度系数为k k，钢丝绳的重力忽略不，钢丝绳的重力忽略不计计) )。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？大？解解: :我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都不作功，所以系统的机械能守恒。不作功，所以系统的机械能守恒。x0hGTv0 现在研究两个位置的机械能。现在研究两个位置的机械能。 在起重机突然停在起重机突然停止的那个瞬时位置，物体的动能为止的那个瞬时位置，物体的动能为20121mvEk

53、设这时钢丝绳的伸长量为设这时钢丝绳的伸长量为x0，系统的弹性势能为，系统的弹性势能为20121kxEp 弹弹 如果物体因惯性继续下降的微小距离为如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且，并且以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统这时的重力势能为这时的重力势能为mghEp 重重1所以，系统在这位置的总机械能为所以，系统在这位置的总机械能为mghkxmvEEEEppk 202011112121重重弹弹 在物体下降到最低位置时，物体的动能在物体下降到最低位置时，物体的动能E Ek2k2=0=0，系统的弹性势能应为系统的弹性势能应为202)(21hx

54、kEp 弹弹此时的重力势能此时的重力势能02 重重pE202222)(21hxkEEEEppk 重重弹弹所以在最低位置时，系统的总机械能为所以在最低位置时，系统的总机械能为按机械能守恒定律，应有按机械能守恒定律，应有E1 1E2 2，于是，于是202020)(212121hxkmghkxmv 021)(212002 mvhmgkxkh 由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长x0量满足量满足x0=G/k=mg/k，代入上式后得，代入上式后得0202 mvkh0vkmh 即即 钢丝绳对物体的拉力钢丝绳对物体的拉力T和物体对钢丝绳的拉力和物体对钢丝绳的拉力T是是一对作用

55、力和反作用力。一对作用力和反作用力。T和和T的大小决定于钢丝绳的大小决定于钢丝绳的伸长量的伸长量x，T=kx。现在，当物体在起重机突然刹车。现在，当物体在起重机突然刹车后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量后因惯性而下降，在最低位置时相应的伸长量x=x0+h是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力000)()(vkmmgvkmkmgkhxkTm 由此式可见，如果由此式可见，如果v0较大，较大，Tm也较大。所以对也较大。所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不得超过不得超过某一限值。某一限值。例题例题

56、用一弹簧将质量分别为用一弹簧将质量分别为m1和和m2的上下两水平木的上下两水平木板连接如图所示，下板放在地面上。（板连接如图所示，下板放在地面上。（1 1）如以上板）如以上板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。（2 2）对上板加多大的向下压力）对上板加多大的向下压力 F，才能因突然撤去，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？它，使上板向上跳而把下板拉起来？x0 xOxFx1x2解解: :（1 1）参看图）参看图(a)，取上板的平衡位置为，取

57、上板的平衡位置为x 轴的原轴的原点，并设弹簧为原长时上板处在点，并设弹簧为原长时上板处在x0位置。系统的弹位置。系统的弹性势能性势能x0 xOxFx1x20220202121)(21kxxkxkxxxkEpe gxmEpg1 系统的重力势能系统的重力势能所以总势能为所以总势能为gxmxkxkxEEEpgpep10221 考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得kx0=m1g，代入上式得代入上式得221kxEp 可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原可见，如选上板在弹簧上静止的平衡位置为原点和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单点和势能零点，则系统的总势能将以弹性势能的单一形式出现。一形式出现。末态末态初态初态（2 2）参看图）参看图(b)，以加力，以加力F 时为初态，撤去力时为初态，撤去力F 而而弹簧伸长最大时为末态，则弹簧伸长最大时为末态，则x0 xOxFx1x22111210kxEEpk2222210kxEEpk22212121kxkx 根据能量守恒定律，应有根据能量守恒定律，应有因恰好提起因恰好提起