行列式的定义

1、定义1由n个自然数1,2，n组成的一个无重复的有序数组i1i2in,称为一个n级排列.例如，1234和2431都是4级排列，而45321是一个5级排列.显然，n级排列共有n!个.排列12n中元素之间的次序为标准次序，这个排列是标准排列(通常也称为自然排列)；其它的排列的元素之间的次序未必是标准次序定义2在n个不同元素的任一排列中，当某两个元素的次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.也就是说，在一个n级排列i1i2itisin中，如果一个较大的数排在一个较小的数之前，即若itis,则称这两个数it,is组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为T(i1i23in)或t.例

2、如，排列2431中，21,43,41,31是逆序，共有4个逆序.故排列2431的逆序数1=4.根据定义1.1.2,可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个n级排列i/2in中，比it(t=1,2，n)大的且排在it前面的数共有ti个，则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数.即n(i/in)=t1t2,tnCti.i工例1计算排列45321的逆序数.解因为4排在首位，故其逆序数为0;比5大且排在5前面的数有0个，故其逆序数为0;比3大且排在3前面的数有2个，故其逆序数为2;比2大且排在2前面的数有3个，故其逆序数为3;比1大且排在1前面的数有4个，故其逆序数

3、为4.可见所求排列的逆序数为1(45321)=0+0+2+3+4=9.定义3如果排列g2in的逆序数为奇数，则称它为奇排列；若排列i/2in的逆序数为偶数，则称它为偶排列.例如，2431是偶排列，45321是奇排列；标准排列12-n的逆序数是0,因此是偶排列.2 .对换定义1在排列i1i2itisin中，将任意两数it和is的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这种作出新排列的手续称为一次对换.将相邻两数对换，称为相邻对换.例如，对换排列45321中5和1的位置后，得到排列41325.经过对换，排列的奇偶性有何变化呢？我们有下面的基本事实定理1对换改变排列的奇偶性.也就是说，经过一次对

4、换，奇排列变成偶排列，而偶排列变成奇排列推论奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶3 .n阶行列式定义1设有n2个数，排成n行n列的表：Qiai2ama2ia22a2n.,.aa.aa.qanian2ann作出表中位于不同行列的n个数的乘积，并冠以符号(1尸,得到n!个形如j1a2jJ'anjn称为n阶行列式，记作j1j2.jnana2n(1)7alj1a2anjn的项，其中j1j2jn为自然数1,2,，n的一个排列，t为这个排列的逆序数.所有这n!项的代数1a11a12=(_1)(j1j2"jn)a1ja2janj1j12j2njnj"

5、;2jna21a22*aan1an2其中£表示对所有的n级排列jj2jn求和.行列式有时也简记为det(aj),这里数jj.jna。称为行列式的元素，(-1)於j2jn)a1j1a2j.anjn称为行列式的一般项.定义1.1.5通常称为行列式的“排列逆序”定义，它具有三个特点：由于n级排列的总数是n!个，所以展开式共有n!项；每项必须是取自不同行不同列的n个元素的乘积；每项前的符号取决于n个元素列下标所组成排列的奇偶性.要注意的是，当n=1时，一阶行列式a=a,不要与绝对值记号相混淆例1证明行列式(其中非副对角线上的元素全为0).a1na2,n4n(n-1)一(一1)a1na2,n4

6、an1.an1证根据n阶行列式的定义易得alna2nn(nJ)=(-1)(n(321)a1na2,n-an1=(-1)"a1na2,n_1an1an1上例中行列式，其非副对角线上元素全为0,此类行列式可以直接求出结果，例如二(-1)(4321)1234=24.证毕0的行列式称为对角行列式，显然对角行列式的值为主类似地，非主对角线上元素全为对角线上元素的乘积，即有ana22-a11a22annann主对角线以下（上）的元素全为的一样.例2计算上三角形行列式0的行列式称为（下）三角行列式，它的值与对角行列式a11a12a1n0a22-a2n9-9-00-ann解一般项为（1产1j2jn）

7、alja2janj,现考虑不为零的项.1匚j2njnanjn取自第n行，但只有ann#0,故只能取jn=n；anj取自第n-1行，只有1anAn#0，ann#0，由于ann取自第n列，故anj不能取自第n,nni,nnnni,jn1n列，jn=n-1；所以同理可得，jn=n-21，j2=2,j1=1.所以不为零的项只有(12n).(-1)a11a22ann=a11a229nn-a110a12ana22a2n=a11a22ann在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，n阶行列式的项可以写成aijiai2

8、j2"Odn种表示法其中iii2in,jij2jn是两个n级排列.利用定理1.1.1，可以给出n阶列式另定理1n阶行列式也定义为a11ai2a1na21a22a2nz彼inj1j2j(-1严U"1%"j"-a.jn.an1an2ann推论n阶行列式也定义为a11a12a21a22*man1an2a1na2nann二(-1)(12n)ai11a.22"ainn.M,in例2在四阶行列式中,a21a32a14a43应带什么符号?解1)按定义1.1.5计算.因为a21a32a14a43=a14a21a32a43，而4123的逆序数为1(4123)=0

9、+1+1+1=3,所以a21a32a14a43的前面应带负号.2)按定理1.1.2计算.因为a21a32a14a43行指标排列的逆序数为1(2314)=0+0+2+0=2,列指标排列的逆序数为(1243)=0001=1.所以a21a32a14a43的前面应带负号.4、行列式的性质性质1行列互换，行列式小变，即a11廿2a1na11a21an1a21a22a2na12a22an2mmm=aaaan1an2anna1na2nann性质2交换行列式中两行(列)的位置，行列式反号.推论若行列式中有两行（列）相同，则该行列式为零性质3用一个数乘以行列式的某一行（列）,等于用这个数乘以此行列式，即a11队

10、“na11a12mmm*akai1kai2kain=kai1队mmm*aan1an2annan1an2a1nainann第i行（或列）乘以k，记为工xk（或g父k）.推论推论推论性质1234行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面若行列式中一行（或列）的元素都为零，则该行列式为零若行列式中有两行（列）成比例，则该行列式为零若行列式中第i行（列）的元素是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和.其中这两组数分别是这两个行列式第i行（列）的元素，而除去第i行（列）外，这两个行列式其它各行（列）的元素与原行列式的元素是相同的a11a1nai1bi122.bi2a:bainina

11、n1an2anna11ai2a1na11ai2a1nai1ai2ainbi1bi2binan1an2annan1an2ann若n阶行列式每个元素都表示成是两数之和,则它可分解成2n个行列式.如a+xb+yc+zd+wab+ycd+wy|.性质5将行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上,行列式不变例如以数k乘第j行加到第i行上（记作ri+krj）,有a)1a)2ai1a2aj1弗an1an2aina)1!a12ainain.an十kaj11-比+kaj2a-ain+kajna一ajn.aj1I-aj2a-ajnaannan1an2-ann以数k乘第j列加到第i列上，记作Ci+kcj.第二讲

12、行列式的计算教学目的：掌握行列式的计算教学重点与难点：行列式的计算教学计划时数：2学时教学过程：1、化行列式为三角行列式来计算性质2,3,5介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即1口，*Mk,u+3和G5,Gxk,g+kcj.利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算ri+krj（或Ci+kcj）可以把行列式中许多元素化为0,进而把行列式化为三角行列式，最后得到行列式的值.例如把行列式化为上三角行列式的步骤是：把行列式化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0,然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列除第一个元素外其余

13、元素全为0.再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式，如此继续下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值计算行列式-1-1-1-1-1r1r2D=r3r1r3-2r1-1-1r4工3-14r3T2r33r2-2-1(-1)(-2)(-2)计算n阶行列式abbbbabbDn=bbab999abbba注意到此行列式中各行（列）的n个数之和相等，故可把第二列至第n列都加到第一列上去，然后各行都加上第一行的（1）倍，就有a十(n-1)bc1卡2卡*na+(n-1)bDn=a十(n-1)ba+(n-1)ba(n-1)bbbbabbbabaaabbabb,一

14、ba-b0-00a-b-一0r2-r10311=01mrn-ri000a-b按本例，特别地有:3111131111311113=3(4-1)1(3-1)4-48.2、行列式按行（列）展开定理定义1在n阶行列式中，把元素5所在的第i行和第j列划去后，余下的（n-1）阶行列式，称为元素a的余子式，记为Mj；再记i:(jAj=(1)Mj,称Aj为元素aj的代数余子式例如，对三阶行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33元素a12的余子式和代数余子式分别为M12a21a31a23a33=a(n-1)b(a-b)nJ.1-ba21a31a33A2=(T)m12=m12=21有了定义1,

15、三阶行列式可以写成aiia12a13a21a22a31a32a23a33-a11M11a12M12,a13M13-a11A11a12A2a13A引理一个n阶行列式D,若其中第i行（或第j歹U）所有元素除aij外都为零，则该行列式等于aj与它的代数余子式的乘积，即D=ajAj.定理1行列式等于它的任一行（或列）的所有元素分别与其所对应的代数余子式乘积之和，即D=aiA+422+ainAn（i=1,2,，n）,或D=a1jAj,a2jA2j,anjAnj（j=1,2,n）.推论行列式的任一行（或列）的元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即用Aj1ai2Aj2ainAjn=0,

16、i=j,a1iA1j'a2iA2j,aniAnj=0,i-j.上述定理和推论合起来，称为行列式按行（列）展开定理我们可以利用定理1来计算一些简单的行列式.例3计算行列式3412-1005解因为D中第二行的数字比较简单，所以选择D的第二行.应用性质5得67D=C4-2c120-1220-4-12067按第二行=展开21)2+1-1211=2142-111C2-C16=213=2-35-9=2(-2715)=-24.例4计算n阶行列式Dn解将Dn按第1列展开，则有Dn-a(-1)n1b(nd)(n)(-1)n1bn.nJn1n=aa(-1)bb=a证明范彳惠蒙德（Vandermonde）行

17、列式111X1X2Xn222X1X2Xn-m-nnJ二.(X-Xj),nJjjDn其中记号证“n”表示全体同类因子的乘积用数学归纳法.因为D2XiX2=X2-%=n(Xi-Xj),2J.j.1n阶范所以当n=2时公式成立.现假设公式对于（n-1）阶范德蒙德行列式成立，要证对德蒙德行列式也成立.对Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的X1倍，有DnX2-X1X2(X2-X1)X3-X1X3(X3-X1)Xn-为Xn(Xn-X1)X27X2-X1)n-2X3(X3-X1)XnlXn-X1)按第一列展开，并把每列的公因子（Xi-X1）（i=2,3，n）提出，得到Dn=(X2'xi)(x3-x

18、i)(xnxi)X2X3Xn上式右端的行列式是（n-1）阶范德蒙德行列式，由归纳假设,它等于所有因子(XiXj)(n之iAj之2)乘积.故Dn=(x2-X1)(X3-X1)(xn-X1)L(xi-Xj)nj_2=一：(为-”n_ij_1证毕由例5立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是x1,x2，xn这n个数中至少有两个相等.另外，我们可用例2222333233442431552535的结果直接计算行列式，如-(5-4)(5-3)(5-2)(4-3)(4-2)(3-2)-12.第三讲习题课教学目的：通过本节的学习，使学生对本章内容有个较为全面的理解和掌握，同时通过练习来巩固本章的相关知识点

19、.教学计划时数：2课时教学过程：1内容精要排列，排列的逆序数，行列式的概念，行列式的性质，行列式的计算2知识脉络图'排列，排列的逆序数，奇（偶）排列n阶行列式的定义:D=S（-1）耳华"anjti,工为排列j1j2jn的逆序数j1j2jn12"（不同行不同列的n个元素乘积的代数和）两个翻：全翻（转置）不变，部分翻（交换）变号三个零：某行（列）元素全为零，两行（列）对应位置元素相等,两行（列）对应位置元素成比例行列式三个可性：可提性，可分性，可加性k=4按行（列）展开：D=£akiAkjaikAjk展开式«tk-I拉普拉斯展开：D=£Mi

20、Ai3基本方法：定义法，三角形法，展开法计算方法:特殊方法：对角线法则，范德蒙德行列式，递推公式，数学归纳法，加边法，拆开法，三对角行列式等3典型例题例1用行列式定义计算行列式02Dnn-10解：Dn仅有位于不同行、不同列的n个非零元素，即a1,n4=Ia2,n_2=2,an,1=n-1ann=n.因此Dn的n!项中仅有一项非零，故(n)(n4)r1n),Dn-(-1)a1,n-1a2,n-2an-1,1ann.因为i(n-1)(n-2)321n)=(n-2)+(n-3)+3+2+1+0-(n-2)(n-1)2所以例2计算行列式D4(nZ(n)Dn=(-1)2n!.-6-1分析对于元素是数字的

21、行列式，通常运用行列式的性质将其化为三角行列式来计算,或将其某一行（列）化成有较多0元素之后,再按该行展开降阶解法一（化为三角形行列式）-11r4D4-6r2r14-3二321-1-5-53-5-5253-423r4-220-41-23-17-10-1-1443=-1-23-10-3-132r4=4-3r3=-1-10-19.-3-19解法二（利用行列式的展开定理逐次降阶）C3C1D4=C42cl-1=1(-1)31-23-1-41-1J9.345C29c13-23-104-53=4-41-17195C3-5C110041=(一1)(-1)注上述两种解法是计算数字行列式常用的方法例3计算行列式

22、Dn1=bib2bnai000a209-a-00ana0C1,其中aia2an#0.分析因为Dn书主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值a。cijcj解Dn=j=2,3,nn-zj10c.b.jjbibnai0an-a°aia2an注本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种，常用的计算方法是把它化为三角形行列式.计算行列式a0biciDn1二C2ai0a2bn0,其中a1a2an=0.cna。Cijc

23、j解Dn=j2,3,nn-zj10ajbibnai0a2an分析因为Dn书主对角线上的元素非零，可利用行列式性质将第一列（行）除第一个元素外的其它元素化为零，把行列式变成上（下）三角行列式，从而可计算出行列式的值nCjbj=a°aia2an-C左归色an.注本例中的行列式常称为“爪形”行列式，即非零元素在爪形三线段上，三线段以外常用的计算方法是把它化为的元素均为零；“爪形”行列式是“三对角”行列式中的一种,三角形行列式.例4计算行列式分析该行列式具有特点:X1-mX2X3X1x2-mX3X1X2X3m3aa-X1X2X3各行DnXnXnXn的元素之和相同，且各列除主对角线上的元素外均相同，可考虑下面方法求解解法一从第2列起将各列加到第1歹U,然后从第2行起各行加上第1行的（一1）倍，得n'Xi1n“Xi1n'X-m二Xi-mX2X3Xnx2-mX3XnX2X2X2X3-mX3XnX3XnXn-mi=1-m.m-mXi-m)(-m)n"解法二把行列式的第1行乘以（-1）分别加到第2,3，n行上去，然后依次将第2,3，n歹功同第1歹U,得Xi-mX2-m