用空间向量解立体几何问题方法归纳

1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a=(ai,bi,ci).平面&B的法向量u=(a3,ba,C3),v=(a4,b*C4)(1)线面平行:(2)线面垂直:(3)面面平行:(4)面面垂直:l/?a±u?au=0?aiaa+biba+ciC3=0l_L0?a/u?aku?ai=ka3,bikb3,Cikc3all供u/v?u=kv?a3=ka4,b3=kb4,C3=kaaX供uXv?uv=0?a3a4+b3b4+c3c4=0例i、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点，PA=AB=i,BC

2、=2.(i)求证：EF/平面FAB;求证：平面FAD，平面PDC.证明以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0),B(i,0,0),C(i,2,0),D(0,2,0),P(0,0,i),所以E：i,F0i,2i2，0,0；,pB=(i,0,-i),PD=(0,2,-i),aP=(0,0,i),AD=(0,2,0),DC=(i,0,0),AB=(i,0,0).(i)因为1F=2AB,所以7?/AB,即EF/AB.又AB?平面PAB,EF?平面PAB,所以EF/平面PAB.(2)因为DC=(0,0,i)(i,0,0)=0,定葭=(0,

3、2,0)(i,0,0)=0,所以APxC,TDxDC即APXDC,ADXDC.又APAAD=A,AP?平面PAD,AD?平面PAD,所以DC,平面PAD.因为DC?平面PDC,所以平面PAD，平面PDC.方法技巧使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC-AiBiCi中，/ABC=90°,BC=2,CCi=4,点E在线段BBi上,且EBi=i,D

4、,F,G分别为CCi,CiBi,CiAi的中点.求证：(i)BiDL平面ABD;(2)平面EGF/平面ABD.z轴建立空间直角证明：以B为坐标原点，BA、BC、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、坐标系，如图所示，则所以BA=(a,0,0),B(0,0,0),D(0,2,2),Bi(0,0,4),设BA=a,则A(a,0,0),bD=(0,2,2),羡=(0,2,2),彘点=0+44=0,即BiDXBA,BiDXBD.又BAABD=B,因止匕BiDL平面ABD.(2)由(1)知,aE(0,0,3),G,i,4F(0,i,4),则室=g,i,ij,EF*=(0,1,1),bdEG=0+22=0,B

5、1DEF=0+22=0,IPBiDXEG,BiDXEF.又EGAEF=E,因此BiDL平面EGF.结合(i)可知平面EGF/平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线|ab|0,贝Ucos卜|cosa,b>|.|a|b|(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量a,b的方向向量分别为a,b,异面直线所成的角为n,直线的方向向量a,设线面所成的角为9,则|na|sin仁|cos<n,a|=丁丁;.|n|a|(3)向量法求二面角：求出二面角若二面角alB所成的角若二面角alB所成的角alB的两个半平面a与B的法向量ni,n2,8为锐角，则cos

6、8=|cosni,n2>|=11n111n2;|ni|n2|'8为钝角，贝Ucos8=一|cos<ni,n2>|=-11n111n2.|ni|n2|例i、如图,在直三棱柱AiBiCi-ABC中，ABXAC,AB=AC=2,AiA=4,点D是BC的中点.(1)求异面直线AiB与CiD所成角的余弦值;(2)求平面ADCi与平面ABAi所成二面角的正弦值.解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),Ai(0,0,4),Ci(0,2,4),所以B=(2,0,4),CiD因为cos器C

7、iDT-AABCDab，CiD=rAB7CDrv20w=1。'所以异面直线AiB与CiD所成角的余弦值为嘴.设平面ADCi的法向量为ni=(x,y,z),因为;D=(1,1,0),AC=(1,-1,-4).18310(0,2,4),所以niAD=0,niAC1=0,即x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=2,所以，ni=(2,2,1)是平面ADCi的一个法向量.取平面ABAi的一个法向量为何=(0,1,0).设平面ADCi与平面ABAi所成二面角的大小为9.tnin222/nJ5由1cos硒=行/=3,行sin43.因此，平面ADCi与平面ABAi所成二面角的正弦值为幸.3

8、例2、如图，三棱柱ABC-AiBiCi中，CA=CB,AB=AAi,/BAAi=60°.(i)证明：ABXAiC;若平面ABC,平面AAiBiB,AB=CB,求直线AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值.解(i)证明：取AB的中点O,连接OC,OAi,AiB.因为CA=CB,所以OCLAB.由于AB=AAi,/BAAi=60°,故AAAiB为等边三角形，所以OAiAB.因为OCAOAi=O,所以ABL平面OAiC.又AiC?平面OAiC,故ABXAiC.(2)由(i)知OCAB,OAiAB.又平面ABC,平面AAiBiB,交线为AB,所以OCL平面AAiBiB,故OA,OA

9、i,OC两两相互垂直.以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设知A(i,0,0),Ai(0,陋,0),C(0,0,V3),B(-i,0,0).则BC=(i,0,响,Bb1=aA1=(-i,V3,0),AC=(0,-V3,V3).设n=(x,y,z)是平面BBiCiC的法向量,T)nBC=0,x+V3z=0,则ST即S伉八可取n=(43,i,nBB1=0.x+3y=0.故C0Sn,AC=nAC屈|n|AC一5.所以AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值为手.方法技巧运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；

10、求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论.(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角a不一定是直线的方向向量的夹角机即COSa=|COS引两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求.例3、如图，在四棱锥S-ABCD中，ABXAD,AB/CD,CD=3AB=3,平面SAD,平面ABCD,E是线段AD上一点，AE=ED=73,SEXAD.(1)证明：平面SBEL平面SEC;若SE=1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.解：(1)证明：二.平面SADXT面ABCD,平面SADA平面ABCD=AD,SE?平面SAD,SEXAD,；SE，平

11、面ABCD.vBE?平面ABCD,aSEXBE.vABXAD,AB/CD,CD=3AB=3,AE=ED=V3,./AEB=30°,/CED=60°./BEC=90°,IPBEXCE.又SEACE=E,.BE,平面SEC.vBE?平面SBE,平面SBEL平面SEC.(2)由(1)知，直线ES,EB,EC两两垂直.如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),C(0,2#,0),S(0,0,1),B(2,0,0),所以=(0,一2.3,0),CB=(2,-2V3,0),CS=(0,-2V3,1).设平面SBC的法向量为n

12、=(x,y,z),窗=0,InCS=0.2x-2#y=0,厂令y=1,得x=/3,z=2y3,23y+z=0.则平面SBC的一个法向量为n=(，3,1,2班).设直线CE与平面SBC所成角的大小为9,则sin8=|nCE|n|CE|=4,1故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为4.例4、如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图.恻视图I2正视图的觇图(1)线段CCi上是否存在一点E,使BE,平面AiCCi?若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面AiCA夹角的余弦值.解：(1)由题意知AAi,AB,AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0

13、),A1(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),C1(-1,1,2),则CC(=(一1,1,2),定=(1,1,0),AC=(0,2,-2).设E(x,y,z),则CE=(x,y+2,z),EC1=(-1-x,-1-y,2-z).设CE=ECt(>0),2+入一2入1TX1+入'2人、1+人.fhAiCBEA1C1=0,由13T-BEA1C=0,2+入2+入-iTiTT得c解得仁2,2一入,I1+1+入=0,所以线段CCi上存在一点E,CE=2EC,使BE,平面AiCCi.得xy=0,2y2z=0,mAC1=0,(2)设平面CiAiC的法向量为m=(x,y,z),则由

14、1TmAC=0,取x=1,则y=1,z=1.故m=(1,1,1),而平面A1CA的一个法向量为n=(1,0,0),则cos<m,n>=瑞御=，3=乎，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为(3利用空间向量解决探索性问题E,F分别是AC和BC边的中点,例1、如图1,正ABC的边长为4,CD是AB边上的高,现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2).图1试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点P,使APLDE?如果存在,求出BP的值；如果不存在,BC请说明理由.EF?解(1)在4ABC中，由E,

15、F分别是AC,BC中点，得EF/AB.又AB?平面DEF,平面DEF,AB/平面DEF.以点D为坐标原点，以直线DB,DC,DA分别为x轴、y轴、立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,273,0),E(0,73,1),F(1,串,0),dF=(1,油0),DE=(0,V3，1),DA=(0,0,2).cosDA,平面CDF的法向量为DA=(0,0,2).设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),x+V3y=0,即4L取n=(3,-J3,3),lV3y+z=0,n>=DAT=卑，所以二面角E-DF-C的余弦值为乌.|DA|n|77(3)存在.设P(s,t,0),有

16、AP=(s,t,2),则APDE3t2=0,.t=¥，3又BP=(s2,t,0),PC=(-s,2V3-t,0),VBp/PC,(s-2)(261)=st,.V3s+t=23.把1=平代入上式得s=4,.BP=：BC,333BP1在线段BC上存在点P,使APDE.此时，=1BC3方法技巧(1汴间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2辨题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于AlDy,z轴建立空运用这一方

17、法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，/ACB=90°,AA=BC=2AC=2.(1)若D为AA1中点，求证：平面BCD,平面B1C1D;解：(1)证明:间直角坐标系.则即C1B1=(0,2,0),(2)在AA1上是否存在一点D,使得二面角B1-CD-C1的大小为60°?x,如图所示，以点C为原点，CA,CB,CCi所在直线分别为zB,pAGB1C1D.C(0,0,0),A(1,0,0),Bi(0,2,2),Ci(0,0,2),D(1,0,1),DC1=(1,0,1),CD=(1,0,1).由C1B1CD=(0,2,0)(1,0,1)=0+0+0=0,得C

18、1B1LCD,即C1BCD.由DC1CD=(1,0,1)(1；0,1)=1+0+1=0,得DCJCD,即DCdCD.又DCnC1B1=C1,；CD，平面B1C1D.又CD?平面B1CD,平面B1CD，平面22(2)存在.当AD=j"AA1时，二面角B1-CD-C1的大小为60.理由如下：设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),Cd=(1,0,a),7=(0,2,2),mCB1则TmCD'2y+2z=0,x+az=0,令z=-1,得m=(a,1,1).设平面BiCD的法向量为m=(x,y,z),又=CB=(0,2,0)为平面CiCD的一个法向量，则cos60二加"|m

19、|CB|4a2+2解得a=>/2(负值舍去)，故AD=42=¥aAi.,.在AAi上存在一点D满足题意.空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题.解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点.一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P-ABCD中，FAL底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,/ACB=/ACD=3，F为PC的中点，afxpb.人气"求PA的长；B(2)求二面角B-AF-D的正弦值.(1)学审题一一审

20、条件之审视图形由条件知AC±BD->DB,AC分别为x,y轴一，写出A,B,C,D坐标职工面ABCD>设P坐标PFCF可得F坐标AFPBaFPB=0>得P坐标并求PA长.(2)学审题由(1)点，AF,靠的坐标向量n1,分别为平面FAD、平面FAB的皆向量n1AD=0且n1AF=0>求得n1n2>求得夹角余弦.二,工解(1)如图，连接BD交AC于O,因为BC=CD,即BCD为等腰三角形，又、亲¥AC平分/BCD,故ACLBD.以O为坐标原点，OB,OC,/P的方向分别为x轴，y''轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,则

21、OC=CDcos：=1.而AC=4,得AO工3=ACOC=3.又OD=CDsin：=#，故A(0,3,0),B市,0,0),C(0,1,0),D(血，0,0).3因PAL底面ABCD,可设P(0,3,z).由F为PC边中点，知F”，1,：)又TF=0,2,玄，PB=(g,3,-z),AFXPB,故AFPB=0,即6万=0,z=2(3(舍去2(3),所以|pA|=23.(2)由(1)知AD=(一姆，3,0),AB=(73,3,0),XF=(0,2,®设平面FAD的法向量为ni=(xi,yi,zi),平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由niAD=0,niAF=0,得，因此可

22、取ni=(3,V3,-2).TtJ3xi+3yi=0,由n2AB=0,n2AF=0,得，故可取n2=(3,-73,2).2yi+43zi=0,3x2+3y2=0,2y2+泡=0,从而法向量ni,n2的夹角的余弦值为cosni,n2>=1nli1n21=§.故二面角B-AF-D的正弦值为斗.方法技巧建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用ACXBD,若图中存在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正

23、确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACDL平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2.BE与平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC内的射影落在/ABC的平分线上.(i)求证：DE/平面ABC;八/'(2)求二面角E-BC-A的余弦值.解：证明：(i)易知AABC,AACD都是边长为2的等边三角形，、取AC的中点O,连接BO,DO,则BOXAC,DOXAC.二.平面ACDL平面ABC,DO,平面ABC.作EFL平面ABC,WJEF/DO.根据题意，点F落在BO上，./EBF=60°,易求得EF=DO=m,四边形DEFO是平行四边形，D

24、E/OF.vDE?平面ABC,OF?平面ABC,.DE/平面ABC.建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,可求彳4平面ABC的一个法向量为ni=(0,0,i).可得C(i,0,0),B(0,J3,0),E(0,陋i,5)，则CB=(i,®0),BE=(0,-i,3).设平面BCE的法向量为n2=(x,y,z),则可得n2kB=0,n2BE=0,即(x,y,z)(ia/3,0)=0,(x,y,z)(0-i,m)=0,可取n2=(3,&i).故cosni,n2>=二；二：I=W33.又由图知，所求二面角的平面角是锐角，。匚E|ni|n2|i3；-.-故二面角E-BC-A的

25、余弦值为曙.专题训练1 .如图所示，在多面体ABCDAiBiCiDi中，上、下两个底面AiBiCiDi和ABCD互相平行,且都是正方形，DDi，底面ABCD,AB/AiBi,AB=2AiBi=2DDi=2a.Jh(i)求异面直线ABi与DDi所成角的余弦值；/cpAJr*(2)已知F是AD的中点，求证：FB平面BCCiBi.乂£解：以D为原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0),B(2a,2a,0),C(0,2a,0),Di(Q,Q,a),F(a,0,0),Bi(a,a,a),Ci(0,a,a).：?=(-a,a,a)

26、,2=(0,0,a),，cos疝国所以异面直线ABi与DDi所成角的余弦值为坐.口trT(2)证明：=BBi=(a,a,a),BC=(2a,0,0),FB=(0,a,a)=。，FBiXBBi,FBiXBC.=0.BBinBC=B,.FBi,平面BCCiBi.2 .如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，AAiCiC是边长为4的正方形，平面ABC,平面AAiCiC,(i)求证：AAi,平面ABC;求二面角Ai-BCi-Bi的余弦值;AB=3,BC=5.(3)证明：在线段BCi上存在点D,使得ADLAiB,并求正"BCi解：(i)证明：因为四边形AAiCiC为正方形，所以AAi±

27、AC.因为平面ABC,平面AAiCiC,且AAi垂直于这两个平面的交线AC,所以AAi，平面ABC.(2)由(i)知AAi,AC,AAi±AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABLAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),Ai(0,0,4),Bi(0,3,4),Ci(4,0,4),A"B=(0,3,4),AC1=(4,0,0).设平面AiBCi的法向量为n=(x,y,z),nAB=0,则5即nAC1=0.|3y4z=0,4x=0.令z=3,Mx=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得，平面BiBCi的一个法向量为m=(3,4,0

28、).所以8sn,m=湍=卷bD=XBc1.此时,电=-aBC125.3.如图(1),四边形ABCD中，E是BC的中点，将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A-BD-C为60°,DB=2,DC=1,BC=V5,AB=AD=V2如图(2).图16由题知二面角A1©为锐角，所以二面角A1©的余弦值为行(3)证明：设D(x,y,z)是直线BCi上一点，且所以(x,y-3,z)=X4,3,4).解得x=4入y=33%z=4入所以AD=(4入33入4M由IDAB=0,即925人=0,解得一.9因为25c。，1,所以在线段BC1上存在点D，使得ADAiB.(1)求证：AE，平面

29、BDC;(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.1。解：(1)证明：取BD的中点F,连接EF,AF,则AF=1,EF=,/AFE=60.由余弦定理知AE=12+j1)-2X1x2cos60:岑.AE2+EF2=AF2,aexef.AB=AD,F为BD中点.BDXAF.又BD=2,DC=1,BC=5,.BD2+DC2=BC；即BDCD.又E为BC中点，EF/CD,.BD，EF.又EFAAF=F,BD，平面AEF.又BDAE,BDnEF=F,.AE，平面BDC.以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则ad,0,坐j,1c1cc1-1,20j,bj,-2,01,D1一1,一；0!-DB=(2,

30、0,0),D?=11,1为元；1，2,T)设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),T八2x=0,nDB=0由fT得1V3取z=J3,nDA=0x+2y+亍z=0,则y=3,又.n=(0,3,也cosn,定=nAC=-乎.|n|AC|4故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为邛.4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=345,AD=6,BD是对角线，过点A作AELBD,垂足为O,交CD于E,以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB=，41.(1)求证：PO,平面ABCE;(2)求二面角E-AP-B的余弦值.解：(1)证明：由已知得AB=3由，AD=6,；BD=9.在矩形ABCD中，

31、:AE，BD,RtAAODRtABAD,DOAD=ADBD'.DO=4,.BO=5.在APOB中，PB=亚，PO=4,BO=5,.PO2+BO2=PB2,.POLOB.又POLAE,AEAOB=O,.POL平面ABCE.(2)BO=5,AO=MaB2OB2=2书.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则PA=(2乖,0,4),PB=(0,5,-4).P(0,0,4),A(2V5,0,0),B(0,5,0),、一，一一_,、，一mPA=0,设n1=(x,y,z)为平面APB的法向重.则5Tn1PB=0,即:班4Z=。，方y4z=0.取x=2加得出=(2加，4,5).又n2=(0,1,

32、0)为平面AEP的一个法向量,，、n1n244,61.cos<n1,n2>=|.=1=,|n1|n2|61x161'故二面角E-AP-B的余弦值为喳1.5.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD,底面ABCD,侧棱PA=PD=亚，PAXPD,底面ABCD为直角梯形，其中BC/AD,ABXAD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；求B点到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为坐？若存在，求出QD的值；3QD若不存在，请说明理由.解：(1)在PAD中，PA=PD,O为AD中点，所以POLAD.又

33、侧面PAD，底面ABCD,平面PADA平面ABCD=AD,PO?平面PAD,所以POL平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC,易得OCLAD,所以以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),.PB=(1,1,1),易证OAL平面POC,.01=(0,1,0)是平面POC的法向量,co"1PB'O1=?1微=当.'直线PB与平面POC所成角的余弦值为坐(2)uCp则TuPDPD=(0,1,1),CP=(1,0,1).设平面PDC的一个法向

34、量为u=(x,y,z),-x+z=0,Wz=1,得u=(1,1,1).B点到平面PCD的距离为d=yz=0,|BPu|_3|u|(3)假设存在一点Q,则设PQ=D(0«1).VPD=(0,1,1),.PQ=(0,计温OP,温=(0,A1Q(0,入1设平面CAQ的一个法向量为m=(x,y,z),又定=(1,1,0),AQ=(0,在1,1九r,八mAC=x+y=0,则TImaq=(狂1y+(1-耳=0.取z=R1,得m=(1%A1,狂1),又平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1),而角Q-AC-D的余弦值为乎,3|mn|6/日所以|cos<m,n|=曲苗=3，得3充一10入+3

35、=0,解得上3或入=3(舍),所以存在点q,且QD=1.6.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,ABCD是直角梯形，侧棱SAL底面ABCD,AD=1.M是棱SB的中点.(1)求证：AM/平面SCD;(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值;设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为9,求sin8的最大值.解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1).所以AM=(0,1,1),品=(1,0,2),cD=(-1,-2,0).

36、即设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),x-2z=0,令z=1,则x=2,y=1,x2y=0.于是n=(2,1,1).AM/平面SCD.vAM*n=0,aM，n.又AM?平面SCD,(2)易知平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0).设平面SCD与平面SAB所成的二面角为也即cos()=,6三.5-121+10工xxn1n_(1,0,0)(2,1,1)_|_2_|_6|m|n|一16一|1加厂3，平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为坐.3(3)设N(x,2x2,0)(xC1,2),则MN=(x,2x3,1).又平面SAB的一个法向量为n1=(1,0,0),(x,2x3,1)(1,0

37、,0)xsinUx2+(2x-3f+(-1f1;5x2-12x+10_11AAo'12-121-；+5./i0也_32+,、xxx55当x=3,即x=3时，(Sin叱=手7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，/FAB=/DAB=90°,AF=AB=BC=2,AD=1,FAXCD.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角F-CD-A的余弦值.由已知解：(1)证明：由已知得，BE/AF,BC/AD,BEABC=B,ADAAF=A,平面BCE/平面ADF.设平面DFCA平面BCE=l,则l过点C.平面BCE/平面ADF,平面D

38、FCA平面BCE=l,平面DFCn平面ADF=DF.DF/l,即在平面BCE上一定存在过点C的直线l,使得DF/l.(2)/FA±AB,FAXCD,AB与CD相交，FA,平面ABCD.故以A为原点，AD,AB,AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.得,D(1,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),dF=(-1,0,2),DC=(1,2,0).设平面DFC的一个法向量为n=(x,y,z),ndF=0,则TInDC=0'x=2z,?不妨设z=1.M=2y,则n=(2,1,1),不妨设平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).cosm,n>=瑞=2=噜,由于二面角F-CD-A为锐角,二面角F-CD-A