等差数列与通项公式

1、环球雅思学科教师辅导学案辅导科目：数学学科教师:课时数：3等差数列与通项公式授课类型教学目的教学内容1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数2、等差中项3、等差数列的性质an=dn+（31-d）当d#0时，它是一个一次函数。_n(aian)n=An2+Bn,当d¥0时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所的等差中项。等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即偶=a中（中间项）.若a,A,b成等差数列，那么A叫做a,b的等差中项。两个实数a,b的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数ak+2m,（k,mCN）是公差为md的等差数歹U.

2、掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.n(n-1).二na1d.2d,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d就2(4-2)若n为偶数，则S偶一5奇=,，若n为奇数，则S奇一S若an是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,S2ni=(2n1)(n-1),d2Sn=na1'dn22以其图像过原点。等差数列Q中，如果m+n=p+q，则am+an=ap，特殊地，2m=p+q时，则2am=ap+aq,如是ap、aq等差数列的前n项和公式snSnSn-SnSn-S2n成等差数列。一一一*.叫做这个数列的公差。即an-and=d（n_2,nNaa等差数列的通项公式an=&+(n1)

3、d=am+(nm)d(nN),d=n-mabo2若an与bn为等差数列，且前n项和分别为Sn与SJ,则翟=包二DmQS2n京等差题的性用的判断和证明方法一:定义的方法，%-程_=d（用之2,用eV）=；/；是等差薇列方法二:中嗔的方法，分二“-%（能之2,库eN*）=f%是等差数列2方法三工通项公式法：=kirFb（kb是常数）（£、*）加油是等差数列工方法四：前口哽和公式去3户A'+EK*、B是常数）（口£、?虱是等差数列.方法五工N是等差数列-於是等差数列.5、知三求二等差数列有5个基本量，a1,d,n,an,Sn,求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要

4、弄准它们的值。6、特殊设法三个数成等差数列，一般设为a-d,a,a+d；四个数成等差数列，一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d。例题精讲1、等差数列的判断方法：定义法an+-an=d（d为常数）或an+-an=an-anA（n>2）oO2-1、设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列aaa设an是等差数列，求证：以bn=nWN*为通项公式的数列bn为等差数列。n3、等差数列的通项：an=a1+（n1）d或an=am+（nm）d。4、等差数列的前n和：（,S

5、n=naj啦二为。222、等差数列an的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是（）A.SzB.S8C.S13D.S15C3、等差数列an中，已知ai=1,a2+a5=4,an=33,则门为（）3A.48B.49C.50D.51等差数列an中，a10=30,a20=50,则通项小;（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是;4、设Sn是等差数列an的前n项和，a12=8,&=9,则&6=.C5、已知数列an为等差数列，若如<1,且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为（）a1

6、0A.11B.19C.20D.211 .一一*.3一15(1)数列an中，an=an+(n之2,n匚N),an=-，刖n项和Sn=一，则a1,n=2 22(2)已知数列an的前n项和Sn=12nn2,求数列|an|的前n项和Tn.5、等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A=alb。2提醒：(1)等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1>d、n、an及Sn,其中a1>d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为-a2d,ad,a,a+d,a+2d,

7、(公差为d)；偶数个数成等差，可设为-a3d,ad,a+d,a+3d,(公差为2d)6.等差数列的性质：(1)当公差d=0时，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn=na1+Xn-1)d=dn2+(a1-d)n是关于n的二次函数且常数项为0.222(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差d=0,则为常数列。(3)当m+n=p+q时，则有am+an=ap+边，特别地，当m+n=2p时，则有am+an=2ap.(4)右、bn是等差数列，则kan、kan+pbn(k、p是非零常数)、ap4

8、nq(p,qwN)、aS,S2n-Sn,S3n-S2n一也成等差数列，而an成等比数列；若劣是等比数列，且an>0,则lgHn是等差数列.等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。(5)在等差数列an中，当项数为偶数2n时，S偶一&?=nd;项数为奇数2n-1时，S奇-S禺=尔，&n,=(2n1)a中(这里a中即4);加：S禺=(k+1):k。6球年A项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数.(6)若等差数列an、bn的前n和分别为A、Bn,且4=f(n),则7=(n瞿2=蓍d=f(2n-1).Bnbn(2n

9、-1)bnB2n小读华AS3n1a设an与bn是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn,若一n二-1，那么口=;Tn4n-3bn“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组:an20'或:anW0；确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前an+-0,an4之0），X./.一.*.、.n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nwN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？等差数列4中，a=25,0=S17

10、,问此数列前多少项和最大？并求此最大值；C6、（1）设an（nCN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且德<&,S6=S7>Ss,则下列结论错误.的是（）A.d<0B.a7=0C,S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值（2）等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.260各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。类型1an1=anf（n）例1.已知数列an满足a1=1,an+=an十一21一，求an。2

11、nn解法：把原递推公式转化为an书-an=f（n）,利用累加法（逐差相加法）求解。类型2a=f(n)an2 n例1：已知数列匕卜两足21=一，af=an,求an。3 n1解法：把原递推公式转化为包土=f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an3n-1例2：已知a1=3,an噂=an（门上1）,求2»3n2类型3an4=pan+q（其中p,q均为常数，（pq（p-1）/0）。例：已知数列Q中，a1=1,an+=2an+3,求an.解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an+-t=p(an-t),其中t=9一,再利用换元法转化为等比数列求解。1-p小读毕力在数列QJ中，若a1=1,a

12、n+=2an+3(n21),则该数列的通项an=类型4an1=pan+qn(其中p,q均为常数，(pq(p1)(q-1)=0)。(或an44=pan+rqn淇中p,q,r均为常数)。例：已知数列Q中，ai=5,an+=1an+(l)n*,求an。n632n解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn得：的=已，与+工引入辅助数列bl（其中bn=霁），得:qqqqqbn+=pbn+1再待定系数法解决。qq类型5递推公式为an七=pan+qan（其中p,q均为常数）。（待定系数法）：先把原递推公式转化为an%-san由=t（an4-sa）,s+t=p其中s,t满足tp解法一（待定系数一一迭加法）：

13、数列&：3an七一5an由+2an=0（n之0,nwN）,a1=a,a2=b,求数列an的通项公式。例：已知数列Gn中，ai=1,a2=2,an七=2an+an,求an。331.已知数列an满足ai=1,a2=3,an*=3an+-2an(n=N*).(I)证明：数列峪：&是等比数列；(II)求数列an的通项公式；(III)若数列bn满足4blzb2.4bn=(斗+1)4(nwN*),证明bn是等差数列类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或S=f(an)例：已知数列必/前门项和Sn=4an±.2n(1)求an4与an的关系；(2)求通项公式an.、eS(n=1)一，

14、、，、解法：这种类型一般利用an飞8,22)与消去S(山或与Sn=f(SnSn)(n之2)消去Hn进行求解。类型7an1=pananb(p=1、0,a:0)例:设数列$n：a1=4,an=3anq+2n1,(n圭2),求an.解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an书+x(n+1)+y=p(an+xn+y),与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为an+xn+y是公比为p的等比数列。类型8an1-pan(p0,an0)例：已知数列an中，ai=1,an书=1w；(a>0),求数列强卜勺通项公式.a解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an4=pan+q,再利用待定系数法

15、求解。类型9an1f(n)ang(n)anh(n)例：已知数列4满足：an=同,a1=1,求数列an的通项公式。3an1解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an噌=pan+q。类型10panqan1ranha4例：已知数列an满足性质：对于nwN,an1=-,且a1=3,求an的通项公式.-2an3例：已知数列an满足：对于nWN,都有an+=13an25an3(1)若ai=5，求an；(2)若ai=3，求an；(3)若a=6，求an；(4)当a1取哪些值时，无穷数列an不存在?解法：如果数列an满足下列条彳已知ai的值且对于nWN,都有an书=pan+q(其中p、q、r、h均为常数

16、,ranh且ph#qr,r#0,a1#，那么，可作特征方程x=q，当特征方程有且仅有一根小时,则«-是等差数rrxhanax列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时，则a"1是等比数列。an-x2类型11an由+an=pn+q或an+an=pqn例：(I)在数列an中，ai=1自中=6nan,求an(II)在数列an中，a1=1,anan+=3n,求an解法：这种类型一般可转化为。2n4)与a2n是等差或等比数列求解。类型12归纳猜想法解法：数学归纳法变式：(2006,全国II,理,22，本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,且方程x2anxan=0有一为Sn1,n

17、=1,2,3,(I)求a1，a2;(n)an的通项公式类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。11例：已知数列Qn中，ai=1；数列也中，bi=0。当n之2时，an=-(2anA+bn),bn=-(an+2bn)，求an,bn.33类型14周期型例：若数列aj满足an书2an,(0<an<-)12八，1，、2an-1,(-<an<1)L2,若a1=1,则a2。的值为解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。嚏方法回顾选择题1Dn+21n_22D31*3C45则公差的取值范围是6<d<3DABd<337BDa

18、n=4n+185项1*92CABD2na3+a6+a9的值是C.19.5C.30B.20C.n+3D.33B.3n+6A.7A.3n+7A.an=2n1A.39B.15首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数88D.an=2n+1nN2B.an=n某数列第一项为1,并且对所有n>2,nCN,数列的前n项之积B.an=2n-3vdw330的值为A.an=2n1C.32(n1)C.第6项C.an=4n1B.第5项A.第4项D.第4项或第D.an：C.an=2n1n2,则这个数列的通项公式是Sn=2n2+n,那么它的通项公式是2n(n-1)2an中an=n2-9n-100,则值最小的项是A

19、. 1B.-1C.2D.-211.在等差数列an中，aa+ai-ai0=8,ai_a4=4,则Si3等于()A.16812.数列an的通项A.n(n+1)B. 156C.18D.152an=2n+1,则由bn=(nN),所确定的数列bn的前n项和是()nn(n1)n(n5)n(n1)BCD222二、填空题：13 .数列1,0,1,0,1,0,1,0,，的通项公式的为an=14 .在1,1之间插入三个数，使它们顺次成等差数列，则这三个数分别是.15 .数歹Uan为等差数列，a2与a6的等差中项为5,a3与ai的等差中项为1,则数列的通项an等于116、数列an为等差数列，S100=145,d=-

20、,则a+a3+a5+,+a§9的值为.三、解答题：11,已知关于x的方程x23x+a=0和x23x+b=0(awb)的四个根组成首项为3的等差数列，求a+b的值.418.在数列an中，a=2,a1=66,通项公式是项数n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)88是否是数列an中的项.19,数列an是首项为23,公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负(1)求数列的公差；(2)求前n项和S的最大值；(3)当8n>0时，求n的最大值.20.设函数f(x)=log2xlogx4(0<x<1),数列an的通项an满足f(2an)=2n(nwn*).(1)求数列的

21、通项公式；(2)判定数列an的单调性.21.已知数列an满足ai=4,an=4(n>2),令bn=-anan-2(1)求证数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.22.某公司决定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是：公司在每年年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.某员工分别依两种方案计算增资总额后得到下表：工作年限方案甲力柔乙最终选择11000600P方案甲220001200力柔乙>3_方案甲(说明：方案的选择应以让自己获得更多增资为准.假定员工工作年限均为整数.)(1)他这样计算增资总额，结果对吗？如果让你选

22、择，你会怎样选择增资方案？说明你的理由;(2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资数改为a元，问：a为何值时，方案乙总比方案甲多增资?每一天都是全新的一天，每一天都是进步的一天从今天起步，在明天收获！参考答案、选择题：CDCDBDCDBCBC，升一1吁n_一一、填空题：13.sin或an=-(-1)21-(-1)n-14.1,3,5.15.2n-3.16、60.22三、解答题：17.解析：由方程x23x+a=0和x23x+b=0(awb)可设两方程的根分别为xi,X2和X3,x明由x1+x2=3和x3+x4=33.1所以，xi,x3,x4,x2(或x3,xi,x2,*4)组成等差数列，由

23、首项xi=,x+*3+*4+x2=6,可求公差d=,3579395731所以四项为：，a+b=_x_+_4'4'444444818.解析:(1)设an=An+B,由a1二2,a7=66,得,AB=2A=417AB=66B-2,"an=4n2(2)令an=88,即4n2=88得n=竺更N*21.88不是数列an中的项.19 .解析：(1)由已知a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a+6d=23+6dv0,2323一解得：<d<-一,又dCZ,d=456(2)dv0,an是递减数列,又a6>0,a7<065当n=6时，Sn取得取大值，&=6X23+(-4)=78_n(n-1)Sn=23n+-(-4)>0,整理得：n(50-4n)>00<n<25,又nCN*,2所求n的最大值为12.20 .解析：:f(x)=log2x-logx4(0<x<1),又f(2an)=2n(nN*),f(2an)=log22an_|og2an4=2n(0<2an<1,即an<0)令10g22an=t,则t-j=2n,t22nt2=0,t=n±Jn2+2注意到log22an=t,因此log22an=n士Jn212,2an=2曲星，an=n±vn2+2<0,an