系统的频率特性分析

1、第四章频率特性分析4.1 什么是频率特性？解对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解若机械系统的输入为力，输出为位移(变形)，则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当w=0时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。4.3 已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为2(mm/kg),s1求系统的动刚度，动柔度和静刚度。解根据

2、动刚度和动柔度的定义有动柔度一.一.2.'jw=Gjw=Gss=jw=jw1mm/kg/、一1jw1动刚度工(jw)=kg/mm静刚度.c1工jww=0=GjwG(jw)2Cjw+1ccLIw=0=J2w=0=0.5kg/mm4.4 若系统输入为不同频率w的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+).求该系统的频率特性。解：由频率特性的定义有G(jw)=Bejw。A4.5 已知系统的单位阶跃响应为x(t)=1-1.8e-4t+0.8e9t,试求系统的幅辐频特性与相频特性。解：先求系统的传递函数，由已知条件有x。(t)=1-1.8e4t+0.8e9t(t-0)1Xi(S)=

3、1sX(S)=1-1.8-+0.8ss4s9小心X0(S)36G(S)=X0(S)s4s9(jw)=G(s)364jw9jwA(w)=G(jw)362216w、81w(w)=0-arctanw-arctanw=-arctanarctan4.6由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。已知，m=1kg,k为弹簧的刚度，C为阻尼系统。若外力f(t)=2sin2tN,由实际得到系统稳态响应为x0ss=sin2t-<2J试确定k和c解由系统结构图可知，系统的动力学方程为mxotcxotkxoti>ft则系统的传递函数为Gs)=1mscskm=1)(其中相频特性为ZGj-arctanc0&

4、lt;k-«12J由题意有，当缶=2时,即，其频率特性为其中，幅频特性为解得k=4,c=1试求下列系统的幅频、相频、实频和虚频特性A侬卜中侬卜u卜)。1G(s)=m)解依频率特I定义有G(jo)=G(s)s也其中，幅频、相频、实频和虚频特性分别为A(6)=G(joj,平侬)=/G(j6),u(j6)=ReG(j0,u(6)=ImG(j6)则(1)中1j305A一90011-arctan301502"900-1Gj=二2j1j0.1。)-0.1j-)90-arctan0.1,二一30.01-1.0.01210.1u.二一20.011系统的闭环传递函数为Gb(s)=e鬻，当作用

5、输入信号及(t)=Rsinwt时，试求该系统的稳态输出。解：系统频率特性为：Gn(jw)=见江水电尊渣门旧皿明一5加为：l+fltwNi+w3Ti由Xmu(t)=Xi|Gb(jw)|sinwt+Ga(jw)有系统的稳态输出为：(t)=R-Kt|sin(wt-arctanwTs+arctanwlj)4.9设单位反馈控制系统的开环传递函数为6卜，当系统作用以下输入信号：(t)=sin(t+30o)(t)=2cos(2t-45o)(t)=sin(t+30o)-2cos(2t-45o)解：系统的闭环传递函数为Ga(s)=期二以工金1椀1I)1将MU11则G>(jw)=-.,恻眦二用一H、|0中城

6、B11(1)因为w=1;所以Gb(jw)10L=田(t+30o-5.2o)=0.90sin(t+24.8o)(2)因为w=2;所以Ga(jw)2r"s，V125)SS：(t)=102X=COS(2t-45D-10.3C)=1.79cos(2t-55.3o)(3)有叠加原理有:Am(t)=Xom(t)+X1mE(t)=0.905sin(t+24.8o)-1.79cos(2t-55.3o)4-10设系统的传递函数为K,式中，时间常数T=0.5秒，放大Ts1系数K=10。求在频率f=1Hz,幅值R=10的正弦输入信号作用下，系统稳态输出(-Jt)的幅值与相位。解：根据定义与已知有G(j)_

7、K_T=0.5_10jT1K=10-1j0.5=2-f=6.3KT=0.5jTw+1K=106.3=3.06ej(2.5母2_(t)=10x3.06sin(6.3t72.5°)=30.6sin(6.3t72.5,故7#的幅值与相位分别为30.6和-72.5°4-11知系统传递函数方框图如图(题4.11)所示，现作用于系统输入信号J(t)=sin2t,试求系统的稳态输出。系统的传递函数如下：(1)G(s)=-,H(s)=1;s1G(s)=5,H(s)=1;s5G(s)=5,H(s)=2。s1图(题4.11)解：因为i(t)=sin2t则输入的幅值为"=1,输入的频率

8、为6=2对于(1)GB(s)G(s)1G(s)H(s)Gb(j)=0-arctan65-j18.4240e工Jt)=Xi,G(j®)sin(®t+/G(j®)=0.79sin(2t18.4°)对于(3).(t)=XiGb(S)=5_arctanV25+«2e5_J21.8°。=2729eG(j6)sint+/G(j6)=0.93sin(2t-21.8G(s)1G(s)H(s)s115310.30=2-V125e55_arctan®Gb(jo)=".=t?e5G11+j0<121+02e5(t)=viG(j)s

9、in(t-G(j)=一sin(2t-10.3)-i54-12求出下列函数的Nyquist曲线(1)系统频率特性G(j)=2210.0110.00010.01*j210.00012其中,G(j)0.0001ZG(j0尸一arctan0.01。u(1)=210.0001v()="0.01*210.00012因此，u、v满足关系(u-1)2+v2=(1)又因为u>0、v<0,系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第四象限的半圆。其Nyquist图如图(题4.12(1)(2)系统频率特性2、10.01jG(j)=2其中,G(j)0.00012210,00011-0.01j10

10、.00012/G(j)=arctan0.01u()=110,00012/、0.01v()=210,00012因此，u、v满足关系(u-1/2)2+v2=(1/2)又因为u>0、v>0,系统频率特性的Nyquist曲线为一个位于第一象限4.12(3)系统频率特性G(j)=1-10.01j1210,00010.01210,0001其中,G(j)0.00012/G(j0°)=冗一arctan0.0产u(切)=210.000120.01v()=-210.00012因此，u、v满足关系(u-1)2+v2=(1)222又因为u<0、v<0系统频率特性的Nyquist曲线为

11、一个位于第三象限的半圆。其Nyquist图如图(题4.12(3)1(4)系统频率特性G(j)=10.01j0.110.01j10.00012*u(、0.1尸210.012当w=0时,当w=10时,当WR0时,G(j°)|=°°u(0尸一0.1Gj)|=0.0707u(°)=0.05IGj)|=0/G(j)=-2v()=_oo3/GH)=-2v()=-0.05/G(j«尸一180°其中,一、1.、冗Gj)|=/Gj)=arctan0.1w*10.000122,、1v()=-10.01*u()=0v()=0其Nyquist图如图(题4.1

12、2(4)Im图(题4.12(3)图(题4.12(4)(5)这是一个典型的二阶振荡环节(切n=10,e=0.5)其特性曲线为G(j)=1210.1j-0.0121-0.012-0Oj(1一0.01®22+0.012G(j)1/(1-0.01。2猿+0.01缶2/G(j0)=arctan1002100-1-0.012u()=21-0.0120.012,、0.1v(&)=一21-0.0120.012其中,当S=0时,G(j)/G(j)=0u(。)=1v(8)=0当con=10时，IG(j®)|=1ZG卜)=一90°u(°)=0v(0)=1当=缶r=Jc

13、on*(1_2®_1(0.6co2)2(co-0.05co3)2)=7.1时，IGj)|=1.15ZG(j。)=-54.70当6=oo时，IG(j«)|=0,ZG(按)=1800u(8)=0v(8)=0其Nyquist图如图(题4.12(5)(6)传递函数系统1s22.5s1G(j9)11-GJ27=F；1+2.5j3-32(132)2十6.2532-J(1-2.5gj1)26.251其中，G(jGJ)=(1-co2)26.25w22.53ZG(jw)=-arctan21-3u(v(1-w23-(1-w2)2-6.25w22.5co3)=-222(1-w2)26.25w3=

14、0时,G(j3)=1/G(jU(3)=1v(GJ)=0GO=GDn=1日寸,G(j3)=0.4/G(j3尸-90u(v(GD)=-0.43=OO时,G(jGJ)=0/G(j3)=-180u(GJ)=0v(GJ)=0因为阻尼比七二1、25>0.707，故不存在谐振频率.其Nyquist图如图(4.12(6).(7)传递函数G(s)=s(0.1s1)(0.5s1)0.05s30.6s2sG(j3尸系统频率特性jw(0.1jd)(0.5s1)j(w-0.05w3)-0.6w30.6w2_22_32(0.63)(3-0.053)3、(3-0.053)-j_22_32(0.63)(3-0.053)

15、其中，G(j3)=1(0.6co2)2(3-0.0533)2/G(j3)=-兀+arctan3、(3-0.053)1-IU(GJ)=-v(GJ)=-0.632(3-0.0533)(0.6w2)2(w-0.05w3)2当3=0时，G(jw)=00ZG(j(o)=-90u(u)=-0.6v()=)=-00另v(3尸0,得1八9=4,4720.05/G(j3)=-270此时,u(3)=-0.08当3=°0时，G(ju(GJ)=0v(GJ)=0其Nyquist图如图(题4.12(7).(8)传递函数7.5(0.2s1)(s1)_1.5s29s7.5G(S)=232s(s16s100)s316

16、s2100s系统频率特性G(j、_7.5(0.2-1)(j-1)_(7.5-1.52)j93)=j(100-16j)j100-16780152.7.5(024-1.82100)2562(100-2)2(162)2(100-3)2其中,/G(j3)=arctan0.29+arctan9-90-arctan16100-2u(GJ)=278015a22(100-3)十256T>0COv(GJ)=-_4_27.5(0.23-1.8a100)_32_22(1003-3)(163)<0当3=0时,G(j9)=8ZG(j3)=-90当3=00时,u(3)=0.078G(j3)=0GJ)=-00/

17、G(j3)=-270u(v(其Nyquist如图(题4.12(8)(9)传递函数G(s)=系统频率特性50(0.6s+1)=30s+50s2(4s1)4s3s2G(s)=50(j0.6s1)_50j30(o(j/(4j3+1)-j41-1其中，G(j3)=u(3)=50120屋321634+.1703+J/16及,5023021,(晨)24(33)2/G(ja)=arctan0.63-兀-arctan4350120。2屋16>4v(GJ)=170332-16(/当3=0时，G(j3)=00ZG(j(o)=-180u(3)=-00v(3)=-00当3=00时,G(j3)=0/G(j3)=-180u(其Nyqu